2016考研数学(一)真题及答案解析 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有 项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 (1)设{x}是数列下列命题中不正确的是() (A)若 limx=a,则lmx2n=limx2n+=a (B)若limx2n=limx2n+1=a,则 lim x=a (C)若 lim x=a,则limx3n=limx2n1=a (D)若lmx3n= lim x1=a,则 lim x=a 【答案】(D) (2)设y=1 争e2+(x-)e2是二阶常系数非齐次线性微分方程y”+qy+b=ce2的一个 特解 a=-3,b=2,c=-1 (B)a=3,b=2,c=-1 (C)a=-3,b=2,c=1 (D)a=3.b=2c=1 【答案】(A) 【解析】将特解代入微分方程,利用待定系数法,得出a=-3,b=2,c=-1。故选A。 (3)若级数∑ax”在x=2处条件收敛,则x=√5与x=3依次为幂级数∑nn(x-1y的 (A)收敛点,收敛点 (B)收敛点,发散点 (C)发散点,收敛点 (D)发散点,发散点 【答案】(A) 【解析】因为级数∑ax”在x=2处条件收敛,所以R=2,有幂级数的性质 ma(x-1)”的收敛半径也为R=2,即x-1<3,收敛区间为-1<x<3,则收敛域为 1<x≤3,进而x=√5与x=3依次为幂级数∑nn(x-1)的收敛点,收敛点,故选A (4)下列级数发散的是()
2016 考研数学（一）真题及答案解析 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. （1）设 xn 是数列下列命题中不正确的是（ ） （A）若 lim n n x a → = ，则 2 2 1 lim lim n n n n x x a + → → = = （B）若 2 2 1 lim lim n n n n x x a + → → = = ，则 lim n n x a → = （C）若 lim n n x a → = ，则 3 2 1 lim lim n n n n x x a − → → = = （D）若 3 3 1 lim lim n n n n x x a − → → = = ，则 lim n n x a → = 【答案】（D） （2）设 1 1 2 ( ) 2 3 x x y e x e = + − 是二阶常系数非齐次线性微分方程 x y ay by ce + + = 的一个 特解，则 （A） a b c = − = = − 3, 2, 1 （B） a b c = = = − 3, 2, 1 （C） a b c = − = = 3, 2, 1 （D） a b c = = = 3, 2, 1 【答案】（A） 【解析】将特解代入微分方程，利用待定系数法，得出 a b c = − = = − 3, 2, 1 。故选 A。 （3）若级数 1 n n n a x = 在 x = 2 处条件收敛，则 x = 3 与 x = 3 依次为幂级数 1 ( 1)n n n na x = − 的 （ ） （A）收敛点，收敛点 （B）收敛点，发散点 （C）发散点，收敛点 （D）发散点，发散点 【答案】（A） 【解析】因为级数 1 n n n a x = 在 x = 2 处条件收敛，所以 R = 2 ，有幂级数的性质， 1 ( 1)n n n na x = − 的收敛半径也为 R = 2 ，即 x − 1 3 ，收敛区间为 − 1 3 x ，则收敛域为 − 1 3 x ，进而 x = 3 与 x = 3 依次为幂级数 1 ( 1)n n n na x = − 的收敛点，收敛点，故选 A。 （4）下列级数发散的是（ ）
(A)S (B) ln(1+ (C) (=y+1 In n (D) 【答案】(C) 【解析】(A)Sn=1+l2+…+ln= n81 +.+, sS.=(5)+2++n→7S=1+1++-8m=S=80-(y)-m imSn=存在,则收敛 %=m(+)-三→点三收敛,所以(B)收 (c)>(-y+ ∑ 2 Inn s Inn Inn 1,因为∑(∑上分别是收敛和发散,所以 (-1)”+1 发散,故选(C) (D)u =-, lim lin +1=e-1<1,所以收敛 (5)设矩阵A=12a,b=a,若集合9={12},则线性方程组Ax=b有无穷 多解的充分必要条件为() (A) aEQ2.aEQ2 (B)agg,a∈ (C)a∈g,a≠Ω2 (D)a∈9,a∈g 【答案】(D) 【解析】Ax=b有无穷多解白7(4)=7(4)<3.=4=0,即(a-2Xa-1)=0,从而 a=1或a=2
（A） 1 8 n n n = （B） 1 1 1 ln(1 ) n n n = + （C） 2 ( 1) 1 ln n n n = − + （D） 1 ! n n n n = 【答案】（C） 【解析】（A） 1 2 2 1 2 ... ... 8 8 8 n n n n S u u u = + + + = + + + ， 2 3 1 2 1 1 1 2 7 1 1 1 8 1 7 ( ) ... ... (1 ( ) ) 8 8 8 8 8 8 8 8 8 49 8 8 n n n n n n n n n n n S S S + + = + + + = + + + − = − − ， 8 lim 49 n n S → = 存在，则收敛。 (B) 3 3 1 2 2 1 1 1 1 ln(1 ) n n u n n n n = = + 收敛，所以（B）收敛。 （C） 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) 1 ln ln ln n n n n n n n n = = = − + − = + ，因为 2 2 ( 1) 1 , ln ln n n n n n = = − 分别是收敛和发散，所以 2 ( 1) 1 ln n n n = − + 发散，故选（C)。 （D) ! , n n n u n = 1 1 lim lim 1 1 n n n n n u n e u n + − → → = = + ，所以收敛。 （5）设矩阵 2 2 1 1 1 1 1 2 , 1 4 A a b a = = ，若集合 =1,2 ，则线性方程组 Ax b = 有无穷 多解的充分必要条件为（ ） （A） a , （B） a , （C） a , （D） a , 【答案】（D） 【解析】 Ax b = 有无穷多解 r A r A A ( ) = = ( ) 3, 0 ，即 ( 2)( 1) 0 a a − − = ，从而 a a = = 1 2 或
当a=1时,A=121:a→010:a-1 141 000:a2-3a+2 从而a2-3a+2=0→a=1或a=2时Ax=b有无穷多解 l11:1 144:a2)(000:a2-3a+2 从而a2-3a+2=0→a=1或a=2时Ax=b有无穷多解 所以选D (6)二次型∫(x1,x2,x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y+y2-y2,其中 P=(e1e2e3),若Q=(e1-e3,e2),f(x,x2,x3)在正交变换x=Qy下的标准型为() (A)2y-y2 (B)2y2+y2-y2 (C)2y2-y2-y2 (D)2y2+y2+ 【答案】(A) 【解析】由已知得f(x,x2,x)= Y PAPY=2y2+y2-y3,Q=PE23E2(-1), 从而 f(x, x2,x3)=Y AQY=r E(DE P APEZE,(-Dr =yE2(-1)E2PAPE2E(-1)Y=2y-y2+y,其中E23=|001, 010 E2(-1)=0-10均为初等矩阵,所以选A 1001 (7)若A,B为任意两个随机事件,则 (A)P(AB)≤P(A)P(B) (B)P(AB)≥P(A)P(B) (C)P(AB)≤P()+P(B) (D) P(AB)> P(A)+P(B) 【答案】(C) 【解析】排除法。若AB=Φ,则P(AB)=0,而P(A),P(B)未必为0,故
当 a =1 时， 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 1 0 1 1 4 1 0 0 0 3 2 A = → − − + 从而 2 − + 3 2=0 =1 =2 或 时 Ax b = 有无穷多解 当 a = 2 时， 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 0 1 1 1 1 4 4 0 0 0 3 2 A = → − − + 从而 2 − + 3 2=0 =1 =2 或 时 Ax b = 有无穷多解 所以选 D. （6）二次型 1 2 3 f x x x ( , , ) 在正交变换 x Py = 下的标准形为 2 2 2 1 2 3 2y y y + − ，其中 1 2 3 P = (e ,e ,e ) ，若 1 3 2 Q e = − (e , e , ) ， 1 2 3 f x x x ( , , ) 在正交变换 x Qy = 下的标准型为（ ） （A） 2 2 2 1 2 3 2y y y − + （B） 2 2 2 1 2 3 2y y y + − （C） 222 1 2 3 2yyy − − （D） 222 1 2 3 2yyy + + 【答案】（A） 【解析】由已知得 2 2 2 1 2 3 1 2 3 ( , , ) 2 T T f x x x Y P APY y y y = = + − ， 23 2 Q PE E = −( 1) ， 从而 1 2 3 2 23 23 2 ( , , ) ( 1) ( 1) T T T T T T f x x x Y Q AQY Y E E P APE E Y = = − − 2 2 2 2 23 23 2 1 2 3 ( 1) ( 1) 2 T T = − − = − + Y E E P APE E Y y y y ，其中 23 1 0 0 0 0 1 0 1 0 E = ， 2 1 0 0 ( 1) 0 1 0 0 0 1 E − = − 均为初等矩阵，所以选 A。 （7）若 A B, 为任意两个随机事件，则 （A） P AB P A P B ( ) ( ) ( ) （B） P AB P A P B ( ) ( ) ( ) （C） ( ) ( ) ( ) 2 P A P B P AB + （D） ( ) ( ) ( ) 2 P A P B P AB + 【答案】（C） 【解析】排除法。若 AB = ，则 P AB ( ) 0 = ，而 P A P B ( ), ( ) 未必为 0，故
P(AP(B)≥P(AB)P(+P(B)2P(AB),故BD错 若AcB,则P(AB)=P(A)≥P(A)P(B),故A错。 (8)设总体X~B(mO),x12x2,H3为来自该总的简单随机样本,X为样本均值,则 EIYOX-X (A)(m-1)n(1-b) (B)m(n-1)6(1-) (C)(m-1)(n-1)(1-0 (D)mne(l-e) 【答案】(B) 【解析】 =m(n-1)(1-6) 、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上) (9)lim In(cosx 【答案】- 【解析】 lim Incos =lim-Cosx =-=lim- sinx 2x→0 X cosx2 (10) sInx 【答案】 【解析】 sInx 12,出x+[到x=2,出xd+2|5xk=x coS x 1+cos x 21+cosx 1)若函数=x,y)有方程C+2+x+csx=2确定,则d|o 【答案】 【解析】对e+xz+x+cosx=2两边分别关于x,y,求偏导,并将(0,1)这个代入,得到 0,所以dz -dx ay
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 2 P A P B P A P B P AB P AB + ，故 B D, 错。 若 A B ，则 P AB P A P A P B ( ) ( ) ( ) ( ) = ，故 A 错。 （8）设总体 1 2 3 X B m X X X ( , ), , , 为来自该总的简单随机样本， X 为样本均值，则 2 1 ( ) n i i E X X = − = （A） ( 1) (1 ) m n − − （B） m n( 1) (1 ) − − （C） ( 1)( 1) (1 ) m n − − − （D） mn (1 ) − 【答案】（B） 【解析】 ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 (1 ) 1 ( 1) (1 ) n i i n i i E X X ES DX m n E X X m n = = − = = = − − − = − − 二、填空题(9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上)． （9） 2 0 ln(cos ) lim x x → x = _____. 【答案】 1 2 − 【解析】 2 0 0 0 sin ln cos 1 sin 1 cos lim lim lim x x x 2 2 cos 2 x x x x → → → x x x x − = = − = − (10) 2 2 sin 1 cos x x dx x − + = + _______. 【答案】 2 4 【解析】 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 sin sin sin 2 1 cos 1 cos 1 cos 4 x x x x dx dx x dx dx xdx x x x − − − − + = + = + = + + + (11) 若函数 z z x y = ( , ) 有方程 cos 2 z e xyz x x + + + = 确定，则 (0,1) dz = _______. 【答案】 −dx 【解析】对 cos 2 z e xyz x x + + + = 两边分别关于 x y z , , 求偏导，并将 (0,1) 这个代入，得到 (0,1) (0,1) 1, 0 z z x y = − = ，所以 (0,1) dz dx = −
(12)设Ω是由x+y+z=1与三个坐标平面所围成的空间区域,则 [(x+2y+3=ydxdyd= 【答案】 【解析】由对称性 J(x+2y+3=ydrdyds:=6=dxdyds=6 =d=[]dxdy 其中 D2为平面二=-截空间区域Ω所得的截面 其面积为(1-2) 所以 前(x+2y+3)M=6h=6=21-31=3(=-2+)在=4 02 (13)n阶行列式 00:2 【答案】2m+1-2 【解析】按第一行展开得 20 2:00 0 =2D1+(-1)2(-1y 2D,+2 =2(2Dn-2+2)+2 2 2n+-2 (14)设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(L010)则P{xY-y<0
（12）设 是由 x y z + + =1 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 ( x y z dxdydz 2 3 ) + + = 【答案】 1 4 【解析】由对称性， ( ) 1 0 2 3 6 6 , DZ x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy + + = = 其中 DZ 为平面 z z = 截空间区域 所得的截面 其面积为 1 2 (1 ) 2 − z 所以： ( ) ( ) 1 1 2 3 2 0 0 1 1 2 3 6 6 (1 ) 3 2 2 4 x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz + + = = − = − + = (13) n 阶行列式 2 0 0 2 1 2 0 2 _______ 0 0 2 2 0 0 1 2 − = − 【答案】 1 2 2 n+ − 【解析】按第一行展开得 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 0 0 2 1 2 0 2 0 0 2 2 0 0 1 2 2 ( 1) 2( 1) 2 2 2(2 2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n D D D D D + − − − − − − + − = − = + − − = + = + + = + + = + + + = − （14）设二维随机变量 ( X Y, ) 服从正态分布 N(1,0;1,1;0), 则 P XY Y − = 0 .