拓扑学的中心任务：研究拓扑不变性质， 抽象化过程：欧氏空间→度量空间→拓扑空间；点距离→度量→开集 11
11 拓扑学的中心任务 : 研究拓扑不变性质. 抽象化过程: 欧氏空间→ 度量空间→ 拓扑空间; 点距离→ 度量→ 开集
2.3邻域 定义2.3.1设(X,x)是拓扑空间.x∈X,UcX称为x的邻域，如果存在V∈T使 x∈V三U；若U是开的，U称为x的开邻域. 定理2.3.1设UcX.U是X的开集台U是它的每一点的邻域. 证由定义得“→”，利用开集之并为开得“仁” x在X的所有邻域构成的族称为x的邻域系，记为U 定理2.3.2Ux的性质」 (1)XeUx;UeUk,x∈U: (2)U,V∈Ux Unv∈Ux; (3)U∈Ux且UcV=VeUx; (4)U∈Ux→3V∈Ux使VcU且y∈V,V∈Uy. 证由定义2.3.1得(1)：由开集的交是开集得(2)，由定义2.3.1得(3)；取V为满足 x∈vcU的开集， 由邻域系出发可建立拓扑空间的理论，显得自然，但不流行.利用邻域与开集的关系（定 理2.3.1)导出开集，从Ux(x∈X)具有定理2.3.2的性质的(1)-(4)出发，定义 T={UcXx∈U,U∈Ux},则(X,x)是拓扑空间，且这空间中每一点x的邻域系恰是Uk 详见定理2.3.3. 定义2.3.2（点连续）映射f:X→Y称为在点x∈X连续，如果U是fx)在Y中的邻 域，则(U是x在X中的邻域 定理2.1.4保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出的拓扑空间中的点的连续性的一 致.另一方面，关于点的连续性，易验证（定理2.3.4），恒等映射在每一点连续，两点连续的函 数之复合仍是点连续的.定义2.2.4与定义2.3.2所定义的“整体”连续与每一“点”连续是一致 的 定理2.3.5设f:X→Y则f连续台f在每一x∈X连续. 证“→”若U是fx)的邻域，3开集V使f(x)∈VcU,xx∈f-(V)cf-(U) “←”若U是Y的开集，x∈f-(U),U是fx)的邻域，f1(U)是x的邻域，所以f1(U) 在X中开 12
12 2.3 邻 域 定义 2.3.1 设 (X , ) 是拓扑空间. x X ,U X 称为 x 的邻域, 如果存在 V 使 x V U ; 若 U 是开的, U 称为 x 的开邻域. 定理 2.3.1 设 U X.U 是 X 的开集 U 是它的每一点的邻域 . 证 由定义得“ ”; 利用开集之并为开得“ ”. x 在 X 的所有邻域构成的族称为 x 的邻域系, 记为 Ux. 定理 2.3.2 Ux 的性质: (1) X Ux; U Ux, x U; (2) U, V Ux U∩ V Ux; (3) U Ux 且 U V V Ux ; (4) U Ux V Ux 使 V U 且 y V , V Uy. 证 由定义 2.3.1 得(1); 由开集的交是开集得 (2); 由定义 2.3.1 得(3); 取 V 为满足 xv U 的开集. 由邻域系出发可建立拓扑空间的理论, 显得自然 , 但不流行. 利用邻域与开集的关系 (定 理2.3.1)导出开集, 从 Ux (x X ) 具有定理 2.3.2 的性质的(1)-(4)出发, 定义 ={U X xU,U Ux } , 则 (X , ) 是拓扑空间, 且这空间中每一点 x 的邻域系恰是 Ux. 详见定理 2.3.3. 定义 2.3.2(点连续) 映射 f : X → Y 称为在点 x X 连续, 如果 U 是 f(x)在 Y 中的邻 域, 则 f -1 (U)是 x 在 X 中的邻域. 定理 2.1.4 保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出的拓扑空间中的点的连续性的一 致 . 另一方面 , 关于点的连续性 , 易验证(定理 2.3.4), 恒等映射在每一点连续, 两点连续的函 数之复 合仍是点连续的. 定义 2.2.4 与定义 2.3.2 所定义的“整体”连续与每一“点”连续是一致 的. 定理 2.3.5 设 f : X → Y 则 f 连续 f 在每一 x X 连续. 证 “”若 U 是 f(x)的邻域, 开集 V 使 f (x) V U , x ( ) ( ) 1 1 x f V f U − − “”若 U 是 Y 的开集, ( ) 1 x f U − , U 是 f(x)的邻域, f-1 (U)是 x 的邻域, 所以 f -1 (U) 在 X 中开
2.4导集、闭集、闭包 定义2.4.1设AcX,x称为A的聚点（凝聚点，极限点），如果x的每一邻域U中有A中 异于x的点，即Un(A-{x)≠中，A的全体聚点之集称为A的导集，记为d(A).x称为A的孤 立点，若x不是A的聚点，即存在x的邻域U使Un(A-{x)=,即UnAc{x: 例2.4.1X是离散空间.若AcX,则.d(A)=中 x∈X,取U={x;,则UnA三{x,所以x生d(A) 例2.42X是平庸空间，AcX若A=中，则d(A)=;若A=1,则d(A)=X-A;若1Ap1, 则d(A)=X. 对于x∈X,，若U是x的邻域，则U=X于是Un (A-{x)U⌒(A-{x})≠中台A-{x}≠中台A文{x}由此，易计算d(A). 定理2.4.1A,BcX,则 (1)d(p)=p; (2)AcB→dA)cd(B): (3)d(AUB)=d(A)d(B); (4)d(d(A)AUd(A) 证由定义2.4.1得(1)和(2). 关于(3).由(2)得d(A)Ud(B)cd(AUB).设xEd(A)Ud(B),分别存在x的邻域 U,V使得UOAc{x,V∩Bc{x},令D=U⌒V,则DA(AUB)c{x} 关于(4).设xAUd(A),存在x的邻域U,使得U⌒Ac{x,取x的开邻域VcU, 则VnA=,y∈V,V∩(A-{y})=中，y使d(A),V∩d(A)=中，xedd(A). 定义2.4.2AcX称为X的闭集，如果d(A)cA. 定理2.4.2A闭台A开. 证 “→”x∈A,由于d(4)cA，存在x的邻域U使 ,于是Uc'“=”x∈A,A∩A=中，xEd(A),所以d(4)cA' 例2.4.3R的闭区间是闭集. [a,b]=(-o,a)(b,+∞)开集.(a,b)不是闭集，因为a是聚点. 定理2.4.3记F是空间X的全部闭集族，则 13
13 2 . 4 导集、闭集 、闭包 定义 2.4.1 设 A X , x 称为 A 的聚点(凝聚点, 极限点), 如果 x 的每一邻域 U中有 A 中 异于 x 的点, 即 U∩ (A-{x}) . A 的全体聚点之集称为 A 的导集, 记为 d(A). x 称为 A 的孤 立点, 若 x 不 是 A 的聚点, 即存在 x 的邻域 U 使 U∩ (A-{x})= , 即 U∩ A {x}. 例 2.4.1 X 是离散空间. 若 A X , 则. d(A) = x X, 取 U={x}, 则 U∩ A {x}, 所以 x d(A) . 例 2.4.2 X 是平庸空间, A X 若 A= , 则 d(A) = ; 若|A|=1, 则 d(A)=X-A; 若|A|>1, 则 d(A) = X . 对 于 x X, , 若 U 是 x 的 邻 域 , 则 U=X, 于 是 U ∩ (A-{x}) U (A −{x}) A −{x} A {x} 由此, 易计算 d(A). 定理 2.4.1 A,B X , 则 (1) d() = ; (2) A B d(A) d(B) ; (3) d(A B) = d(A) d(B) ; (4) d(d(A)) A d(A) 证 由定义 2.4.1 得(1)和(2). 关于(3). 由(2)得 d(A) d(B) d(A B). 设 x d(A) d(B), 分别存在 x 的邻域 U,V 使得 U A {x},V B {x}, 令 D =U V , 则 D (A B) {x} . 关于(4). 设 x A d(A), 存 在 x 的邻 域 U , 使 得 U A {x}, 取 x 的开 邻 域 V U , 则 V A = ,y V,V (A −{y}) = , y d(A),V d(A) = , x d(d(A)). . 定义 2.4.2 A X 称为 X 的闭集 , 如果 d(A) A . 定理 2.4.2 A 闭 / A 开 . 证 “ ” x A , 由 于 d(A) A , 存 在 x 的邻域 U 使 , U 于是 U A / .“ ” x A / , A / A = , x d( A A), 所以 d(A) A’ = 例 2.4.3 R 的闭区间是闭集. [ , ] ( , ) ( , ) / a b = − a b + 开集. (a,b) 不是闭集, 因为 a 是聚点. 定理 2.4.3 记 F是空间 X 的全部闭集族, 则
(1)X,∈F; (2)A,B∈F=AUB∈F; (3)F对任意交封闭 证利用De Morgan定律及拓扑的定义.F={UU∈t}直接验证可得(I)、(2)、(3) Cantor集（例2.4.4）是集合论、点集拓扑或实变函数论中是具有特别意义的例子，它说明R 中的闭集可以是很复杂的，在此不介绍. 定义2.4.3AUd(A)称为A的闭包，记为A,A 定理2.4.5对ABcX,有 (1)p=中； (2)ACA-; (3)(AUB)=A-B-; (4)(A)=A. (3)(AUB)=AUBUd(AUB)=AUd(A)UBUd(B)=AUB-. (4)(A-)=(AUd(A))=A-d(A)=AUd(A)Ud(d(A))=A-.. 上述4条确定了闭包运算，称为Kuratowski闭包公理，由此可建立拓扑空间的概念.事实 上阿记此运算为c(A),定义t=UcX|c(U)=U},则(X,t)是拓扑空间，且这空间 中每一c(A)=A,详见定理2.4.8. 关于闭包的几个相关结果： (1)x∈A台对x的任一邻域有U⌒A≠中.（定义2.4.3后） (2)d(A)=(A-{x}): (3)A闭台d(A)cA⊙A=A.(定理2.4.4) (4)A是闭集.（定理2.4.6） (5)A是包含A的所有闭集之交，是包含A的最小闭集.（定理2.47：设F是包含A的 所有闭集之交，则ACFCA,ACF,所以F=A) 定义2.4.5(X,p)是度量空间.对非空的AcX,x∈X定义p(x,A)=p(x,y)y∈A 14
14 (1) X, F; (2) A, B F A B F; (3) F对任意交封闭. 证 利用 De Morgan 定律及拓扑的定义. F { } / = U U 直接验证可得(1)、(2)、(3) Cantor 集(例 2.4.4)是集合论、点集拓扑或实变函数论中是具有特别意义的例子, 它说明 R 中 的闭集可以是很复杂的, 在此不介绍. 定义 2.4.3 A∪ d(A)称为 A 的闭包, 记为 − A, A _ . 定理 2.4.5 对 A,B X , 有 (1) = − ; (2) − A A ; (3) − − − (A B) = A B ; (4) − − − (A ) = A . 证 (3) − − − (A B) = A B d(A B) = Ad(A) B d(B) = A B . (4) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) . − − − − − − A = Ad A = A d A = Ad A d d A = A . 上述 4 条确定了闭包运算, 称为 Kuratowski 闭包公理, 由此可建立拓扑空间的概念. 事实 上 阿记此运算为 c(A) , 定义 {U X| c(U ) U } / / = = , 则 (X , ) 是拓扑空间, 且这空间 中每一 − c(A) = A , 详见定理 2.4.8. 关于闭包的几个相关结果: (1) x A − 对 x 的任一邻域有 U A . (定义 2.4.3 后) (2) − d(A) = (A−{x}) ； (3) A 闭 − d(A) A A = A . (定理 2.4.4) (4 ) − A 是闭集. (定理 2.4.6) (5 ) − A 是包含 A 的所有闭集之交, 是包含 A 的最小闭集. (定理 2.4.7: 设 F 是包含 A 的 所有闭 集之交, 则 A F A A F − − , , 所以 − F = A .) 定义2.4.5 (X , ) 是度量空间.对非空的 A X, x X 定义 (x, A) = inf{ (x, y) y A}
定理2.4.9对度量空间(X,p)的非空子集A (I)x∈A台p(x,A)=0; (2)x∈d(A)台p(x,A-{x})=0. 证明： p(x,A)=0台E>0,3y∈A,p(x,y)<E台B(x,8)∩A≠中→ U∈U,U∩A≠中台x∈A 定理2.4.10设f:X→Y,则下述等价 (1)f连续 (2)若B闭于Y,则f-(B)闭于X; (3)廿AcX,f(A)cf(A) 证明：(I)→(2)B是Y的闭集，B是Y的开集，f-(B)=f-(B)'是X的开集，(B) 是X的闭集 (2)3)f(A)cf(A),Acf((A)),4((A)).f(A)cf(A) (3)()设U是Y的开集，U是Y的闭集且 ff-(U'))cff-(U')》cU,f-(U)cf-(U'),f-(U)=f-(U'是闭， f-(U)是开 15
15 定理 2.4.9 对度量空间 (X , ) 的非空子集 A (1) ( , ) = 0 − x A x A ; (2) x d(A) (x, A −{x}) = 0 . 证明： (x, A) = 0 0,y A, (x, y) B(x, ) A − U Ux ,U A x A 定理 2.4.10 设 f : X → Y , 则下述等价 (1) f 连续; (2) 若 B 闭于 Y , 则 ( ) 1 f B − 闭于 X ; (3) − − A X, f (A ) f (A) 证明； (1) (2)B 是 Y 的闭集， / B 是 Y 的开集， 1 / 1 / f (B ) f (B) − − = 是 X 的开集, f-1 (B) 是 X 的闭集. (2) (3) − − − − − − − − ( ) ( ) , ( ( ) ), ( ( ) ), ( ) ( ) 1 f A f A A f f A A f f A f A f A (3) (1) 设 U 是 Y 的开集， / U 是 Y 的闭集且 1 / 1 / / 1 / 1 / 1 / 1 / f ( f (U ) ) f ( f (U )) U , f (U ) f (U ), f (U ) f (U) − − − − − − − − − − = 是闭， ( ) 1 f U − 是开