Ap2=p-po 同理 △v1,l2=1 这说明,只要力函数不变,作用时间相同,则不管物体有无初动量,也不管初动量有多大, 那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同,这就是动量定理. (2)同上理,两种情况中的作用时间相同,即 亦即 t2+10t-200=0 解得t=10s,(t'=20s舍去) 29一质量为m的质点在xOy平面上运动,其位置矢量为 r=acos ati bsn ati 求质点的动量及t=0到。x 时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量 解:质点的动量为 p=mv= mo(asin ati bcosoy) 将t=0和t=分别代入上式,得 Pi=mobj, P2=-moar 则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为 Ap=p2-P p(ai +bj) 2-10一颗子弹由枪口射出时速率为vm 当子弹在枪筒内被加速时,它所受的合力为 F=(a-b)N(a,b为常数),其中t以秒为单位:(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零, 试计算子弹走完枪筒全长所需时间:(2)求子弹所受的冲量.(3)求子弹的质量 解:(1)由题意,子弹到枪口时,有 F=(a-b)=0,得t (2)子弹所受的冲量 (a-bt )dt bt 将t=代入,得
6 = − = = t p p p F t p 0 2 0 d 1 , 同理， 2 1 v v = , 2 1 I I = 这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大， 那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即 = + = + t I t t t t 0 2 (10 2 )d 10 亦即 10 200 0 2 t + t − = 解得 t = 10 s，( t = 20 s 舍去) 2-9 一质量为 m 的质点在 xOy 平面上运动，其位置矢量为 r a ti b tj = cos + sin 求质点的动量及 t ＝0 到 2 t = 时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量． 解: 质点的动量为 p mv m ( asin ti bcos tj) = = − + 将 t = 0 和 2 t = 分别代入上式，得 p m bj 1 = , p m ai 2 = − , 则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为 ( ) 2 1 I p p p m ai bj = = − = − + 2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为 1 0m s − v ，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =( a −bt )N( a,b 为常数)，其中 t 以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零， 试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量． 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有 F = (a − bt) = 0 ,得 b a t = (2)子弹所受的冲量 = − = − t I a bt t at bt 0 2 2 1 ( )d 将 b a t = 代入，得 b a I 2 2 =
(3)由动量定理可求得子弹的质量 n= 2-11一炮弹质量为m,以速率ν飞行,其内部炸药使此炮弹分裂为两块,爆炸后由于炸药 使弹片增加的动能为T,且一块的质量为另一块质量的k倍,如两者仍沿原方向飞行,试证 其速率分别为 km 证明:设一块为m1,则另一块为m2 km2及 于是得 k+1 k+1 又设m1的速度为v1,m2的速度为v2,则有 V+ -. v m,,+ m,V2 联立①、③解得 (k+1)v-kv 将④代入②,并整理得 2T k 于是有 Vkm 将其代入④式,有 2kT 又,题述爆炸后,两弹片仍沿原方向飞行,故只能取 Vki 2-12设F合=7-6八N.(1)当一质点从原点运动到F=-3+4j+16km时,求F所作 的功.(2)如果质点到r处时需0.6s,试求平均功率.(3)如果质点的质量为1kg,试求动能 的变化
7 (3)由动量定理可求得子弹的质量 0 2 0 2bv a v I m = = 2-11 一炮弹质量为 m ，以速率 v 飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药 使弹片增加的动能为 T ，且一块的质量为另一块质量的 k 倍，如两者仍沿原方向飞行，试证 其速率分别为 v + m 2kT , v - km 2T 证明: 设一块为 m1 ，则另一块为 m2， 1 2 m = km 及 m1 + m2 = m 于是得 1 , 1 1 2 + = + = k m m k km m ① 又设 m1 的速度为 1 v , m2 的速度为 2 v ，则有 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 T = m v + m v − mv ② 1 1 2 2 mv = m v + m v ③ 联立①、③解得 2 1 v = (k +1)v − kv ④ 将④代入②，并整理得 2 1 ( ) 2 v v km T = − 于是有 km T v v 2 1 = 将其代入④式，有 m kT v v 2 2 = 又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取 km T v v m kT v v 2 , 2 1 = + 2 = − 证毕． 2-12 设 F 7i 6 jN 合 = − ．(1) 当一质点从原点运动到 r 3i 4 j 16km = − + + 时，求 F 所作 的功．(2)如果质点到 r 处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能 的变化．
(1)由题知,FA为恒力 F·F=(71-6j)·(-3i =-21-24=-45J A45 75w Mt0.6 (3)由动能定理,AE=A=-45J 2-13以铁锤将一铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比,在 铁锤击第一次时,能将小钉击入木板内1cm,问击第二次时能击入多深,假定铁锤两次打击 铁钉时的速度相同 解:以木板上界面为坐标原点,向内为y坐标正向,如题2-13图,则铁钉所受阻力为 题2-13图 第一锤外力的功为A A==y=[小y 式中∫’是铁锤作用于钉上的力,∫是木板作用于钉上的力,在d→>0时,f=- 设第二锤外力的功为A,则同理,有 k A kud 由题意,有 A2=A1=△( kk 所以 于是钉子第二次能进入的深度为 Ay=y2-y1=√2-1=0.414cm 2-14设已知一质点(质量为m)在其保守力场中位矢为r点的势能为Ep(r)=k/r",试求
8 解: (1)由题知， F合 为恒力， ∴ A F r (7i 6 j) ( 3i 4 j 16k ) 合 = = − − + + = −21− 24 = −45 J (2) 75 w 0.6 45 = = = t A P (3)由动能定理， E = A = −45 J k 2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在 铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击 铁钉时的速度相同． 解: 以木板上界面为坐标原点，向内为 y 坐标正向，如题 2-13 图，则铁钉所受阻力为 题 2-13 图 f = −ky 第一锤外力的功为 A1 = = − = = s s k A f y f y k y y 1 0 1 2 d d d ① 式中 f 是铁锤作用于钉上的力， f 是木板作用于钉上的力，在 dt →0 时， f = − f ． 设第二锤外力的功为 A2 ，则同理，有 = = − 2 1 2 2 2 2 2 1 d y k A ky y ky ② 由题意，有 2 ) 2 1 ( 2 2 1 k A = A = mv = ③ 即 2 2 2 1 2 2 k k ky − = 所以， y2 = 2 于是钉子第二次能进入的深度为 y = y2 − y1 = 2 −1 = 0.414 cm 2-14 设已知一质点(质量为 m )在其保守力场中位矢为 r 点的势能为 n P E (r) = k /r , 试求