第一章信号的分类与描述1-1求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|cl-の和n=图，并与表1-1对比。x(0) 4A2120-T.I.-A图1-4周期方波信号波形图解答：在一个周期的表达式为7≤t<0)2x(t)=To(0≤t<A2积分区间取（-T/2，T/2）11(3[x(1)e- mew'dt== r-Ae- mr dt+Ae-jmawdt=TT。T.JoA-(cosn元-1)(n=0,±1,±2,±3,)-n元所以复指数函数形式的傅里叶级数为22Zc.em-(1-cosn元)emo, n=0, ±1, ±2, ±3, ..。x(t) ==-1-元n=—nn=-0A1-cosn元）(n=0,±1,±2,±3,...)n元CnR=02An=±1,±3,±,A(1-cosn元）c.=VC.R +C.n元n元10n=0,±2,±4,±6....元n= +1,+3,+5,.2元Cnl,=arctann= -1-3 -5,..2CnR0n = 0,+2,±4,±6,..没有偶次谐波。其频谱图如下图所示
第一章 信号的分类与描述 1-1 求周期方波（见图 1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|cn|–ω 和 φn–ω 图，并与表 1-1 对比。 解答：在一个周期的表达式为 0 0 ( 0) 2 ( ) (0 ) 2 T A t x t T A t − − = 积分区间取（-T/2，T/2） 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 2 2 1 1 1 ( ) d = d + d = (cos -1) ( =0, 1, 2, 3, ) T T jn t jn t jn t c x t e t Ae t Ae t n T T T T T A j n n n − − − − − = − 所以复指数函数形式的傅里叶级数为 0 0 1 ( ) (1 cos ) jn t jn t n n n A x t c e j n e n =− =− = = − − ， n=0, 1, 2, 3, 。 (1 cos ) ( =0, 1, 2, 3, ) 0 nI nR A c n n n c = − − = 2 2 2 1, 3, , (1 cos ) 0 0, 2, 4, 6, n nR nI A A n c c c n n n n = = + = − = = 1, 3, 5, 2 arctan 1, 3, 5, 2 0 0, 2, 4, 6, nI n nR π n c π φ n c n − = + + + = = = − − − = 没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。 图 1-4 周期方波信号波形图 0 t x(t) . . A -A
Ical 4On2A/元2A/元元/23000o5002A/3元2A/3元2A/5元2A/5元-500-300-001元/2-5003005000-300-0000幅频图相频图周期方波复指数函数形式频谱图1-2求正弦信号x(t)=xosinot的绝对均值M和均方根值Xms。号_4x0_2xo解答：=x(0)=s sin olr-会 snotd - cosolk -TaTa元XV221-3求指数函数x(t)=Ae-(a>0,t≥0)的频谱。解答：e-(a+/2元f)AA(a- j2元f)X(f)= " x(t)e-2a7idt = [" Ae-"e-12x/'dt = A-α2 +(2元f)2a+j2元f-a+j2元f)k[x()]-a2+(2元)Im X()2元fp(f)= arctanarctanReX(f)atX(Ala元/2-元/2 01f单边指数衰减信号频谱图1-4求符号函数（见图1-25a）和单位阶跃函数（见图1-25b）的频谱
1-2 求正弦信号 0 x t x ( ) sin = ωt 的绝对均值 x μ 和均方根值 rms x 。 解答： 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 1 1 2 2 4 2 ( )d sin d sin d cos T T T T x x x x x μ x t t x ωt t ωt t ωt T T T Tω Tω π = = = = − = = 2 2 2 2 0 0 rms 0 0 0 0 1 1 1 cos 2 ( )d sin d d 2 2 T T T x x ωt x x t t x ωt t t T T T − = = = = 1-3 求指数函数 ( ) ( 0, 0) at x t Ae a t − = 的频谱。 解答： ( 2 ) 2 2 0 2 2 0 ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) 2 (2 ) a j f t j f t at j f t e A A a j f X f x t e dt Ae e dt A a j f a j f a f − + − − − − − = = = = = − + + + 2 2 ( ) (2 ) k X f a f = + Im ( ) 2 ( ) arctan arctan Re ( ) X f f f X f a = = − 1-4 求符号函数(见图 1-25a)和单位阶跃函数(见图 1-25b)的频谱。 |cn| φn π/2 -π/2 ω ω ω0 ω0 3ω0 5ω0 3ω0 5ω0 2A/π 2A/3π 2A/5π 幅频图 相频图 周期方波复指数函数形式频谱图 2A/5π 2A/3π 2A/π -5ω0 -3ω0 -ω0 -5ω0 -3ω0 -ω0 单边指数衰减信号频谱图 f |X(f)| A/a 0 φ(f) 0 f π/2 -π/2
2(0)sgn(t)1001a)符号函数b)阶跃函数图1-25题1-4图a)符号函数的频谱[+1 t>0x(t)=sgn(t)=-1 t<0=0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号xi(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x)的频谱。t>0e-arx;(t) = ea sgn(t) =t<0-pux(t) = sgn(t) = lim x;(t)04元fX,(f)= Jx;(1)e-12x/'dt= ~ -ee-j2x'dt+Je-"e-12af'dt=-j -a2+(2元f)X()=F [sgn(0)]-=lim X()=-j元1[x(J)]=元[/元f<02p(f)=元f>02
a)符号函数的频谱 1 0 ( ) sgn( ) 1 0 t x t t t + = = − t=0 处可不予定义，或规定 sgn(0)=0。 该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。 可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号 x1(t) 的频谱，然后取极限得出符号函数 x(t)的频谱。 1 0 ( ) sgn( ) 0 at at at e t x t e t e t − − = = − 1 0 ( ) sgn( ) lim ( ) a x t t x t → = = 0 2 2 2 1 1 2 2 0 4 ( ) ( ) (2 ) j f t at j f t at j f t f X f x t e dt e e dt e e dt j a f − − − − − − = = − + = − + 1 0 1 ( ) sgn( ) lim ( ) a X f t X f j → f = = = − F 1 X f ( ) f = 0 2 ( ) 0 2 f f f = − t sgn(t) 0 1 -1 t u(t) 0 1 图 1-25 题 1-4 图 a)符号函数 b)阶跃函数
xi(0) 4X(I40)元/200f-元/2olfx(t)=e-sgn(t)符号函数符号函数频谱b)阶跃函数频谱[1 t>0u(t)=10 1<0在跳变点t=0处函数值未定义，或规定u(0)=1/2。阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。解法1：利用符号函数u(0)=1+1+sgn(t)U0)-F[0)]-F[]+F [g(0)]-100)+(--岁]-[60)-/ 岁]s2()+U)=(元f)21结果表明，单位阶跃信号u()的频谱在f-0处存在一个冲激分量，这是因为u(t)含有直流分量，在预料之中。同时，由于u)不是纯直流信号，在t=0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。IU(010()元/20f-元/2（1/2）07f单位阶跃信号频谱解法2：利用冲激函数[1t>0时u(t)= ["8(t)dt =[o t<0时根据傅里叶变换的积分特性[0+4(0)[0U(f)=F
b)阶跃函数频谱 1 0 ( ) 0 0 t u t t = 在跳变点 t=0 处函数值未定义，或规定 u(0)=1/2。 阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里 叶变换，可采用如下方法求解。 解法 1：利用符号函数 1 1 ( ) sgn( ) 2 2 u t t = + 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) sgn( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 U f u t t f j f j f f = = + = + − = − F F F ( ) 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 U f f f = + 结果表明，单位阶跃信号 u(t)的频谱在 f=0 处存在一个冲激分量，这是因为 u(t)含有直流分量，在预料 之中。同时，由于 u(t)不是纯直流信号，在 t=0 处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。 解法 2：利用冲激函数 1 0 ( ) ( )d 0 0 t t u t t − = = 时 时 根据傅里叶变换的积分特性 1 1 1 1 ( ) ( )d ( ) (0) ( ) ( ) 2 2 2 t U f f f f j j f f − = = + = − F 符号函数 t x1(t) 0 1 -1 符号函数频谱 f φ(f) 0 π/2 0 f |X(f)| -π/2 单位阶跃信号频谱 f |U(f)| 0 (1/2) f φ(f) 0 π/2 -π/2
1-5求被截断的余弦函数cOSQt（见图1-26)的傅里叶变换。cosot <Tx(t)=0μ/≥T解： x(t)=w(t)cos(2元fot)w(0)为矩形脉冲信号W(f)=2T sinc(2元Tf)2cos(2元ft)wit所以 x(1)=w(1)e/2元/0 +w(1)e-12元/t22根据频移特性和叠加性得：Iw(f-fo)+w(f+fo)X()=:ol-TT=Tsinc[2元T(f-f.)]+Tsinc[2元T(f +f)]图1-26被截断的余弦函数可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动fo，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。X()被截断的余弦函数频谱1-6求指数衰减振荡信号x(t)=e-sin0ot的频谱x(0)指数衰减振荡信号解答：
1-5 求被截断的余弦函数 0 cosω t (见图 1-26)的傅里叶变换。 0 cos ( ) 0 ω t t T x t t T = 解： 0 x t w t f t ( ) ( )cos(2 ) = w(t)为矩形脉冲信号 W f T Tf ( ) 2 sinc(2 ) = ( ) 0 0 2 2 0 1 cos(2 ) 2 j f t j f t f t e e − = + 所以 0 0 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 j f t j f t x t w t e w t e− = + 根据频移特性和叠加性得： 0 0 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 sinc[2 ( )] sinc[2 ( )] X f W f f W f f T T f f T T f f = − + + = − + + 可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动 f0，同时谱线高度减小一 半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。 1-6 求指数衰减振荡信号 0 ( ) sin at x t e ω t − = 的频谱 解答： f X(f) T -f0 f0 被截断的余弦函数频谱 指数衰减振荡信号 x(t) 图 1-26 被截断的余弦函数 t -T T t -T T x(t) w(t) 1 0 0 1 -1