习题四 4-1符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动: (1)拍皮球时球的运动 (2)如题4-1图所示,一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 题4-1图 解:要使一个系统作谐振动,必须同时满足以下三个条件:一,描述系统的各种参量,如 质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量:二,系统是在自己的稳定平衡位置 附近作往复运动:三,在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用.或者说,若一个系 统的运动微分方程能用 d25+022=0 描述时,其所作的运动就是谐振动 (1)拍皮球时球的运动不是谐振动.第一,球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位 置:第二,球在运动中所受的三个力:重力,地面给予的弹力,击球者给予的拍击力,都 不是线性回复力 (2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动,是谐振动.显然,小球在运动过 程中,各种参量均为常量:该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点 即系统势能最小值位置点O;而小球在运动中的回复力为- mosin 8,如题4-1图(b)所 示.题中所述,AS<<R,故= 0,所以回复力为-mgO.式中负号,表示回复 R 力的方向始终与角位移的方向相反.即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性 的.若以小球为对象,则小球在以O为圆心的竖直平面内作圆周运动,由牛顿第二定律 在凹槽切线方向上有 d e mR-=-mg 8,则有 R d20 +2=0 4-2劲度系数为k和k2的两根弹簧,与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连 接,试证明它们的振动均为谐振动,并分别求出它们的振动周期
1 习题四 4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动； (2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)． 题4-1图 解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如 质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置 附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用． 或者说，若一个系 统的运动微分方程能用 0 d d 2 2 2 + = t 描述时，其所作的运动就是谐振动． (1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位 置； 第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都 不是线 性回复力． (2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过 程中 ，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点， 即系统势能最小值位置点 O ；而小球在运动中的回复力为− mg sin ，如题4-1图(b)所 示．题 中所述， S ＜＜ R ，故 R S = →0，所以回复力为− mg .式中负号，表示回复 力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在 O 点附近的往复运动中所受回复力为线性 的．若以小球为对象，则小球在以 O 为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律， 在凹槽切线方向上有 mg t mR = − 2 2 d d 令 R g = 2 ，则有 0 d d 2 2 2 + = t 4-2 劲度系数为 1 k 和 2 k 的两根弹簧，与质量为 m 的小球按题4-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．
k L (∞)^N 题4-2图 解:(1)图(a)中为串联弹簧,对于轻弹簧在任一时刻应有F=F1=F2,设串联弹簧的等效 倔强系数为K等效位移为x,则有 F==k F1=-k1x1 F2 又有 x=mtx FF. F 所以串联弹簧的等效倔强系数为 k2 即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为k=kk2/k+k2)的弹簧振子系统,故 小球作谐振动.其振动周期为 Vkg=2x/m(k,+k2) k2 (2)图(b)中可等效为并联弹簧,同上理,应有F=F1=F2,即x=x1=x2,设并联弹 簧的倔强系数为k并,则有 knx=k.+k k并=k1+k2 同上理,其振动周期为 T=2 nk,+k2 4-3如题4-3图所示,物体的质量为m,放在光滑斜面上,斜面与水平面的夹角为6,弹 簧的倔强系数为k,滑轮的转动惯量为,半径为R.先把物体托住,使弹簧维持原长,然 后由静止释放,试证明物体作简谐振动,并求振动周期
2 题4-2图 解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有 F = F1 = F2 ，设串联弹簧的等效 倔强系数为 K串 等效位移为 x ，则有 1 1 1 F k x F k x = − = − 串 2 2 2 F = −k x 又有 1 2 x = x + x 2 2 1 1 k F k F k F x = = + 串 所以串联弹簧的等效倔强系数为 1 2 1 2 k k k k k + 串 = 即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为 /( ) 1 2 1 2 k = k k k + k 的弹簧振子系统，故 小球作谐振动．其振动周期为 1 2 1 2 ( ) 2 2 2 k k m k k k m T + = = = 串 (2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有 F = F1 = F2 ，即 1 2 x = x = x ，设并联弹 簧的倔强系数为 k并 ，则有 1 1 2 2 k并 x = k x + k x 故 1 2 k并 =k +k 同上理，其振动周期为 1 2 2 k k m T + = 4-3 如题4-3图所示，物体的质量为 m ，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为 ，弹 簧的倔强系数为 k ，滑轮的转动惯量为 I ，半径为 R ．先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．
题4-3图 解:分别以物体m和滑轮为对象,其受力如题4-3图(b)所示,以重物在斜面上静平衡时位 置为坐标原点,沿斜面向下为x轴正向,则当重物偏离原点的坐标为x时,有 d TR-TR=IB d2x 72=k(x+x) 式中x0=mgsn/k,为静平衡时弹簧之伸长量,联立以上三式,有 (mR+d'x kxr mR 则有 02x=0 故知该系统是作简谐振动,其振动周期为 2 mR2+I 2 2r,/m+//R2 kR K 4-4质量为10×10-3kg的小球与轻弹簧组成的系统,按x=0.1cos(8x+-)(SD)的规律 作谐振动,求 (1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值; (②)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能,在哪些位置上动能与势能相等? (3)l2=5s与1=ls两个时刻的位相差 解:(1)设谐振动的标准方程为x=Acos(ot+向),则知:
3 题4-3图 解：分别以物体 m 和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位 置为坐标原点，沿斜面向下为 x 轴正向，则当重物偏离原点的坐标为 x 时，有 2 2 1 d d sin t x mg −T = m ① T1R −T2R = I ② R t x = 2 2 d d ( ) 2 0 T = k x + x ③ 式中 x mgsin / k 0 = ，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有 kxR t x R I mR+ = − 2 2 d d ( ) 令 mR I kR + = 2 2 2 则有 0 d d 2 2 2 + x = t x 故知该系统是作简谐振动，其振动周期为 ) / 2 ( 2 2 2 2 2 K m I R k R mR I T + = + = = 4-4 质量为 10 10 kg −3 的小球与轻弹簧组成的系统，按 ) (SI) 3 2 0.1cos(8 x = + 的规律 作谐振动，求： (1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； (2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3) 5s t 2 = 与 1s t 1 = 两个时刻的位相差； 解：(1)设谐振动的标准方程为 cos( ) = +0 x A t ，则知：
A=01lm,.O=87T=2z_1 s,中 又 vm =@A=0.8T m s-=2.51- 2A=632 Fml=am=0.63N En=Ek=E=1.58×102J 当EA=E时,有E=2En, kA x=一A=±m △p=o(t2-1)=87(5-1)=327 个沿x轴作简谐振动的弹簧振子,振幅为A,周期为T,其振动方程用余弦函数 表示.如果t=0时质点的状态分别是 (2)过平衡位置向正向运动; A (3)过x 向负向运动 (4)过x=-处向正向运动 试求出相应的初位相,并写出振动方程 解:因为 xo=Acos po sn中 将以上初值条件代入上式,使两式同时成立之值即为该条件下的初位相.故有 x=Acos(t+T) 丌x=co(x,3 t+-丌 中3 A T 3 5兀x=Acos
4 s, 2 / 3 4 2 1 0.1m, 8 , 0 A = = T = = = 又 vm =A = 0.8 1 m s − = 2.51 1 m s − 63.2 2 am = A = 2 m s − (2) Fm = am = 0.63N 3.16 10 J 2 1 2 −2 E = mvm = 1.58 10 J 2 1 −2 E p = Ek = E = 当 Ek = Ep 时，有 E = 2Ep ， 即 ) 2 1 ( 2 1 2 1 2 2 kx = kA ∴ m 20 2 2 2 x = A = (3) =(t 2 −t 1 ) = 8(5−1) = 32 4-5 一个沿 x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为 A ，周期为 T ，其振动方程用余弦函数 表示．如果 t = 0 时质点的状态分别是： (1) x0 = −A ； (2)过平衡位置向正向运动； (3)过 2 A x = 处向负向运动； (4)过 2 A x = − 处向正向运动． 试求出相应的初位相，并写出振动方程． 解：因为 = − = 0 0 0 0 sin cos v A x A 将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有 ) 2 cos( 1 = = t + T x A ) 2 2 3 cos( 2 3 2 = = t + T x A ) 3 2 cos( 3 3 = = t + T x A ) 4 2 5 cos( 4 5 4 = = t + T x A
4-6一质量为10×10-3kg的物体作谐振动,振幅为24cm,周期为40s,当t=0时位移 为+24cm.求: (1)t=0.5s时,物体所在的位置及此时所受力的大小和方向 (2)由起始位置运动到x=12cm处所需的最短时间: (3)在x=12cm处物体的总能量 解:由题已知 A=24×10-2m,T=40s 又,t=0时,x0=+A,中=0 故振动方程为 x=24×102cos(0.5m)m (1)将t=0.5s代入得 =24x10-2cos(0.5m)m=0.17m 0.5 F=-ma=-mox )2×0.17=-42×10-N 方向指向坐标原点,即沿x轴负向 (2)由题知,t=0时,=0 且v<0,故中 △φ 2 (3)由于谐振动中能量守恒,故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为 E=-k42 2 (2)2×(024) 7.1×10-4J 4-7有一轻弹簧,下面悬挂质量为10g的物体时,伸长为49cm.用这个弹簧和一个质量 为80g的小球构成弹簧振子,将小球由平衡位置向下拉开10cm后,给予向上的初速度 v=50cm·s,求振动周期和振动表达式 解:由题知k=m8=10×10x98=02Nm1 x 4.9×10
5 4-6 一质量为 10 10 kg −3 的物体作谐振动，振幅为 24cm ，周期为 4.0s ，当 t = 0 时位移 为 + 24cm ．求： (1) t = 0.5s 时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到 x =12cm 处所需的最短时间； (3)在 x =12cm 处物体的总能量． 解：由题已知 24 10 m, 4.0s 2 = = − A T ∴ 1 0.5 rad s 2 − = = T 又， t = 0 时， x0 = +A,0 = 0 故振动方程为 24 10 cos(0.5 )m 2 x t − = (1)将 t = 0.5s 代入得 24 10 cos(0.5 )m 0.17m 2 0.5 = = − x t ) 0.17 4.2 10 N 2 10 10 ( 3 2 3 2 − − = − = − = − = − F ma m x 方向指向坐标原点，即沿 x 轴负向． (2)由题知， t = 0 时， 0 = 0 ， t = t 时 3 , 0, 2 0 = + v t = A x 且 故 ∴ s 3 2 2 / 3 = = = t (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为 7.1 10 J ) (0.24) 2 10 10 ( 2 1 2 1 2 1 4 3 2 2 2 2 2 − − = = = = E kA m A 4-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为 1.0g 的物体时，伸长为 4.9cm ．用这个弹簧和一个质量 为 8.0g 的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开 1.0cm 后 ，给予向上的初速度 1 0 5.0cm s − v = ，求振动周期和振动表达式． 解：由题知 1 2 3 1 1 0.2 N m 4.9 10 1.0 10 9.8 − − − = = = x m g k