北京理工大学理学院：《工程力学》教学资源_§10 应力应变分析及应力应变关系

1平面应力状态的工程表示方法 应力分量的正负号规定: y 正应力σ,.以拉为正 切应力x,y以使单元体顺 时针转动为正 故切应力互等定理为: 2.平面应力状态分析解析法 若某点的应力状态已知,可求出该点任意 外法线与为n的斜截面上的应力分量

1.平面应力状态的工程表示方法 x y x   y y   x y  x   y  x 正应力  x ，  y 以拉为正 切应力 ， 以使单元体顺 时针转动为正 x  y  应力分量的正负号规定： 故切应力互等定理为： x y  = − 2. 平面应力状态分析——解析法 若某点的应力状态已知，可求出该点任意 外法线与为n的斜截面上的应力分量

已知:某点单元体上的应力分量Ox2OyTx 求该点外法线为n的斜截面—α面上的正应力aa, 切应力ta 沿斜面将单元体切开取分离体,设斜面面积为dA 2E=0 OadA-Or(dAcos a)cosa+T,(dAcos a)sin a o, ( dAsin a)sin a+T, (dasin a)cosa=0 O..-0 cOS∠c-.Sn∠c 2 0同理∑F=0可得: c 2a+t cos 2a c y

已知：某点单元体上的应力分量 x y x  , , x y x   y y   x y  x   y  x n      求该点外法线为n的斜截面——面上的正应力 , 切应力 。     沿斜面将单元体切开取分离体，设斜面面积为dA      x y  x   y  = 0 Fn   dA− x (dAcos)cos + x (dAcos)sin  − y (dAsin )sin  + x (dAsin ) cos = 0  n t          cos 2 sin 2 2 2 x x y x y − − + + = 同理 Ft = 0 可得：        sin 2 cos 2 2 x x y + − =

斜面应力公式 O 0.+0.O coS2c-t.Sm∠ (10.1) 2 2 Sin 2a+T cos 2a (10.2) O c O XX

斜面应力公式          cos 2 sin 2 2 2 x x y x y − − + + =        sin 2 cos 2 2 x x y + − = （10.1） (10.2) x y x   y y   x y  x   y  x n     

§104主平面、主方向、主应力、最大切应力 1.主平面主方向主应力 在变形体内某一点处: 若某一方向的斜截面上a=0,则该截面称为主平面 该斜截面的方向角a称为主方向,记为ap 则有(10.2)x=sn2a+z,cos2a=0 2 27 主方向公式tan2a (10.3) 0-2m内,得两个值am1和ap2,且ap2=ap±90 即这两个主平面相互垂直

§10.4主平面、主方向、主应力、最大切应力 1. 主平面 主方向 主应力 在变形体内某一点处： 若某一方向的斜截面上   = 0 ，则该截面称为主平面 该斜截面的方向角称为主方向，记为P， 则有 sin 2 cos 2 0 2 + = − =        x x y (10.2) 0~2内，得两个值 P1 和  P2 ，且 = 90 P2 P1 x y x P     − = − 2 主方向公式 tan 2 （10.3） 即这两个主平面相互垂直

主平面上的正应力称为主应力 将αp,an2代入(10.)得出主平面上的主应力为: 主应力公式 0 +O +2|(10.4) 2 0.+0.0.-0 由斜面应力公式(10.1) cos∠c-rsn2c do 令 y 2sin 2a+2T. cos 2a =0 C 2 27 同样有 tan 2a= 即(10.3)式 故,主平面上的正应力达到极值 即主应力分别对应于on的极大值和极小值

主平面上的正应力称为主应力 由斜面应力公式（10.1）          cos 2 sin 2 2 2 x x y x y − − + + = 2sin 2 2 cos 2 0 2 =        + − = −         x x y d d 令 x y x     − = − 2 同样有 tan 2 即（10.3）式 故，主平面上的正应力达到极值 即主应力分别对应于的极大值和极小值 将P1， P2代入（10.1）得出主平面上的主应力为： 2 2 2 2 x x y x y        +         −  + =   主应力公式 （10.4)