充分性：如果(A,B,C,D)是既能控的又能观的，则它一定是G(s)的 一个最小实现。 反证法：如果(A,B,C,D)是n维的，且是既能控的又能观的，而 又不是G(s)最小实现，则必存在一个n<n维的最小实现(A,B,C,D) ,它与(A,B,C,D)具有相同的传递函数阵G()=G(s),即 C(sI-A)B+D=C(sI-A)-B+D 而 (s-A)1=sI+s2A+s3A2+… 则 CBs-+CABs-2+CA2Bs-3+...+D=CBs-+CA Bs-2+CA2Bs-3+...+D 这意味着 CAB=CAB i=0,1,2,… (5-6) 及 D=D (5-6) 由(A,B,C,D)与(A,B,C,D)的能控性矩阵与能观性矩阵 C CA V= CA' U=[BABA2B·A"-B] 11 CA"-1
11 反证法：如果 是 维的，且是既能控的又能观的，而 又不是 最小实现，则必存在一个 维的最小实现 ，它与 具有相同的传递函数阵 ，即 (A,B,C, D) n G(s) n n (A,B,C, D) (A,B,C, D) G (s) G(s) C I A B D C I A B D 1 1 (s ) (s ) (sI A) 1 s 1 I s 2 A s 3A 2 CB CAB CA B D CB CA B CA B D 2 2 s 1 s 2 s 3 s 1 s 2 s 3 而 则 这意味着 CA iB CA iB i 0 ,1 , 2 , D D 由 (A,B,C, D)与 (A,B,C, D)的能控性矩阵与能观性矩阵 [ ] 1 U B AB A B A B 2 n n1 CA CA CA C V 2 （5－6） 及 充分性：如果 是既能控的又能观的，则它一定是 的 一个最小实现。 (A,B,C, D) G(s) （5－6）
CB CAB CA2B CA"B CAB CA'B CAB CA"B VU= CA2B CAB CAB … CA"+B CA"-B CA"B CA"+lB… CA2-B 同样有 CB CAB CAB CA"-B CAB CAB CAB CA"B VU- CAB CAB CAB CA"B CA"-B CA"B CA"+B.… C A2-B 由式（5-6)可得 VU-VU 及 rank(VU)=rank(VU) (5-8) 因为(4，B,C,D)是既能控又能观的，所以 rank(U)=rank(V)=n rank(VU)=n 而(A,B,C,D)是G)的一个最小实现，它必定是既能控又能观的， 则有 rank(U)=rank(V)=n rank(V U)=n<n 这与rank(VU)=rank(VU)矛盾o 12
12 CA B CA B CA B CA B CA B CA B CA B CA B CAB CA B CA B CA B CB CAB CA B CA B V U 2 2 2 1 1 2 1 3 4 1 3 1 n n n n n n n C A B C A B C A B C A B C A B CA B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C B C A B C A B C A B V U 2 2 2 1 1 2 1 3 4 1 3 1 n n n n n n n 同样有 由式（5－6）可得 V U V U 及 rank (VU) rank (VU ) 因为(A,B,C, D)是既能控又能观的，所以 rank(U) rank(V) n rank(V U) n 而 是 的一个最小实现，它必定是既能控又能观的， 则有 (A,B,C, D) G(s) rank (U ) rank (V ) n rank (V U ) n n 这与 rank (VU) rank (VU ) 矛盾。 （5－8）
所以，如果(A,B,C,D)是既能控的又能观的，则它一定是Gs)的 一个最小实现。 证毕 (2)定理5一3G(s)的所有最小实现都是等价的。 证明设(4，B,C,D)与(A,B,C,D)是G(s)的任意两个最小实现，因为 (A,B,C,D)与(A,B,C,D都是既能控又能观的，所以 rank(U)=rank(V)=n rank(U)=rank(V)=n=n 则n×n矩阵UU及rr都是非奇异的 rank(UU*)=rank(V'V)=n (0U)与W)存在，由式(5-8) YU=YU 歹*VUU*=歹*歹U* 应*)7*V=ūU*(UU)1 由式(5一6) VAU-VAU V*VAUU*=V*7A可U VV)VVA=AUU(UU) 13
13 所以，如果 是既能控的又能观的，则它一定是 的 一个最小实现。 (A,B,C, D) G(s) 证毕 ⑵ 定理 5－3 G(s) 的所有最小实现都是等价的。 证明 设 与 是 的任意两个最小实现，因为 与 都是既能控又能观的，所以 (A,B,C, D) (A,B,C,D) G(s) (A,B,C, D) (A,B,C,D) rank(U) rank(V) n rank (U ) rank (V ) n n 则 n n矩阵U U及 V V 都是非奇异的 rank rank n (U U ) (V V ) (U U ) 1与(V V ) 1存在，由式（5－8） VU VU V V U U V V U U 1 1 ( ) ( ) V V V V U U U U 由式(5—6) V AU V A U V V AU U V V A U U 1 1 ( ) ( ) V V V V A A U U U U
令 P=(应*V7*V=UU*(UU*)-1 有 PA=AP 再由W=U *VU=可*7U 万=(W*)17*VU=PU 同理 7=P-1 说明B=PB,C=CP。这证明了(A,B,C,D)与(A,E,C,D)是等价的 ,并且其等价变换阵p=)v=ūW'(UU)1。 对于单变量系统，其能控性矩阵和能观性矩阵都是非奇异的 n×n方阵，则 UU*-VV=I 所以 P=(V*V)-1V*V=UU*(UU*)-1=V-V=U-1 14
14 令 1 1 ( ) ( ) P V V V V U U U U 有 P A A P 再由 VU VU V V U V V U 1 V VP U V V V V U P U 1 ( ) 同理 说明 ， 。这证明了 与 是等价的 ，并且其等价变换阵 。 B P B 1 C C P (A,B,C, D) (A,B,C, D) 1 1 ( ) ( ) P V V V V U U U U 对于单变量系统，其能控性矩阵和能观性矩阵都是非奇异的 方阵，则 1 1 1 1 ( ) ( ) P V V V V U U U U V V UU n n U U V V I 所以
(3)正则有理函数8与正则有理函数阵G(s)的阶次 ·正则有理函数(s)的阶次 正则有理函数g()是一个有理分式多项式 8()= N(s) (5-9) D(s) 若D(s)与N(s)是互质的（称之为不可简约的），并且D(s)为首一多项 式，称Ds)为g(s)的特征多项式。 定义特征多项式D(s)的阶次为正则有理函数8s)的阶次，记以 degg(s)。(要点：gs)是不可简约的) 例5-2 8s)=-1)2 3s3-1)） 的互质分式为0D， s+1 特征多项式为(s2+s+l),deg g(s)=2。 15
15 ⑶ 正则有理函数 与正则有理函数阵 的阶次 正则有理函数g(s)的阶次 正则有理函数 g(s)是一个有理分式多项式 ( ) ( ) ( ) D s N s g s 若 与 是互质的(称 之为不可简约的)，并且 为首一多项 式，称 为 的特征多项式。 D(s) N(s) D(s) D(s) g(s) 定义 特征多项式 的阶次为正则有理函数 的阶次，记以 。(要点： 是不可简约的) D(s) g(s) deg g(s) G(s) g(s) 例5－2 3( 1) ( 1) ( ) 3 2 s s g s 的互质分式为 3( 1) ，特征多项式为 ， 。 1 2 s s s g(s) ( 1) 2 s s deg g(s) 2 （5－9） g(s)