bb b+0 b b+0 b+(a-b) b b bb bb b 0 b cc b b 0 b b-c 0 (a-b)D-1=b(a-c)+(a-b)D 0 0 A D,=b(a-c)+(a-b)Dm-1(1) (2)另一方面将D的最后一列的b写成b+0,a写成c+(a-c) b b b+0 cc c(a-c) b 0 cCc b00 b b a-b o +(a-cD 0
(1)(2)联立 D(a-c)=c(a-b)+(a-c)(a-b)D-1(2) (1)-(2) D,(a-c) c( a 若b≠e,D,=ba= 若b=c,D=(a+(n-1)b)](a-b) 12.若∑x1=1证明 x1- 证:方法一设D2( 0 2 0x-3(x2-x1) 0x2-2(x2-x1)…x"2(x2-x1) )…( x2-2(x2+x1)
拆成两个 行列式(x2-x1)…(xn-x1)D-1(x2,…x)+x1N,1(x2x…x,) (x-x1)D-1(x2,…,xn)+x1V(x1,x2,…,x) (x-x)[Ⅱ(x-x2)D-2(x3,…,x)+x2V,2(x3,…,x)+x1V(x1,…, 寓gx-x1)(x2)D(x,…,x)+xV,(x,…,x)+xV(x…,x) =Ⅱ(x1-x1)Ⅱ(x-x2) +(xn-2+xn-3 32 gx-x1),(xx,2(x一x)(xx)+(x2+…+x)V( (xn+xn-1+…+x1)Vn((x…xn)=∑x;…Vn(x1 =V((x1…xn)=Ⅱ(( 方法二 x1x2…工x 令∫(x)= 将f(x)按第n+1列展开知f(x)是x的n次多项式。显然f(x)的首项系数的V (x1,…xn),x"-1项系数为…D因此有f(x)=Vnx"-Dx1+……另一方面f(x)=0, j=1,2,…,n,故f(x)=V(x-x1)…(x-x)由 Vieta定理: -(x+x2+…+x)V=-D,所以D,=Vn=!,(x-x) 13.设 P(x)= ,其中a1,…an-互不相等
(1)试证P(x)是n-1次多项式 (2)求P(x)的全部根 证:(1)得P(x)按第一行展开,得 a P( x)= (-1)n+1x (-1)x”-2+… 所以P(x)至多n-1次,但x”1的系数 (a1-a)≠0(∵诸a;互不相同,所以P(x)是n-1次) (2)P(x)=Ⅱ(a;-a1)(x-a1)(x-a2)…(x-an-1), 所以P(x)的全部根是a1,a2,…,an-1 14.用 Cramer法则解方程组 5x1+6x2=0 (1)x1+5x2+6x3=0 560|0 -19-30 156=156 015015 95+30=-65则方程组有0组一解即只有零解。 (2) x3+x4=0 2+x 0
0101 1010 10101010 1010 0101 0101010 D 0011 0011 0110001-1 0110 0110 00110011 1010 0101 =2≠0则方程组有0组解 0002 0010 0110 0110 0011 0011 0011 0110 0010 000-1 1011 1010 1010 0101 0101 D 0011 011 0011 0010 0010 000-1 0111 1000 1000 1000 0111 0111 D 0001 0001 0011 0100 0100 0001 0101 1010 1010 1010 0101 0101 0010 0010 0010 0110 15.齐次线方程组