7.3.3线性分组码的生成矩阵1）线性码特性(1) 丝线性码的封闭性：线性码任意两个码字之和仍是一个码字。定理7.3.1：设二元线性分组码C（C表示码字集合）是由监督矩阵H所定义的，若U和V为其中的任意两个码字，则U+V也是C中的一个码字[证明]：由于U和V是码C中的两个码字，故有：HUT-O1HVT-OT,那么 HU+VT-H(U T+VT)-HU T+HVT-O1即UV满足监督方程，所以UV一定是一个码字。一个长为n的二元序列可以看作是GF(2)（二元域）上的n维线性空间中的一点。所有2n个矢量集合构成了GF2)上的n维线性空间Vn。把线性码放入线性空间中进行研究，将使许多问题简化而比较容易解决。(n,k)线性码是n维线性空间V,中的一个k维子空间Vk。16/信息论与编码技术-信道纠错编码
信息论与编码技术-信道纠错编码 16/ 1) 线性码特性 （1）线性码的封闭性：线性码任意两个码字之和仍是一个 码字。 定理7.3.1：设二元线性分组码CI (CI 表示码字集合) 是由 监督矩阵H 所定义的，若 U 和 V 为其中的任意两个码字， 则 U +V 也是 CI 中的一个码字. [证明]：由于 U 和 V 是码 CI 中的两个码字，故有：HU T=0T HV T=0T ，那么 H(U+V) T=H(U T+V T )=HU T+HV T=0T 即 U+V 满足监督方程，所以 U+V 一定是一个码字。 一个长为 n 的二元序列可以看作是GF(2) (二元域) 上的 n 维线性空间 中的一点。所有 2 n 个矢量集合构成了GF(2)上的 n 维线性空间 Vn。把 线性码放入线性空间中进行研究，将使许多问题简化而比较容易解决。 (n,k) 线性码是 n 维线性空间 Vn 中的一个 k 维子空间 Vk
7.3.3线性分组码的生成矩阵1）线性码特性(2)线性码由其生成矩阵或校验矩阵确定(3)含有零码字（码字群的单位元）(4)所有码学可由其中一组个独立码学线性组合而成(5) 码的最小距离等于非零码的最小重量17/信息论与编码技术-信道纠错编码
信息论与编码技术-信道纠错编码 17/ 1) 线性码特性 （2）线性码由其生成矩阵或校验矩阵确定 （3）含有零码字 （码字群的单位元） （4）所有码字可由其中一组k个独立码字线性组合而成 （5）码的最小距离等于非零码的最小重量
7.3.3线性分组码的生成矩阵2）线性分组码的生成矩阵：生成矩阵的来由：在由（n,K)线性码构成的线性空间V的k维子空间中，一定存在k个线性独立的码字：91,92，...，9k。码C中其它任何码字C都可以表为这k个码字的一种线性组合，即：(7.3.DC= mk-1g1 + mk-2g2 +...+ mogkm; EGF(2),i=0,1:,k-1。写成矩阵形式得：g192Cixn =[mk-mk-2 (8.3.2)mixG.mogk]m =- [mk-imk-2 ... mo]待编码的信息组是一个k×n阶矩阵。X18/信息论与编码技术-信道纠错编码
信息论与编码技术-信道纠错编码 18/ 2) 线性分组码的生成矩阵 生成矩阵的来由：在由 (n,k) 线性码构成的线性空间 Vn 的 k 维子空间中，一定存在 k 个线性独立的码字： g1 ,g2 ,., gk。码 CI 中其它任何码字 C 都可以表为这 k 个码字的一种线性组合，即： 。写成矩阵形式得： （ ） (2), 0,1, , 1 1 1 2 2 0 7.3.1 = − = − + − + + m GF i k m m m i k k k C g g g ──是一个 阶矩阵。 ──待编码的信息组 k n m m m k n k k = − − G m 1 2 0 , (8.3.2) 1 2 1 1 1 2 0 k k n k n mk− mk− m = = m G g g g C
7.3.3线性分组码的生成矩阵2）线性分组码的生成矩阵生成矩阵定义：由于矩阵G生成了（n,k)线性码称矩阵G为（n,K)线性码的生成矩阵。g1g11ging12g2g21g22g2n(7.3.3)Xgkgk2gknLgk119/信息论与编码技术-信道纠错编码
信息论与编码技术-信道纠错编码 19/ 2) 线性分组码的生成矩阵 生成矩阵定义：由于矩阵 G 生成了 (n,k) 线性码， 称矩阵 G 为 (n,k) 线性码的生成矩阵。 (7.3.3) 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 = = k k k n n n k k n g g g g g g g g g g g g G
7.3.3线性分组码的生成矩阵2）线性分组码的生成矩阵生成矩阵G的特性G中每一行g=(gi1,gi2.…,gin）都是一个码字;对每一个信息组m，由矩阵G都可以求得(n,k)线性码对应的码字。（n,k)线性码的每一个码字都是生成矩阵G的行矢量的线性组合，所以它的2k个码字构成了由G的行张成的n维空间的一个k维子空间 Vk。20/信息论与编码技术一信道纠错编码
信息论与编码技术-信道纠错编码 20/ 2) 线性分组码的生成矩阵 生成矩阵G 的特性 ◦ G 中每一行 gi=(gi1 ,gi2 ,., gin ) 都是一个码字； ◦ 对每一个信息组m，由矩阵 G 都可以求得(n,k) 线性码 对应的码字。 ◦ (n,k) 线性码的每一个码字都是生成矩阵 G 的行矢量的线 性组合，所以它的2 k 个码字构成了由G 的行张成的 n 维 空间的一个k 维子空间Vk