7.3.3线性分组码的生成矩阵2）线性分组码的生成矩阵线性系统分组码线性系统分组码的构成：通过行初等变换，将G化为前k列是单位子阵的标准形式。001..q11q12qi(n-k)001q21q22q2(n-k)(7.3.4)1:::00qklqk2qk(n-k)将上式代入Cixn =(cn-1,Cn-2,"",Co)=(mk-1,mk-2,"",mo)Gkxn,得:i=12,..,kCn-i =mk-i(7.3.5)j=1,2,.,n-kCn-(k+j) =mk-191j +mk-2q2j+...+moqkj21/信息论与编码技术-信道纠错编码
信息论与编码技术-信道纠错编码 21/ 2) 线性分组码的生成矩阵 线性系统分组码 ◦ 线性系统分组码的构成：通过行初等变换，将G 化为前k 列是单位 子阵的标准形式。 (7.3.4) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2 ( ) 21 22 2( ) 11 12 1( ) k k r k k k n k n k n k k n q q q q q q q q q − − − = G = I Q (7.3.5) 1,2, , 1,2, , ( , , , ) ( , , , ) ( ) 1 1 2 2 0 1 1 2 0 1 2 0 = + + + = − = = = = − + − − − − − − − − c m q m q m q j n k c m i k c c c m m m , n k j k j k j k j n i k i n n n k k k n 将上式代入C G 得：
7.3.3线性分组码的生成矩阵2）线性分组码的生成矩阵线性系统分组码线性系统分组码定义：用标准生成矩阵Gkx，编成的码字，前面k位为信息位，后面r=n一k位为校验位，这种信息位在前校验位在后的线性分组码称为线性系统分组码。信息位校验位图8.3.1系统码的码字结构当生成矩阵G确定之后，（n,k)线性码也就完全被确定了，只要找到码的生成矩阵，编码问题也同样被解决了。22/信息论与编码技术一信道纠错编码
信息论与编码技术-信道纠错编码 22/ 2) 线性分组码的生成矩阵 线性系统分组码 ◦ 线性系统分组码定义：用标准生成矩阵Gk×n 编成的码字，前面k 位 为信息位，后面r=n－k 位为校验位，这种信息位在前校验位在后的 线性分组码称为线性系统分组码。 ◦ 当生成矩阵G 确定之后，(n,k) 线性码也就完全被确定了，只要找到 码的生成矩阵，编码问题也同样被解决了。 图8.3.1 系统码的码字结构 信息位 校验位
7.3.3线性分组码的生成矩阵2）线性分组码的生成矩阵举例：（7,4）线性码的生成矩阵为：100001110001110000111011]0001若mix4=（1010），则：01000110101011Cix7 =mix4G4x7 =[1 0 1 0]=（1010011）0001011000110123/信息论与编码技术-信道纠错编码
信息论与编码技术-信道纠错编码 23/ 2) 线性分组码的生成矩阵 举例：(7,4) 线性码的生成矩阵为： ( 1010011) 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 C m G 1 0 1 0 m ( 1010 ) 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 G 1 7 1 4 4 7 1 4 4 7 = = = = = 若 ，则：
7.3.3线性分组码的生成矩阵3）生成矩阵与一致监督矩阵的关系由于生成矩阵G的每一行都是一个码字，所以G的每行都满足：Hrxn(Ci×n)T=(O1×)，则有：Hrxn(Gkxn)T=(Okx)T 或Gkxn(Hrxn)T=0kxr1,]G,=[kQkxr]H, =[PxkXL线性系统码的监督矩阵H和生成矩阵G之间可以直接互换。G,H, =[k QkxrIPrxk ,] =[k Grxk)+Qxr =0kx所以，Qxr =(Prxk)I[G,= Qkxr(7.3.6)或 (Qkxr)=Prxk[H,=[(Qxr) ]24/信息论与编码技术-信道纠错编码
信息论与编码技术-信道纠错编码 24/ 3) 生成矩阵与一致监督矩阵的关系 由于生成矩阵 G 的每一行都是一个码字，所以 G 的每行 都满足：Hr×n (C1×n ) T=(01×r ) T，则有： Hr×n (Gk×n ) T=(0k×r ) T 或 Gk×n (Hr×n ) T=0k×r 线性系统码的监督矩阵 H 和生成矩阵 G 之间可以直接互换。 k r k r T r k r T r k k k r T k k r r k r T S S = + = = = P Q 0 I P G H I Q P I I Q ( ) ( ) r k T k r T k r r k = = Q P Q P ( ) ( ) 或 所以， (7.3.6) ( ) = = r T S k r S k k r H Q I G I Q S k k r S r k r G I Q H P I = =
7.3.3线性分组码的生成矩阵3）生成矩阵与一致监督矩阵的关系举例：已知（7.4）线性系统码的监督矩阵为：QT010-101(7.4) =0120可直接写出它的生成阵：000710Q0011700011000001-125/信息论与编码技术-信道纠错编码
信息论与编码技术-信道纠错编码 25/ 3) 生成矩阵与一致监督矩阵的关系 举例： 已知 (7,4) 线性系统码的监督矩阵为： = = 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 (7,4) (7,4) G H 可直接写出它的生成矩阵 ： Q QT