2.2教学基本要求及重点、难点讨论31 这就是洛仑兹力。此式表明，某点磁感应强度B的大小等于单位实验电荷以单 竹速半在该点运动时受到的最大滋力，即一来点磁感应强度的方向重 直于正电荷在该点受到的最大磁力F的方向与电荷运动方向七组成的平面， 并满足右手螺旋关系，即F×⑦， 磁感应强度是一个失量点函数。 6.电磁感应定律 法拉第电磁感应定律是在特定的导体回路中通过实验总结出来的。实验结 果表明，导体回路中的感应电动势与穿过回路的磁通量的变化率成正比。再结 合楞次定律，电磁感应定律可叙述为：闭合回路中的感应电动势与穿过回路磁通 量的变化率的负值成正比，表示为 。￥ 这里是假定电动势©的参考方向与磁通的方向符合右手螺旋关系。因此，当磁 通量随时间增加时即地>0,6。<0，表明感应电动势的实际方向与假定的参 考方向相反。当磁通量道时间酸少时即光<0，®>0，表明©的实际方向与 参考方向相同。导体何路中的感应电流的方向与感应电动势的方向相同。因 此，导体回路中的感应电流产生的磁通总是要阻止原磁通的变化，其实质是电磁 感应现象也必须遵从电磁能量守恒定律。 导体回路中产生感应电流意味者导体中存在着推动电荷定向运动的电场， 因此电磁感应定律也可表示为 手Ed业=-8：as 事实上，感应电动势的存在与否并不依赖于导体回路。麦克斯韦将法拉第 的这一实验结果推广到场域空间任一假想回路，提出感应电场是有旋电场的假 说，将它总结归纳为麦克斯韦第二方程，数学表示式为 E业s-I盟as 电磁感应定律的重要意义在于它揭示了电与磁相互联系的一个重要方面 即变化的磁场要产生电场。 7.位移电流 位移电流是麦克斯韦提出的另一个基本假设。麦克新韦认为，恒定磁场中 的安培环路定律是不完备的，当将它应用于时变场时就会出现矛盾
32第2电磁场的基本规律 对方程V×H=J两边取散度，即 ·(V×H)=V·J 根据矢量分析，一个矢量场的旋度再取散度恒等于苓，故得V·J=0,这个结果对 恒定磁场是完全正确的。但在时变条件下，根据电流连续性方程应得V·J= 一2，两者之间存在根本的矛盾。 为了解决这个矛盾，麦克斯韦认为在V×H=】中还必须存在另一个“电流 密度”，即假设了×H真正必须具有的形式为 V×H=J+J 式中，J,就是必须存在的另一个“电流密度”。将？·D=P代人V·J= -2中，得 0 J(0)p品 ?·(+)=0 对又×H=J+J:两边取散度，即 V·(V×H)=v·(J+J)=0 因此，麦克斯韦假没 ，=识 称为位移电流密度。J是一个失量点函数，某点的位移电流密度等于该点的电 位移尖量随时间的变化率。 位移电流表明变化的电场也是一种电流，它可以激发磁场。但要注意它和 真实电流（传导电流和运流电流）的区别，位移电流不表示电荷的宏观定向运 动，它在介质中也会引起热效应，但此热效应不遵从焦耳定律。 在位移电流假设的基础上，把安培环路定律修正为 7×H=J+Ja 这就是麦克斯韦第一方程。 位移电流概念的重要意义在于它揭示了电与磁相互联系的另一个重要方 面，即变化的电场要产生磁场。 8.麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的数学表示式，是电磁理论的核心和
2.3习趣解答33 求解电磁场问题的基础，因此是课程教学中的重点。 正如前面已提到的，麦克斯韦提出了两个基本假设：一个是有旋电场的假 设，从而把法拉第电磁感应定律推广应用到任意假想回路，成为麦克斯韦第二方 程，它表征变化磁场要产生电场。另一个是关于位移电流的假设，从而推广了电 流概念，修正了安培环路定律，成为麦克斯韦第一方程，它表征变化的电场要产 生磁场。 除了这两个基本假设集中体现了麦克斯韦惊人的智慧外，还有另外两个 假设： (1)麦克斯韦认定高斯定律∮E·5=9在时变情况下也是成立的，成为 麦克斯有第四方程。在一般情况下，电场E=E康e+E。对于库仑场，有 手，Ee5=可见，这实际上是假设adS:0.因为感应电场是有装 场，电力线是闭合线，因此假设它对任意闭合面的通量为零是合理的。 (2)麦克斯韦还认定磁通连续性原理B,dS:0在时变情况下也是成立 的，成为麦克斯韦第三方程。迄今为止尚未发现“磁荷”，就是这一假设正确性 的证明。 麦克斯韦对宏观电磁理论的重大贡献就在于正确地提出了一些科学假设， 使特定条件下得出的实验定律的推广得以成立。麦克斯韦方程的正确性以为出 它所得到的一系列推论与实验结果有很好的一致性而得到证实，尤其是法国物 理学家赫兹关于电磁波的发现，充分证实了麦克斯韦电磁理论的正确性。 9.电磁场的边界条件 在求解电磁场问题中，边界条件起定解的作用。亥姆雷兹定理指出，任一矢 量场由它的散度、旋度和边界条件惟一地确定。 边界条件实标上是电磁理论的基本方程在不同煤质分界面上的一种表现形 式，它是根据积分形式的电磁场方程导出的。 23习题解落 2.1已知半径r=a的导体球面上分布着面电荷密度为p5=P0co8日的电 荷，式中的P如为常数。试计算球面上的总电荷量。 解球面上的总电荷量等于面电荷密度沿，=a的球面上的积分，即 9=psis=pcon 0dS.=Pscos 02ma'sin 0de=0
气9别第2痘电磁妈的基太限释 2.2已知半径为a、长为L的圆柱体内分布着轴对称的电荷，电荷体密度 为p=p,。,0≤r≤a,式中的p,为常数，试求圆柱体内的总电荷量。 解圆柱体内的总电荷量等于体电荷密度对半径为：，长度为L的圆柱体 的体积分，即 9-pv=d=2g4写-2oc 2.3电荷g均匀分布在半径为α的导体球面上，当导体球以角速度仙绕通 过球心的：轴旋转时，试计算导体球面上的面电流密度。 解导体球上的面电荷密度为 p=4 球面上任意一点的位置矢量为r=e,a,当导体球以角速度u绕通过球心的 x轴旋转时，该点的线速度为 t=wxr=e,w×e,a=e。wasin0 则得导体球面上的面电流花度为 与=p,0=,4ain9 2.4宽度为5cm的无限薄导电平面置于：=0的平面内，若有10A电流 从原点朝向点P(2cm,3cm,0)流动，如图题2.4所示，试写出面电流密度的表 示式。 P2cam3c,0、 图题2.4 解面电流流动方向的单位矢量为
2.3习额解答35 分e1高2+e3》 e。= 面电流密度的大小为 10 A/m200 A/m 故得面电流密度矢量表示式为 1,=20e2+e3)m 3 25一个半径为á的球形体积内均匀分布着总电荷量为9的电荷，当球体 以均匀角速度w绕一条直径旋转时，试计算球内的电流密度。 解球体内的电荷体密度为 p=4a/3 设以球心为坐标原点，旋转轴为：轴，则球体内任意一点P的位置矢量为 r=e,r,故该点的线速度为 因此，所求的电流密度矢量为 J=pm=6g号万ni0=,器in0 2.6平行板宜空二极管两极板间的电荷体密度为p=一音©，d于x子，阴 极板位于x=0处，阳极板位于x=d处，极间电压为U。;如果U。=40V,d= 1cm,横截面3=10cm2,试求：(1)￥=0至x=d区域内的总电荷量；(2)x= d/2至x=d区城内的总电荷量。 解)=av=-gaxn）5a =3 =-4.72×10-1C (2) -人nav=(-音，dnj小a 款1动， =-0.97×10"c