2.5内部、边界 定义2.5.1若A是x的邻域，则称x是A的内点.A的所有内点的集合称为A的内部，记 为A°. 定理2.5.1对ACX,A°=A-,A=A01 证明：x∈A°，由于AnA=,于是xEA,从而x∈A 反之x∈A-,xEA,x的邻域VOA=中，V∈A,x∈A,因此，A=A-.从而 Al0=A-1=A-,A10=A 定理25.3对A,BcX,有 1)X=X0: (2)A°CA: (3)A°∩B°=(AOB) (4)A°=A0 证明：(1)，(2)是显然的 (A0B)=(4B)=4-0B-=4OB 而A0=A--=A=A0 关于内部的几个结果： (1)A是x的邻域台x∈A: (2)A°是开集： (3)A是开集： (4)A°是A所包含的所有开集之并，是含于A内的最大开集. 证明：(2)A=A是开集 (3)A开台A'闭⊙A'=A白A=A=A (4)设O是含于A内的所有开集之并，A°EOCAA°一O所以A°=O 定义252x称为A的边界点，若x的每一邻域既含有A中的点又有A中的点.A的边界 16
16 2.5 内部、边界 定义 2.5.1 若 A 是 x 的邻域, 则称 x 是 A 的内点. A 的所有内点的集合称为 A 的内部, 记 为 0 A . 定理2.5.1对 0 / / / 0 / A X, A = A , A = A − − 证明： , 0 x A 由于 , / A A = 于是 , /− x A 从而 . /−/ x A 反之 x A x A x − − ,. , / / / 的邻域 / 0 V A = ,V A, x A ，因此， 0 /−/ A = A .从而 − − − A = A = A A = A / 0 // / / / 0 / , . 定理 2.5.3 对 A,B X , 有 (1) 0 X = X ; A A 0 (2) ； 0 0 0 (3)A B = (A B) 0 00 (4)A = A . 证明：（1），（2）是显然的. 0 / / / / / / / 0 0 (A B) = (A B ) = A B = A B − − − 而 00 / // / / / 0 A = A = A = A − − − 关于内部的几个结果： （1） A 是 x 的邻域 A0 x ； (2) 0 A 是开集； （3） A 是开集； （4） 0 A 是 A 所包含的所有开集之并，是含于 A 内的最大开集. 证明： 0 / / (2) − A = A 是开集 （3）A开 / A 闭 / / / / 0 A = A A = A = A − − （4）设 O 是含于 A 内的所有开集之并， A O A A O o o , 所以 A O o = 定义 2.5.2 x 称为 A 的边界点, 若 x 的每一邻域, 既含有 A 中的点又有 / A 中 的点. A 的边界
点之集称为边界，记为aA 定理2.5.6对AcX,有(I)OA=AOA=O(A)(2)A=A°UOA(3)A°=A-aA 证明：(2)A°UGA=A°U(A⌒A)=(A°UA)∩(A°UA°)=A; (3)A--0A=A--(A-0A-)=A--A-=A-0A-=A 17
17 点 之集称为边界, 记为 A. 定理2.5.6 对 A X ，有 A A A A A A A A A A o o = = = = − − − − − (1) ( );(2) ;(3) / / 证明： (2) ( ) ( ) ( ) ; − /− − − − A A = A A A = A A A A = A o o o o o （3） o A − A = A − A A = A − A = A A = A − − − /− − /− − /− ( )
2.6基与子基 度量空间→球形邻域→开集→拓扑，在度量空间中球形邻域的作用就是拓扑空间中 基的作用 定义2.6.1设t是空间X的拓扑，Bcx,如果x中每一元是B中某子集族之并，称B是 X的基 所有单点集的族是离散空间的基 定理2.6.2设Bct,B为X的基台x∈X及x的邻域Uk,3V,使x∈V,cU, 证“一”存在开集Wx使得x∈WxCUx,B1cB使得W,=UB1,3',∈ B1cB1使x∈V.cU; “∈”设U∈t,x∈U,3V∈B使x∈V,cU,从而{WIx∈U}cB且 U=Uv, 在度量空间中，所有球形邻域的族是度量拓扑的基（定理2.6.1），.所有开区间的族是R的 基 定理2.6.3拓扑空间X的基B满足： (①)UB=X;(iDVB,B2∈B,x∈B,OB2,3B3∈B,x∈B3cB∩B2, 反之，若集合X的子集族B满足(1)、(2)，定义t={B,BCB;,则T是X的以B作 为基的唯一拓扑 证验证t是X的拓扑.()中=Up·(2)先设B,B2∈B,x∈B,∩B2,3w∈B 使x∈WCB,∩B2,于是BnB2={Wx|x∈B,∩B2}∈t.如果A,A2∈t,设A=UB, A2=UB,则A⌒A=UB1∩B2|B∈B,B,∈B2}∈T(3)设 TCT,A∈T,3BcB,使得A=UB,那么UT1=UU{Ba|A∈T}) 较强于()且易于验证的条件是(mHB,B2∈B,B,∩B2∈B 例2.6.1实数下限拓扑空间. 令B={[a,b)川a,b∈Ra<b;,则B为R上一拓扑的基.这空间称为实数下限拓扑空间， 记为R开区间是R中的开集，因为(a,b)=U2a+b) 18
18 2.6 基与子基 度量空间 → 球形邻域 → 开集 → 拓扑 . 在度量空间中球形邻域的作用就是拓扑空间中 基的作用. 定义 2.6.1 设 是空间 X 的拓扑, B , 如果 中每一元是B中某子集族之并, 称B 是 X 的基. 所有单点集的族是离散空间的基. 定理 2.6.2 设B ,B 为 X 的基 x X 及 x 的邻域 Ux, Vx 使 Vx Ux x . 证 “” 存在开集 Wx使得 x Wx Ux , B1 B 使得 Wx = B1, Vx B1 B1使 Vx Ux x ; “ ” 设 U , x U,Vx B 使 Vx Ux x , 从 而 {Vx | x U} B 且 U =xU Vx 在度量空间中, 所有球形邻域的族是度量拓扑的基(定理 2.6.1). 所有开区间的族是 R 的 基. 定理 2.6.3 拓扑空间 X 的基B 满足: (i) B = X ; (ii) B1 ,B2 B , x B1 B2 ,B3 B , , B3 B1 B2 x . 反之, 若集合 X 的子集族 B 满足(1)、(2), 定义 { B } = 1 B1 B , 则 是 X 的以 B 作 为基的唯一拓扑. 证 验证 是 X 的拓扑. (1) = . (2) 先设 B1 ,B2 B, B1 B2 x , wx B 使 W B1 B2 x x ,于是 = { | } 1 2 B1 B2 B B W x x . 如果 1 2 A , A , 设 A1 = B1 , A2 = B2, 则 A1 A2 = {B1 B2 | B1 B1, B1 B2} ..(3) 设 1 ,A 1 , BA B, 使得 A = BA, 那么 ( { 1 = BA | }) 1 A . 较强于(ii)且易于验证的条件是 (ii) B1 ,B2 B, B1 B2 B. 例 2.6.1 实数下限拓扑空间. 令 B = {[a, b) | a,b R, a b},则B 为 R 上一拓扑的基. 这空间称为实数下限拓扑空间, 记为 Rl. 开区间是 Rl 中的开集, 因为 + = + i Z b i a b a , ) 1 ( , ) [