习题六 6-1气体在平衡态时有何特征?气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同? 答:气体在平衡态时,系统与外界在宏观上无能量和物质的交换;系统的宏观性质不随时间 变化. 力学平衡态与热力学平衡态不同.当系统处于热平衡态时,组成系统的大量粒子仍在不 停地、无规则地运动着,大量粒子运动的平均效果不变,这是一种动态平衡.而个别粒子所 受合外力可以不为零.而力学平衡态时,物体保持静止或匀速直线运动,所受合外力为零 6-2气体动理论的研究对象是什么?理想气体的宏观模型和微观模型各如何? 答:气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统.是从物质的微观结构和分子运动论 出发,运用力学规律,通过统计平均的办法,求出热运动的宏观结果,再由实验确认的方法 从宏观看,在温度不太低,压强不大时,实际气体都可近似地当作理想气体来处理,压 强越低,温度越高,这种近似的准确度越高.理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由 运动的质点 6-3何谓微观量?何谓宏观量?它们之间有什么联系? 答:用来描述个别微观粒子特征的物理量称为微观量.如微观粒子(原子、分子等)的大小、 质量、速度、能量等.描述大量微观粒子(分子或原子)的集体的物理量叫宏观量,如实验中 观测得到的气体体积、压强、温度、热容量等都是宏观量 气体宏观量是微观量统计平均的结果 6-4计算下列一组粒子平均速率和方均根速率? 21 (ms-) 10.0 20.0 30.0 40.0 解:平均速率 ∑NV 21×10+4×20+6×30+8×40+2×50 21+4+6+8+2 89021.7ms 方均根速率 Ny 21×102+4×202+6×103+8×402+2×502 21+4+6+8+2 =256m.s-1 6-5速率分布函数∫(v)的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(n为分子数密度, N为系统总分子数)
1 习题六 6-1 气体在平衡态时有何特征?气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同? 答：气体在平衡态时，系统与外界在宏观上无能量和物质的交换；系统的宏观性质不随时间 变化． 力学平衡态与热力学平衡态不同．当系统处于热平衡态时，组成系统的大量粒子仍在不 停地、无规则地运动着，大量粒子运动的平均效果不变，这是一种动态平衡．而个别粒子所 受合外力可以不为零．而力学平衡态时，物体保持静止或匀速直线运动，所受合外力为零． 6-2 气体动理论的研究对象是什么?理想气体的宏观模型和微观模型各如何? 答：气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统．是从物质的微观结构和分子运动论 出发，运用力学规律，通过统计平均的办法，求出热运动的宏观结果，再由实验确认的方法． 从宏观看，在温度不太低，压强不大时，实际气体都可近似地当作理想气体来处理，压 强越低，温度越高，这种近似的准确度越高．理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由 运动的质点． 6-3 何谓微观量?何谓宏观量?它们之间有什么联系? 答：用来描述个别微观粒子特征的物理量称为微观量．如微观粒子(原子、分子等)的大小、 质量、速度、能量等．描述大量微观粒子(分子或原子)的集体的物理量叫宏观量，如实验中 观测得到的气体体积、压强、温度、热容量等都是宏观量． 气体宏观量是微观量统计平均的结果． 6-4 计算下列一组粒子平均速率和方均根速率? Ni 21 4 6 8 2 (m s ) −1 Vi 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 解：平均速率 21 4 6 8 2 21 10 4 20 6 30 8 40 2 50 + + + + + + + + = = i i i N N V V 21.7 41 890 = = 1 m s − 方均根速率 21 4 6 8 2 21 10 4 20 6 10 8 40 2 50 2 2 3 2 2 2 2 + + + + + + + + = = i i i N N V V = 25.6 1 m s − 6-5 速率分布函数 f (v) 的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义( n 为分子数密度， N 为系统总分子数)．
(1)f(v)d (2) nf(v )du (3) Nf(v)dv (4)f(v)dv 5)f(vdv (6)|N(v)dv 解:f():表示一定质量的气体,在温度为T的平衡态时,分布在速率v附近单位速率区 间内的分子数占总分子数的百分比 (1)f(v)dv:表示分布在速率v附近,速率区间dv内的分子数占总分子数的百分比 (2)nf(v)dv:表示分布在速率v附近、速率区间dhv内的分子数密度 (3)Nf(v)dv:表示分布在速率v附近、速率区间dh内的分子数 (4)()dv:表示分布在n~2区间内的分子数占总分子数的百分比 (5)5f)d:表示分布在0~∞的速率区间内所有分子,其与总分子数的比值是1 (6)M()dr:表示分布在n~n2区间内的分子数 6-6最概然速率的物理意义是什么?方均根速率、最概然速率和平均速率,它们各有何用 处 答:气体分子速率分布曲线有个极大值,与这个极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速 率.物理意义是:对所有的相等速率区间而言,在含有vp的那个速率区间内的分子数占总 分子数的百分比最大 分布函数的特征用最概然速率vp表示;讨论分子的平均平动动能用方均根速率,讨论 平均自由程用平均速率 6-7容器中盛有温度为T的理想气体,试问该气体分子的平均速度是多少?为什么? 答:该气体分子的平均速度为0.在平衡态,由于分子不停地与其他分子及容器壁发生碰撞、 其速度也不断地发生变化,分子具有各种可能的速度,而每个分子向各个方向运动的概率是 相等的,沿各个方向运动的分子数也相同.从统计看气体分子的平均速度是0 6-8在同一温度下,不同气体分子的平均平动动能相等,就氢分子和氧分子比较,氧分子 的质量比氢分子大,所以氢分子的速率一定比氧分子大,对吗? 答:不对,平均平动动能相等是统计平均的结果.分子速率由于不停地发生碰撞而发生变化, 分子具有各种可能的速率,因此,一些氢分子的速率比氧分子速率大,也有一些氢分子的速 率比氧分子速率小 6-9如果盛有气体的容器相对某坐标系运动,容器内的分子速度相对这坐标系也增大了, 温度也因此而升高吗? 答:宏观量温度是一个统计概念,是大量分子无规则热运动的集体表现,是分子平均平动动 能的量度,分子热运动是相对质心参照系的,平动动能是系统的内动能.温度与系统的整体 运动无关.只有当系统的整体运动的动能转变成无规则热运动时,系统温度才会变化 6-10题6-10图(a)是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线,哪一条代表氢? 题6-10图(b)是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线,哪一条的温度较高? 2
2 （1） f (v)dv （2） nf (v)dv （3） Nf (v)dv （4） v f v v 0 ( )d （5） 0 f (v)dv （6） 2 1 ( )d v v Nf v v 解： f (v) ：表示一定质量的气体，在温度为 T 的平衡态时，分布在速率 v 附近单位速率区 间内的分子数占总分子数的百分比. ( 1 ) f (v)dv ：表示分布在速率 v 附近，速率区间 dv 内的分子数占总分子数的百分比. ( 2 ) nf (v)dv ：表示分布在速率 v 附近、速率区间 dv 内的分子数密度． ( 3 ) Nf (v)dv ：表示分布在速率 v 附近、速率区间 dv 内的分子数． ( 4 ) v f v v 0 ( )d ：表示分布在 1 ~ 2 v v 区间内的分子数占总分子数的百分比． ( 5 ) 0 f (v)dv ：表示分布在 0 ~ 的速率区间内所有分子，其与总分子数的比值是 1. ( 6 ) 2 1 ( )d v v Nf v v ：表示分布在 1 ~ 2 v v 区间内的分子数. 6-6 最概然速率的物理意义是什么?方均根速率、最概然速率和平均速率，它们各有何用 处? 答：气体分子速率分布曲线有个极大值，与这个极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速 率．物理意义是：对所有的相等速率区间而言，在含有 P v 的那个速率区间内的分子数占总 分子数的百分比最大． 分布函数的特征用最概然速率 P v 表示；讨论分子的平均平动动能用方均根速率，讨论 平均自由程用平均速率． 6-7 容器中盛有温度为 T 的理想气体，试问该气体分子的平均速度是多少?为什么? 答：该气体分子的平均速度为 0 .在平衡态，由于分子不停地与其他分子及容器壁发生碰撞、 其速度也不断地发生变化，分子具有各种可能的速度，而每个分子向各个方向运动的概率是 相等的，沿各个方向运动的分子数也相同．从统计看气体分子的平均速度是 0 . 6-8 在同一温度下，不同气体分子的平均平动动能相等，就氢分子和氧分子比较，氧分子 的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子大，对吗? 答：不对，平均平动动能相等是统计平均的结果．分子速率由于不停地发生碰撞而发生变化， 分子具有各种可能的速率，因此，一些氢分子的速率比氧分子速率大，也有一些氢分子的速 率比氧分子速率小． 6-9 如果盛有气体的容器相对某坐标系运动，容器内的分子速度相对这坐标系也增大了， 温度也因此而升高吗? 答：宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动 能的量度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能．温度与系统的整体 运动无关．只有当系统的整体运动的动能转变成无规则热运动时，系统温度才会变化． 6-10 题 6-10 图(a)是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条代表氢? 题 6-10 图(b)是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条的温度较高?
答:图(a)中(1)表示氧,(2)表示氢:图(b)中(2)温度高 题6-10图 6-11温度概念的适用条件是什么?温度微观本质是什么? 答:温度是大量分子无规则热运动的集体表现,是一个统计概念,对个别分子无意义.温度 微观本质是分子平均平动动能的量度 6-12下列系统各有多少个自由度 (1)在一平面上滑动的粒子 (2)可以在一平面上滑动并可围绕垂直于平面的轴转动的硬币; (3)一弯成三角形的金属棒在空间自由运动 解:(1)2,(2)3,(3)6 6-13试说明下列各量的物理意义 (2)-kT (3)-kT (4)M (5)RT (6)-RT 解:(1)在平衡态下,分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为_kT (2)在平衡态下,分子平均平动动能均为kT (3)在平衡态下,自由度为的分子平均总能量均为kT M i (4)由质量为M,摩尔质量为Mm,自由度为i的分子组成的系统的内能为 (5)1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能为RT (6)1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能RT,或者说热力学体系内,1摩尔分子的 平均平动动能之总和为=RT 6-14有两种不同的理想气体,同压、同温而体积不等,试问下述各量是否相同? (1)分子数密度;(2)气体质量密度;(3)单位体积内气体分子总平动动能:(4)单位体积 内气体分子的总动能 解:(1)由p=nkTn=P知分子数密度相同
3 答：图(a)中( 1 )表示氧，( 2 )表示氢；图(b)中( 2 )温度高． 题 6-10 图 6-11 温度概念的适用条件是什么?温度微观本质是什么? 答：温度是大量分子无规则热运动的集体表现，是一个统计概念，对个别分子无意义．温度 微观本质是分子平均平动动能的量度． 6-12 下列系统各有多少个自由度： (1)在一平面上滑动的粒子； (2)可以在一平面上滑动并可围绕垂直于平面的轴转动的硬币； (3)一弯成三角形的金属棒在空间自由运动． 解：( 1 ) 2 ，( 2 ) 3，( 3 ) 6 6-13 试说明下列各量的物理意义． （1） kT 2 1 （2） kT 2 3 （3） kT i 2 （4） RT i M M mol 2 （5） RT i 2 （6） RT 2 3 解：( 1 )在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为 k 2 1 T． ( 2 )在平衡态下，分子平均平动动能均为 kT 2 3 . ( 3 )在平衡态下，自由度为 i 的分子平均总能量均为 kT i 2 . ( 4 )由质量为 M ，摩尔质量为 Mmol ，自由度为 i 的分子组成的系统的内能为 RT i M M mol 2 . (5) 1 摩尔自由度为 i 的分子组成的系统内能为 RT i 2 . (6) 1 摩尔自由度为 3 的分子组成的系统的内能 RT 2 3 ，或者说热力学体系内，1 摩尔分子的 平均平动动能之总和为 RT 2 3 . 6-14 有两种不同的理想气体，同压、同温而体积不等，试问下述各量是否相同? (1)分子数密度；(2)气体质量密度；(3)单位体积内气体分子总平动动能；(4)单位体积 内气体分子的总动能． 解：( 1 )由 kT p p = nkT, n = 知分子数密度相同；
(2)由D=MM m知气体质量密度不同 (3)由n-kT知单位体积内气体分子总平动动能相同 (4)由n-kT知单位体积内气体分子的总动能不一定相同. 6-15何谓理想气体的内能?为什么理想气体的内能是温度的单值函数? 解:在不涉及化学反应,核反应,电磁变化的情况下,内能是指分子的热运动能量和分子间 相互作用势能之总和.对于理想气体不考虑分子间相互作用能量,质量为M的理想气体的 所有分子的热运动能量称为理想气体的内能 由于理想气体不计分子间相互作用力,内能仅为热运动能量之总和.即 E RT是温度的单值函数 6-16如果氢和氦的摩尔数和温度相同,则下列各量是否相等,为什么? (1)分子的平均平动动能;(2)分子的平动动能;(3)内能 解:(1)相等,分子的平均平动动能都为kT (2)不相等,因为氢分子的平均动能kT,氦分子的平均动能kT (3)不相等,因为氢分子的内能U=RT,氦分子的内能U=RT 6-17有一水银气压计,当水银柱为0.76m高时,管顶离水银柱液面0.12m,管的截面积为 2.0×10m2,当有少量氦(He混入水银管内顶部,水银柱高下降为0.6m,此时温度为 27℃,试计算有多少质量氦气在管顶(He的摩尔质量为0.004kg·mo1)? M 解:由理想气体状态方程pV=M个得 M=M pV 汞的重度 dh=1.33×103Nm-3 氦气的压强P=(076-060)×d 氦气的体积 =(0.88-0.60)×2.0×10-m 002×(076-060)xd×(028×20×10-) R(273+27) 004×(0.76-060)×d1×(028×20×10-) 8.31×(273+27) =191×10Kg
4 ( 2 )由 RT M p V M mol = = 知气体质量密度不同； ( 3 )由 n kT 2 3 知单位体积内气体分子总平动动能相同； (4)由 kT i n 2 知单位体积内气体分子的总动能不一定相同． 6-15 何谓理想气体的内能?为什么理想气体的内能是温度的单值函数? 解：在不涉及化学反应，核反应，电磁变化的情况下，内能是指分子的热运动能量和分子间 相互作用势能之总和．对于理想气体不考虑分子间相互作用能量，质量为 M 的理想气体的 所有分子的热运动能量称为理想气体的内能． 由于理想气体不计分子间相互作用力，内能仅为热运动能量之总和．即 RT i M M E mol 2 = 是温度的单值函数． 6-16 如果氢和氦的摩尔数和温度相同，则下列各量是否相等，为什么? (1)分子的平均平动动能；(2)分子的平动动能；(3)内能． 解：( 1 )相等，分子的平均平动动能都为 kT 2 3 ． ( 2 )不相等，因为氢分子的平均动能 kT 2 5 ，氦分子的平均动能 kT 2 3 ． ( 3 )不相等，因为氢分子的内能 RT 2 5 ，氦分子的内能 RT 2 3 ． 6-17 有一水银气压计，当水银柱为 0.76m 高时，管顶离水银柱液面 0.12m，管的截面积为 2.0×10-4 m 2，当有少量氦(He)混入水银管内顶部，水银柱高下降为 0.6m，此时温度为 27℃，试计算有多少质量氦气在管顶(He 的摩尔质量为 0.004kg·mol-1 )? 解：由理想气体状态方程 RT M M pV mol = 得 RT pV M = M mol 汞的重度 5 dHg =1.3310 3 N m − 氦气的压强 Hg P = (0.76 − 0.60) d 氦气的体积 4 (0.88 0.60) 2.0 10− V = − 3 m (273 27) (0.76 0.60) (0.28 2.0 10 ) 0.004 4 Hg + − = − R d M 8.31 (273 27) (0.76 0.60) (0.28 2.0 10 ) 0.004 4 Hg + − = − d 6 1.91 10− = Kg
6-18设有N个粒子的系统,其速率分布如题6-18图所示.求 (1)分布函数f(v)的表达式 a与v0之间的关系 (3)速度在1.5V到2.0v之间的粒子数 (4)粒子的平均速率 (5)0.5v0到1v区间内粒子平均速率 题6-18图 解:(1)从图上可得分布函数表达式 N()=am/vo(0≤v≤v0) Nf(v) (V≤v≤2v0) Nf(v)=0 (v≥21 av/N (0≤≤v) f()={a/N (V≤v≤2v) (y≥2 f(v)满足归一化条件,但这里纵坐标是Mf(v)而不是f(v)故曲线下的总面积为N, (2)由归一化条件可得 s Ndv+nadv=N (3)可通过面积计算△N=a(2v0-1.50)=N (4)N个粒子平均速率 F=h v(vdv=mh w/f(v)dv=ho dv+andy 下=(av2+3av2)=-vo (5)0.5v到1v区间内粒子平均速率
5 6-18 设有 N 个粒子的系统，其速率分布如题6-18图所示．求 (1)分布函数 f (v) 的表达式； (2) a 与 0 v 之间的关系； (3)速度在1.5 0 v 到2.0 0 v 之间的粒子数． (4)粒子的平均速率． (5)0.5 0 v 到 1 0 v 区间内粒子平均速率． 题 6-18 图 解：(1)从图上可得分布函数表达式 = = = ( ) 0 ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) / (0 ) 0 0 0 0 0 Nf v v v Nf v a v v v Nf v av v v v = 0 ( 2 ) / ( 2 ) / (0 ) ( ) 0 0 0 0 0 v v a N v v v av Nv v v f v f (v) 满足归一化条件，但这里纵坐标是 Nf (v) 而不是 f (v) 故曲线下的总面积为 N ， (2)由归一化条件可得 + = = 0 0 0 0 0 2 0 3 2 d d v v v v N v N a v N a v av N (3)可通过面积计算 N a v v N 3 1 (2 1.5 ) = 0 − 0 = (4) N 个粒子平均速率 = = = + 0 0 0 2 0 0 2 0 0 ( )d d d 1 ( )d v v v v av v v av vNf v v N v v f v v 0 2 0 2 0 9 11 ) 2 3 3 1 ( 1 av av v N v = + = (5) 5 0 0. v 到 0 1v 区间内粒子平均速率