习题八 8-1电量都是q的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点.试问:(1) 在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡 (即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形 的边长有无关系? 解:如题8-1图示 (1)以A处点电荷为研究对象,由力平衡知:q为负电荷 cos30° 4πEo√3 解得 q (2)与三角形边长无关 题8-1图 题8-2图 8-2两小球的质量都是m,都用长为l的细绳挂在同一点,它们带有相同电 量,静止时两线夹角为2,如题8-2图所示.设小球的半径和线的质量都可 以忽略不计,求每个小球所带的电量 解:如题8-2图示 Tcos0= mg Tsin 0=Fe 4TEo(2Isin 0) 解得q=2lsiO√4 TEo mg tan 8 8-3根据点电荷场强公式E ,当被考察的场点距源点电荷很近(r 0)时,则场强→∞,这是没有物理意义的,对此应如何理解?
1 习题八 8-1 电量都是 q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1) 在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡 (即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形 的边长有无关系? 解: 如题 8-1 图示 (1) 以 A 处点电荷为研究对象，由力平衡知： q 为负电荷 0 2 2 2 0 ) 3 3 ( 4π 1 cos30 4π 1 2 a qq a q = 解得 q q 3 3 = − (2)与三角形边长无关． 题 8-1 图 题 8-2 图 8-2 两小球的质量都是 m ，都用长为 l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电 量，静止时两线夹角为2 ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可 以忽略不计，求每个小球所带的电量． 解: 如题 8-2 图示 = = = 2 2 0 4π (2 sin ) 1 sin cos l q T F T mg e 解得 q = 2lsin 4 0mg tan 8-3 根据点电荷场强公式 2 4 0 r q E = ，当被考察的场点距源点电荷很近(r →0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?
解:-4x26仅对点电荷成立,当r→0时,带电体不能再视为点电 荷,再用上式求场强是错误的,实际带电体有一定形状大小,考虑电荷在带 电体上的分布求出的场强不会是无限大 8-4在真空中有A,B两平行板,相对距离为d,板面积为S,其带电量分 别为+q和-q·则这两板之间有相互作用力f,有人说∫= 又有人 4丌E.d 说,因为f=qE,E=,所以f=9,试间这两种说法对吗?为什么? Es E ∫到底应等于多少? 解:题中的两种说法均不对.第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对 的,第二种说法把合场强E=9看成是一个带电板在另一带电板处的场强 也是不对的.正确解答应为一个板的电场为E=9,另一板受它的作用 力∫=q q,这是两板间相互作用的电场力 EoS eOs 8-5一电偶极子的电矩为p=ql,场点到偶极子中心0点的距离为r,矢量F 与l的夹角为6,(见题8-5图),且r>>l.试证P点的场强E在r方向上的分 量E,和垂直于r的分量E分别为 cOS 6 6 E E 40 证:如题8-5所示,将p分解为与F平行的分量psnO和垂直于F的分量
2 解: 2 0 4π 0 r r q E = 仅对点电荷成立，当 r →0 时，带电体不能再视为点电 荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带 电体上的分布求出的场强不会是无限大． 8-4 在真空中有 A ，B 两平行板，相对距离为 d ，板面积为 S ，其带电量分 别为+ q 和- q ．则这两板之间有相互作用力 f ，有人说 f = 2 0 2 4 d q ,又有人 说，因为 f = qE , S q E 0 = ，所以 f = S q 0 2 ．试问这两种说法对吗?为什么? f 到底应等于多少? 解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对 的，第二种说法把合场强 S q E 0 = 看成是一个带电板在另一带电板处的场强 也是不对的．正确解答应为一个板的电场为 S q E 2 0 = ，另一板受它的作用 力 S q S q f q 0 2 2 0 2 = = ，这是两板间相互作用的电场力． 8-5 一电偶极子的电矩为 p ql = ，场点到偶极子中心O点的距离为 r ,矢量 r 与 l 的夹角为 ,(见题8-5图)，且 r l ．试证P点的场强 E 在 r 方向上的分 量 Er 和垂直于 r 的分量 E 分别为 Er = 3 2 0 cos r p , E = 3 4 0 sin r p 证: 如题 8-5 所示，将 p 分解为与 r 平行的分量 p sin 和垂直于 r 的分量 p sin ． ∵ r l
∴场点P在r方向场强分量 Er pcos 6 2πEor 垂直于r方向,即θ方向场强分量 E=Pso ping 题8-5图 题8-6图 8-6长l=15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度=50X109C·m的 正电荷试求:(1)在导线的延长线上与导线B端相距a1=5.0cm处P点的场强 (2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm处Q点的场强 解:如题8-6图所示 (1)在带电直线上取线元dx,其上电量dq在P点产生场强为 dE P4πEc 401(a-x)2 4 用l=15cm,4=50×10-C·m-1,a=125cm代入得
3 ∴ 场点 P 在 r 方向场强分量 3 2π 0 cos r p Er = 垂直于 r 方向，即 方向场强分量 3 0 0 4π sin r p E = 题 8-5 图 题 8-6 图 8-6 长 l =15.0cm 的直导线AB上均匀地分布着线密度 =5.0x10-9C·m -1 的 正电荷．试求：(1)在导线的延长线上与导线B端相距 1 a =5.0cm处 P 点的场强； (2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距 2 d =5.0cm 处 Q 点的场强． 解： 如题 8-6 图所示 (1)在带电直线上取线元 dx ，其上电量 dq 在 P 点产生场强为 2 0 ( ) d 4π 1 d a x x EP − = 2 2 0 2 ( ) d 4π d a x x E E l P P l − = = − ] 2 1 2 1 [ 4π 0 l a l a + − − = π (4 ) 2 2 0 a l l − = 用 l =15 cm， 9 5.0 10− = 1 C m − , a =12.5 cm 代入得
Ep=674×102NC方向水平向右 (2)同理dEQ24x0x2+d adx方向如题8-6图所示 由于对称性dE=0,即E。只有y分量, 1 adx 4 d Eo =dEar"4Ts2 i(x+d2) 2+4d 以2=50×10-C·cm-,l=15cm,d2=5cm代入得 EQ=E0,=1496×102N.C-,方向沿y轴正向 8-7一个半径为R的均匀带电半圆环,电荷线密度为λ,求环心处O点的场 强 解:如8-7图在圆上取dl=Rdp 题8-7图 dq=Adl=Rdp,它在O点产生场强大小为 dE ARdo 方向沿半径向外 4πEnR
4 2 EP = 6.7410 1 N C − 方向水平向右 (2)同理 2 2 2 0 d d 4π 1 d + = x x EQ 方向如题 8-6 图所示 由于对称性 = l dEQx 0 ，即 EQ 只有 y 分量， ∵ 2 2 2 2 2 2 2 0 d d d d 4π 1 d + + = x x x EQy 2 2 4π d d = = l EQy EQy − + 2 2 2 3 2 2 2 ( d ) d l l x x 2 2 2 2π 0 + 4d = l l 以 9 5.0 10− = 1 C cm− , l =15 cm, d2 = 5 cm 代入得 2 EQ = EQy =14.9610 1 N C − ，方向沿 y 轴正向 8-7 一个半径为 R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为 ,求环心处 O 点的场 强． 解: 如 8-7 图在圆上取 dl = Rd 题 8-7 图 dq = dl = Rd ，它在 O 点产生场强大小为 2 4π 0 d d R R E = 方向沿半径向外
sin dop 4πE。R de= dE cos(T-o)= cos do 4πEnR 积分E 4IE p sin od 2πE。R cos d=0 4πER E=E ,方向沿x轴正向 2兀E0R 8-8均匀带电的细线弯成正方形,边长为l,总电量为q.(1)求这正方形轴 线上离中心为r处的场强E;(2)证明:在r>>l处,它相当于点电荷q产生 的场强E 解:如8-8图示,正方形一条边上电荷在P点产生物强dEP方向如图,大 小为 de= a(cose, -cos0,) 4πEn cose cos e =-cos 6
5 则 sin d 4π d d sin 0R Ex = E = cos d 4π d d cos( ) 0R Ey E − = − = 积分 R R Ex 0 0 0 2π sin d 4π = = cos d 0 4π 0 0 = − = R Ey ∴ R E Ex 2π 0 = = ，方向沿 x 轴正向． 8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为 l ，总电量为 q ．(1)求这正方形轴 线上离中心为 r 处的场强 E ；(2)证明：在 r l 处，它相当于点电荷 q 产生 的场强 E ． 解: 如 8-8 图示，正方形一条边上电荷 4 q 在 P 点产生物强 EP d 方向如图，大 小为 ( ) 4 4π cos cos d 2 2 0 1 2 l r EP + − = ∵ 2 2 cos 2 2 1 l r l + = 2 1 cos = −cos