最优解的特点 注意：极值分析某点局部特性， 线性表示是精确无误差的。 ,最优化问题的局部线性近似： min f(x), f(x):R”→R 对代价函数线性近似： Ceq;(x)=0 f(x*)≤f(x)→ S.t. f(x*)≤f(x*)+f(x*)△x Cie,(x)≥0 →0≤f'(x*)△x Vf(x*)△x≥0 Vf(x*)= VCeq,(x*)△x=0,V△x∈N(x*) VCie,(x*)△x≥0
最优化问题的局部线性近似： min ( ), ( ) : ( ) 0 . . ( ) 0 n i i f f Ceq s t Cie x x x x 注意：极值分析某点局部特性， 线性表示是精确无误差的。 ( *) ( ) ( *) ( *) ( *) 0 '( *) f f f f f f x x x x x x x x ( *) 0 ( *) 0, ( *) ( *) 0 i i f Ceq Cie x x x x x x x x N 对代价函数线性近似： 1 2 ( *) ... T n f f f f x x x x
最优解的特点 ,讨论1、一一无约束问题： Vf(x*)△x≥0，V△x∈W(x*) →Vf(x*)=0 理解： 由于△x可以任意取值， 假设Vf(x*)≠0，则存在： △x=Vf(x*),使得： Vf(x*)Ax=-f(x*)北≤0 故，7f(x*)=0
讨论1、——无约束问题： 理解： f ( *) 0, ( *) x x x x N 2 2 ( *) 0 =- ( *) ( *) =- ( *) 0 ( *)=0 f f f f f x x x x x x x x ， ， 由于 可以任意取值， 假设 则存在： 使得： 故， f ( *)=0 x
最优解的特点 ,讨论2、一一等式约束问题： f(x*)△x≥0 7Ceq,(x)△x=0 V△x∈W(x*) VCeq(x*)△x=0 VL(x*,)=0 → L(x,)≌f(x)-∑元Ceq(x) ielleg
讨论2、——等式约束问题： * 1 * ( *) 0 ( ) 0 ( *) ... ( ) 0 N f Ceq Ceq x x x x x x x x N ( *, ) 0 ( , ) ( ) ( ) eq i i L L f Ceq x λ x λ x x
最优解的特点 {VCeq,}为线性张成空间 {VCeq,:}为线性张成空间的补空间 ,理解：1.等式约束将△x取值限定在等式方程组的解空间， 即：△x∈{VCeq,}, 2.假设△x∈{7Ceq,},则-Ax∈{7Ceq,} 3.假设△x∈{7Ceq,},使得：Vf(x*)△x≤0， 则Vf(x*)×(-△x)≥0 4.故对V△x∈(7Ceq,}，f(x*)△x=0 即：f(x*)⊥{Ceq,} 即：Vf(x*)∈{VCeq,}→VL(x*,入)=0 L(x,)≌f(x)-∑，Ceqx) ieΠeg
理解： 2. - 3. ( *) 0, ( *) - 0 4. ( *) =0 ( *) ( *) ( *, C i C C i i C i C i C i i Ceq Ceq Ceq Ceq f f Ceq f f Ceq f Ceq L x x x x x x x x x x x x x x x ， （ ） ， 1. 在 ， 假设 , 则 假设 使得： 则 故对 等式约束将 取值限定 等式方程组的解空间， 即： 即： 即： λ) 0 i C i Ceq Ceq 为线性张成空间 为线性张成空间的补空间 ( , ) ( ) ( ) eq i i L f Ceq x λ x x
最优解的特点 ,讨论3、一一单个不等式约束问题： f(x*)△x≥0 V△x∈W(x*) VCie,(x*)△x≥0 →f(x)=Vce(x),>0
讨论3、——单个不等式约束问题： 1 ( *) 0 ( *) ( *) 0 f Cie x x x x x x N * * ( ) ( ), 0 ie f c x x