第四章机微能守恒 中41.2重力势能段 国 科 学 图4.1斜面举重装置 技 如果某个不可逆装置在同样的条件下举起的重量Mg>可逆装置 举起的重量Mg,我们就能够从M中分出一部分M来,以它降低高 个A了度h为代价,反向操作那个可逆装置,把不可道装置中降下来的重物 术 mg恢复到原来的高度h。这样一来,在其它所有状态都复原的情况之 重量为(M 的学额h。这就导致永动机成为可能的荒课结论。所以,上面的前提不能成 4立,实际情况应该是,此即上述的结论1 杨目件下,能够把重量分别为M和M的物体提升一个高度h,则利用 如果有两个可逆装置A和B,在重物m的高度降低h的同样条 维 上述推理不难得知:由于装置B可以反向运行,只要永动机不可能, 纮回就应有M≤M;由于装置A也可以反向运行,只要永动机不可能, 就应有MB≤M4。最后只能是M4=M,此即上述的结论2
4.1.2 重力势能 如果某个不可逆装置在同样的条件下举起的重量 M/g > 可逆装置 举起的重量 Mg，我们就能够从 M/中分出一部分 M 来，以它降低高 度 h/为代价，反向操作那个可逆装置，把不可逆装置中降下来的重物 mg 恢复到原来的高度 h。这样一来，在其它所有状态都复原的情况之 下，产生的净效果是把一个重量为 (M/－ M)g 的重物提升了一个高度 h/。这就导致永动机成为可能的荒谬结论。所以，上面的前提不能成 立，实际情况应该是，此即上述的结论 1。 如果有两个可逆装置 A 和 B，在重物 m 的高度降低 h 的同样条 件下，能够把重量分别为 MA和 MB的物体提升一个高度 h/ ，则利用 上述推理不难得知：由于装置B可以反向运行，只要永动机不可能， 就应有 MA ≤ MB；由于装置A也可以反向运行，只要永动机不可能， 就应有 MB ≤ MA 。最后只能是 MA = MB ，此即上述的结论 2。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第四章机微能守恒 中41.2重力势能段 国 科 学 图4.1斜面举重装置 技 无摩擦的斜面是一种可逆的举重装置,既然所有 术制的可逆装置提升的重量都一样,故(41)式适用于一切 大可逆装置。于是我们得到一条普遍的规律:在装置可 学逆的条件下,重量和高度的乘积这个量是守恒的,它 代表一种潜在的作功本领,我们称它为物体的重力势 能,记为,即: 杨维 En=mgh
4.1.2 重力势能 无摩擦的斜面是一种可逆的举重装置，既然所有 的可逆装置提升的重量都一样，故(4.1.1)式适用于一切 可逆装置。于是我们得到一条普遍的规律：在装置可 逆的条件下，重量和高度的乘积这个量是守恒的，它 代表一种潜在的作功本领，我们称它为物体的重力势 能，记为，即： E mgh p 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第四章机微能守恒 中国 41.3动能 我们利用无摩擦的单摆来求运动物体的动能,如图42所示 假定摆锤从某一高度自由下摆,便可来回摆动。当摆锤摆到最低点 时,势能将减少,这部分减少了的势能跑到哪里去了?观察摆锤运 科学技术大学 学關动,可以看到它会再次爬上来,可见失去的重力势能必定转变为另 种形式的能量,显然它是靠自己的运动才重新爬上来的,这是 种由于摆锤的运动所具有的能量。 依能量守恒原理摆锤能够上升的 大高度与上升机制无关,即与上升路径 无关。但动能一定等于初始自由下摆 时的重力势能。为写出动能的形式 假如以最低点处同一速度竖直向上抛 杨出这个物体,达同样高度,依运动学 维□公式有关系式。所以这个动能E可写 E2 k=mv 图4.2单摆 2
4.1.3 动能 我们利用无摩擦的单摆来求运动物体的动能，如图4.2所示。 假定摆锤从某一高度自由下摆，便可来回摆动。当摆锤摆到最低点 时，势能将减少，这部分减少了的势能跑到哪里去了？观察摆锤运 动，可以看到它会再次爬上来，可见失去的重力势能必定转变为另 一种形式的能量，显然它是靠自己的运动才重新爬上来的，这是一 种由于摆锤的运动所具有的能量。 依能量守恒原理摆锤能够上升的 高度与上升机制无关，即与上升路径 无关。但动能一定等于初始自由下摆 时的重力势能。为写出动能的形式， 假如以最低点处同一速度竖直向上抛 出这个物体，达同样高度，依运动学 公式有关系式。所以这个动能 Ek可写 为： 2 2 1 E mv k 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第四章机微能守恒 中 41.3动能 国 当然,物体因运动具有能量与物体是否处 科)于重力场中无关。只要物体运动,均有动能。 学 技/顺便指出,重力势能(重量与高度的乘积)的 表达式mgh和动能表达式mv22都是近似公式。 米前者在高度很大时不正确,因为假定了重力为 大 学 常量;后者在高速运动时要给予相对论性修正, 因为假定了质量m是绝对量。然而,当考虑了 杨这些因素,给出精确表达式后,能量守恒定律 仍然正确。 维
4.1.3 动能 当然，物体因运动具有能量与物体是否处 于重力场中无关。只要物体运动，均有动能。 顺便指出，重力势能（重量与高度的乘积）的 表达式 mgh 和动能表达式 mv 2 /2 都是近似公式。 前者在高度很大时不正确，因为假定了重力为 常量；后者在高速运动时要给予相对论性修正， 因为假定了质量 m 是绝对量。然而，当考虑了 这些因素，给出精确表达式后，能量守恒定律 仍然正确。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第四章机微能守恒 中 41.4弹性势能和其它能量形式 国 dv 科 m=mg-k(x-xo 00000 学mh=mgk-k(x-x)k 技对从x一到x=x+h 术影积分,在此过程的两头 h「m 大速度v都等于零,有: 图4.3弹性势能 学 xo+h xoth m vdv= mg dx-k「(x-x0)dx 0 杨即: 维 8h、1 kh 2 纮圈我们得到弹性势能:E2=k(x-x)2
4.1.4 弹性势能和其它能量形式 ( ) 0 mg k x x dt dv m mvdv mgdx k(x x )dx 0 m vdv mg dx k x x dx x h x x h x ( ) 0 0 0 0 0 0 0 对从 x = x0到 x = x0+h 积分，在此过程的两头 速度 v 都等于零，有： 即： 2 2 1 mgh kh 2 0 ( ) 2 1 E k x x 我们得到弹性势能： p 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮