由此，Q是可数集，两可数集的笛卡儿积集是可数集，可数个可数集之并集是可数集 定理1.7.8R是不可数集 利用Cantor对角线法证明开区间(0,1)中的实数不可数 直观上，集合A中元素的个数称为该集合的基数，记为card A或A.亿+=a,RFc.若存 在从集合A到集合B的单射，则定义A≤B, 连续统假设：不存在基数，使得a<<c· 选择公理：若A是由非空集构成的集族，则A∈A,可取定(A)∈A. 由选择公理可证明，若，B是基数，则下述三式中有且仅有一成立：x<B,a=B,a>B 6
6 由此, Q 是可数集, 两可数集的笛卡儿积集是可数集, 可数个可数集之并集是可数集. 定理 1.7.8 R 是不可数集. 利用 Cantor 对角线法证明开区间(0, 1)中的实数不可数 . 直观上, 集合 A中元素的个数称为该集合的基数, 记为card A, 或|A|. |Z+|= a , |R|= c . 若存 在 从集合 A 到集合 B 的单射, 则定义|A|≤ |B|. 连续统假设: 不存在基数 , 使得 a c . 选择公理: 若 A 是由非空集构成的集族, 则 A A, 可取定 (A) A. . 由选择公理可证明, 若 , 是基数, 则下述三式中有且仅有一成立: , = ,
第二章拓扑空间与连续映射 本章是点集拓扑学基础中之基础，从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的 两个概念：拓扑空间、连续映射，分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内 部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性 教学重点：拓扑空间与连续映射，邻域与邻域系； 教学难点：基与子基；可度量化空间 2.1度量空间与连续映射 在R上，xy表示点x与y之间的距离.绝对值是一非负函数，具有三条重要性质 定义2.11设X是一集合，p:X×X→R.如果满足正定性、对称性和三角不等 式，则称p是X的一个度量.(X,p)称为度量空间，p(Xy)表示两点xy之间的距离. 例2.1.1实数空间R (Xy)k-y儿，R的通常度量. 例2.1.2n维欧氏空间R”=R×R×.×R 对于x∈R”,记x=(x;)1sism定义P(x,y x-y)2 为Rm的通常度量，n维欧 氏空间.R2称为欧氏平面或平面. 例2.1.3 Hilbert空间H. H={x=(x,x2x x2<o}, 定义p:H×H→R 易证p为度量则度量空间(H,p)称为Hilbert空 (x,y)→p(x,y)三 间 例2.1.4离散度量空间. 度量空间(X,P)称为离散的，若x∈X,36,>0,使得不存在X中的点y≠x,满足 p(x,y)<6如对集合X,按如下方式定义p:X×X→R是X上的离散度量： 0,x=y p(x,y)= 1,x≠y 定义2.1.2设(X,P)是度量空间Bx,)=y∈XP(x,)<称为以x为心，E为半径
7 第二章 拓扑空间与连续映射 本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的 两 个概念: 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内 部、边 界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性. 教学重点：拓扑空间与连续映射,邻域与邻域系； 教学难点：基与子基；可度量化空间 2.1 度量空间与连续映射 在 R 上, |x-y|表示点 x 与 y 之间的距离. 绝对值是一非负函数, 具有三条重要性质. 定义 2.1.1 设 X 是一集合 , : X X → R . 如果 满足正定性、对称性和三角不等 式, 则称 是 X 的一个度量. (X , ) 称为度量空间, (x, y) 表示两点 x, y 之间的距离. 例 2.1.1 实数空间 R. (x,y)=|x -y|, R 的通常度量. 例 2.1.2 n 维欧氏空间 R R R R n = ... . 对于 n x R , 记 i i n x x = 1 ( ) 定义 = = − n i i i x y x y 1 2 ( , ) ( ) 为 Rn 的通常度量, n 维欧 氏空间. R2 称为欧氏平面或平面. 例 2.1.3 Hilbert 空间 H. { ( , ,.. ...) }, 1 2 1 2 = = = i n i H x x x x x = → = − → 1 2 ( , ) ( , ) ( ) : i i i x y x y x y H H R 定义 , 易证 为度量 则度量空间 (H, ) 称为 Hilbert 空 间. 例 2.1.4 离散度量空间. 度量空间 (X , ) 称为离散的, 若 x X, x 0 , 使得不存在 X 中的点 y x , 满足 x (x, y) 如对集合 X , 按如 下方式定 义 : X X → R 是 X 上的离散度 量: = = x y x y x y 1, 0, ( , ) 定义2.1.2 设 (X , ) 是度量空间 B(x, ) ={y X (x, y) } 称为以x为心, 为半径
的球形邻域或ε邻域，或球形邻域.对R,),B(XE)=(X-6,x+). 定理2.1.1度量空间(X,P)的球形邻域具有性质： (1)x∈X,&>0,x∈B(xE) (2) x∈X,61,62>0,则归63>0，满足x∈B(x,6)CBx,6)nB(x,82,): (3)若y∈B(x,6,36>0使B(,)CB(x,): 证(2)0<63<mn{61,62}: (3)6=s-p(x,y),B(y,6)B(x,s) 定义2.1.3X的子集A称为(X,p)的开集，若a∈A,38>0,使B(x,8)CA.每一球 形邻域是开集. 例2.1.5R中的开区间是开集 x∈(a,b)让￡=min{x-a,b-x}则B(x,)s(a,b)同样可证，无限开区也是开集. 闭区间[a,b)不是开集. 定理2.1.2度量空间的开集具有以下性质： (1)X,中是开集；(2)两开集的交是开集；(3)任意开集族之并是开集 证(1)由定理2.1.1(1)(2)，(3)由定理2.1.1(2). 定义2.1.4设X是度量空间，x∈X,U三X,U称为x的邻域，若有开集V,使 x∈VsU. 定理2.1.3U是X中点x的邻域存在ε>0，使B(x,c)cU. 定义2.1.5设X,Y是两度量空间.f:X→Y,x。∈X,称f在x。连续，若f(xo) 的球形邻域B(f(x,),),(&>O) 存在x。的球形邻域B(xo,δ)，使f(B(xo,δ)CB(f(x),), 称∫在X连续，若f在X的每一点连续。 定理2.1.4设X,Y是两度量空间.f:X→Y,x。∈X,那么 (I)f在x。连续若U是f(x)的邻域，则∫-(U)是x。的邻域： (2)∫在X连续若U是Y的开集，则f-(U)是X的开集
8 的球形邻域或 邻域, 或球形邻域. 对(R, |.|), B(x, ) = (x - , x + ). 定理 2.1.1 度量空间 (X , ) 的球形邻域具有性质: (1) x X, 0, x B(x. ) (2) , , 0, 0, ( ,. ) ( ,. ) ( ,. 2 ) 1 2 3 3 1 3 x X 则 满足x B x B x B x ； (3) 若 y B(x, ), 0 使 B( y, ) B(x, ) ； 证 (2) 0 min{ , } 3 1 2 ； (3) = − (x, y),则B(y,) B(x,) 定义 2.1.3 X 的子集 A 称为 (X , ) 的开集, 若 a A, 0,使B(x,) A. 每一球 形邻域是开集. 例 2.1.5 R 中的开区间是开集. x (a,b) 让 = min{ x − a,b − x} 则 B(x, ) (a,b) 同样可证, 无限开区也是开集. 闭区间[a, b] 不是开集. 定理 2.1.2 度量空间的开集具有以下性质: (1) X, 是开集; (2)两开集的交是开集; (3)任意开集族之并是开集. 证 (1)由定理 2.1.1(1); (2), (3)由定理 2.1.1(2). 定义 2.1.4 设 X 是度量空间, x X,U X,U 称为 x 的邻域, 若 有开集 V , 使 x V U . 定理 2.1.3 U 是 X 中点 x 的邻域 存在ε>0, 使 B(x, ε) U. 定义 2.1.5 设 X ,Y 是两度量空间. f : X → Y , x0 X , 称 f 在 0 x 连续, 若 ( ) 0 f x 的球形邻域 ( ( ), ),( 0) B f x0 存在 0 x 的球形邻域 B(x0, δ), 使 ( ( , )) ( ( ), ). 0 0 f B x B f x 称 f 在 X 连续, 若 f 在 X 的每一点连续. 定理 2.1.4 设 X ,Y 是两度量空间. f : X → Y , x0 X , 那么 (1) f 在 0 x 连续 若 U 是 ( ) 0 f x 的邻域, 则 ( ) 1 f U − 是 0 x 的邻域; (2) f 在 X 连续 若 U 是 Y 的开集, 则 ( ) 1 f U − 是 X 的开集
证(1)利用定义2.1.5,2.1.4 (2)“”f(U)是每一点的邻域“”证每一点连续，利用(1) 由此可见，度量空间的连续只与邻域或开集有关.它导入建立比度量空间更一般的拓扑空 间的概念及其连续性 9
9 证 (1)利用定义 2.1.5, 2.1.4. (2)“ ”f -1 (U)是每一点的邻域.“ ”证每一点连续, 利用(1). 由此可见, 度量空间的连续只与邻域或开集有关. 它导入建立比度量空间更一般的拓扑空 间 的概念及其连续性
2.2拓扑空间与连续映射 定义2.2.1设x是集合X的子集族，若x满足 ()X,p∈t,(2)HA,B∈t→AnB∈E(3)H1ct,U1∈t 称T是X的一个拓扑(X,x)是拓扑空间，π的元称为X的开集. 空间X的拓扑是X的全体开集的族。 定义2.22(X,p)度量空间.t。由X的所有开集构成的族.(X,t。)称为由度量p诱导出的 拓扑空间.T。简称为度量拓扑 度量空间一定是拓扑空间 例2.2.1平庸拓扑x={X,}平庸空间 例2.2.2离散拓扑t=P(X).离散空间.X的每一子集是开集.由离散度量空间导出的 拓扑是离散拓扑 例2.2.4有限补拓扑π={UcXU'是X的有限子集}U{} 验证T是X上的拓扑.(1)显然.(2)A,BcX,讨论A∩B时分两种情形，一是A,B中 有一是中，二是A,B都不是：(3)T1CT,不妨设3中≠A6∈t1利用De Morgan律.有限 补空间 例2.2.5可数补拓扑π={UcXU'是X的可数子集}U{} 定义2.2.3可度量化空间. 离散空间是可度量化空间.多于一点的平庸空间不是可度量化空间.度量化问题是点集拓 扑学研究的中心问题之一.本书将在6.6中给出该问题的一个经典的解 定义2.2.4X,Y是两拓扑空间.f:X→Y称f连续，若Y中每一开集U的原象(U) 是X中的开集 定理2.2.1恒同映射连续.连续函数的复合是连续的 定义2.2.5f:X→Y称为同胚或同胚映射，若ff是一一映射且ff及f-1均连续 定义2.2.6称两空间X与Y同胚，或X同胚于Y,若存在从X到Y的同胚 定理2.2.2(2.2.3)恒同映射同胚(X与X同胚)；f同胚→f-1同胚（若X与Y同胚，则Y 与X同胚)：同胚的复合是同胚（若X与Y同胚，且Y与Z同胚，则X与Z同胚） 空间的同胚关系是等价关系 10
10 2.2 拓扑空间与连续映射 定义 2.2.1 设 是集合 X 的子集族, 若 满足: 1 1 (1)X, ;(2) A, B A B ;(3) , 称 是 X 的 一 个 拓 扑 (X , ) 是 拓 扑 空 间 , 的 元 称 为 X 的开集 . 空间 X 的拓扑是 X 的全体开集的族. 定义 2.2.2 (X , ) 度量空间. 由 X 的所有开集构成的族 . (X, )称为由度量 诱导出的 拓扑空间. 简称为度量拓扑. 度量空间一定是拓扑空间. 例 2.2.1 平庸拓扑 = {X,} 平庸空间. 例 2.2.2 离散拓扑 = P(X ). 离散空间. X 的每一子集是开集. 由离散度量空间导出的 拓扑是 离散拓扑. 例 2.2.4 有限补拓扑 { } { } / = U X U 是X的有限子集 . 验证 是 X 上的拓扑. (1)显然 . (2) A, B X ， 讨论 A∩B 时分两种情形, 一是 A, B 中 有一是 , 二是 A, B都不是 ；（3） 1 ,不妨设 0 1 A 利用 De Morgan 律.有限 补空间. 例 2.2.5 可数补拓扑 { } { } / = U X U 是X的可数子集 定义 2.2.3 可度量化空间. 离散空间是可度量化空间. 多于一点的平庸空间不是可度量化空间. 度量化问题是点集拓 扑学研究的中心问题之一. 本书将在6.6中给出该问题的一个经典的解 . 定义 2.2.4 X ,Y 是两拓扑空间. f : X → Y 称 f 连续, 若 Y 中每一开集 U 的原象 f -1 (U) 是 X 中的开集. 定理 2.2.1 恒同映射连续. 连续函数的复合是连续的. 定义 2.2.5 f : X → Y 称为同胚或同胚映射, 若 f f是一一映射且 f f及 −1 f 均连续. 定义 2.2.6 称两空间 X 与 Y 同胚, 或 X 同胚于 Y, 若存在从 X 到 Y 的同胚. 定理 2.2.2(2.2.3) 恒同映射同胚(X 与 X 同胚); f 同胚 −1 f 同胚 (若 X 与 Y 同胚, 则 Y 与 X 同 胚); 同胚的复合是同胚(若 X 与 Y 同胚, 且 Y 与 Z 同胚, 则 X 与 Z 同胚). 空间的同胚关系是等价关系