极限存在准则 两个重要极限 本节将给出两个在后面求导数时经常要用到的重 要的极限公式: lim sinx =1lim(1+-)=e x→0x x→0 为此先介绍判定极限存在的准则
极限存在准则 两个重要极限 本节将给出两个在后面求导数时经常要用到的重 要的极限公式： 1 sin lim 0 = → x x x e x x x + = → ) 1 lim(1 为此先介绍判定极限存在的准则
极限存在准则 1夹逼准则 准则如果数列xn,yn及n满足下列条件: (1)yn≤xn≤zn(n=1,2,3…) (2)lim yn=a, lim zn =a, n→ n→0 那末数列x的极限存在,且 lim x=a. 证∵yn→>a,孔n→>a, VE>0,彐N1>0,N2>0,使得
一、极限存在准则 1.夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: (2) lim , lim , (1) ( 1,2,3 ) y a z a y x z n n n n n n n n = = = → → 那末数列xn的极限存在, 且 xn a n = → lim . 证 y a, z a, n → n → 0, N1 0, N2 0, 使得
当n>N时恒有yn-a<E, 当n>N2时恒有zn-a<E 取N=max{N1,N2},上两式同时成立, -8<卩,<+8 n Ⅱ一8<n<a+E, 当n>N时,恒有a-E<yn≤xn≤zn<a+E, 即xn-a<E成立, lim n→0 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
, 1 n N y − a 当 时恒有 n , 2 n N z − a 当 时恒有 n max{ , }, 取 N = N1 N2 上两式同时成立, a − y a + , 即 n a − z a + , n 当n N时, 恒有 a − y x z a + , n n n 即 x − a 成立, n lim x a. n n = → 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则|′如果当x∈U(x)(或x>M)时有 (1)g(x)≤f(x)≤h(x), (2)lim g(x)=A, lim h(r)=A, x→>x0 (x→>∞0) 那末lim∫(x)存在,且等于A x→0 A+6 y=h(x) y=f(x) y=g(x) 4 0 0 +6
准则Ⅰ′ 如果当 ( ) 0 0 x U x (或 x M )时,有 (2) lim ( ) , lim ( ) , (1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0 0 g x A h x A g x f x h x x x x x x x = = → → → → 那末 lim ( ) ( ) 0 f x x x x → → 存在, 且等于A. y = h(x) y = f (x) y = g(x) A− A+ − x0 x0 x0 + （（ ）） 1 2 A
准则I和准则I称为夹逼准则 注意:(1)利用夹逼准则求极限关键是构造出y与zn, 并且yn与zn的极限是容易求的 (2)此准则对于x→>∞时的情形也成立 夹逼定理示意图 g(x)≤f(x)≤h(x)
准则 Ⅰ和准则 Ⅰ'称为夹逼准则. 注意: . (1). , 并且 与 的极限是容易求的 利用夹逼准则求极限关键是构造出 与 n n n n y z y z (2).此准则对于x → 时的情形也成立 g(x) f (x) h(x) 夹逼定理示意图 A