第1章 矢量分析 1.1 基本内容概述 矢址分析是研究电磁场在空间分布和变化规律的基本数学工具之一，本章 着重付论标量场的梯度，矢量场的放度和旋度的概念及其运算规律， 1,1.1失量代数 两个矢量A与B的点积A·B是一个标量，定义为 A·B=ABeos# (1.1) 两个失量A与B的义积AB是一个失量，定义为 A x B =eAdsin A (1.2) 矢量A与矢量BxC的点积A·(B×C)称为标量三重积，它具有如下运算 性质 A·(BXC)=B·(CA)=C(A￥B (1.3) 矢量A与矢班B×C的义积A×(BxC)称为矢量三重积，它具有如下运算 性质： A×【B×C)=B(A·C)-C(A·B) (1.4) L.1.2三种常用的正交坐标系 1,直角坐标系(y,) 直角坐标系中的三个相耳正交的坐标单位矢址为：，。，和飞，遵葡右手果 旋法则： e×,=,e,州e.=e,求， (1.51 长度元 dl,dar,dl,dr,dl,d: (1.6
面积元 ds,dydz,ds,dxds,d5,dxdy (.7) 体积元 dv dxdyd: (1.8) 2.圆柱坐标系(p,中，z) 柱坐标系中的三个相互正交的坐标单位矢量为©。e,和e,遵循右手螺 旋法则： ee=:,ee:=e,e,。=e (1.9) 长度元 d。=dp,dl。=pdb,dl=dz (1.10) 面积元 ds。=pdod:,ds。=dpdz,ds.=pdpd (1.11) 体积元 dy=pdodφdz (1.12) 3.球坐标系{r,0,中) 球坐标系中的三个相互正交的坐标单位矢量为e,、,和©，遵循右手螺旋 法划： e,×e=e6,egXe=e,e,×e,=e, (1.13) 长度元 dl,dr,dl,rde,dl rsin add (1.14) 面积心 dS,=sin0dodb,dS。=rsin6drdb,ds。=rdrd0 (1.15) 体积元 dv =r'sin 8drdado (1.16) 4.坐标单位矢量之间的变换 ee,e,与e,e,e.之间的变换关系见表1.1， 表1.1 t. e. E e。 cas sin中 0 -sin中 cos d 0 0 0 1
1.1基本内容概述3◆ e,e。e。与e,ee,之间的变换关系见表1.2。 表1.2 e. t, sin 0 cosg cos 8 0 sin 6 0 1 0 e,e。,e。与e,e,e,之间的变换关系见表1.3。 表1.3 e, 8, 8, sin Ocos sin0ain中 cos0 g。 cos fcos中 cos 6sin d -sin C -sin中 c08中 0 1.1.3标量场的梯度 1,标量场的等值面 标量场可用一个标量函数来描述 uu(r) (1.17) 标量场的等值面方程为 (r)=C(C为常数) (1.18) 2.标量场的方向导数 在直角坐标系巾方向导数的计算公式为 =0osa+的osB+osy (1.19) 式中，co3x、cosB、csy是方向1的方向余弦。 3.标量场的梯度 标量场的梯度V“是一个矢量，在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中的 表达式分别为 (1.20) 9u=6那+6品+盟 (1.21)
pu=60+6器+，m8e (1.22) 1.1.4矢量场的散度 1,矢量场的矢量线 矢量场可用一个矢成函数来描述 F=F(r)=e,(r）+e,F,(r）+e,F,(r) (1.23) 矢量场的矢量线微分方程为 物高高 (1.24) 2.矢量场的通量 矢量场F()穿出闭合面S的道量为 业=$，Fr)·ds=$F(r)e.ds (1.25) 3,矢量场的散度 矢量场的散度又·F是一个标量，在直角坐标系、圆柱坐标系和域坐标系中 的表达式分别为 F0盼龄 (1.26) p69 z (1.27) 1 (1.28) 4,散度定理 矢量场的散度在体积V上的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合曲面S 上的面积分，即 「n,Fdv=,Fds (1.29) 散度定理是矢量场中的体积分与闭合曲面积分之间的一个变换关系，在电磁理 论中非常有用。 1.1.5矢量场的旋度 1.矢量场的环流 欠址场F(r)沿闭合路径C的环流为
1.1基本内容徽述5 r=∮F,d (1.30) 2.失量场的旋度 失量场的旋度V×F是一个矢量，在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中 的表达式分别为 e,eye, (1.31) IF.F,F. e,pea e. (1.32) F。pF。F e,re.rsin Be。 1 V×F=Fimr0 (1.33) F,rf。rain OF 3.斯托克斯定理 失景场的旋度在曲面$上的面积分等于矢成场沿限定该曲面的闭合路径C 的线积分，即 ,×F:ds=$Fdl (1.34) 斯托克斯定理是失量场中的面积分与围线积分之间的一个变换关系，在电磁理 论中也很有用。 1.1.6无旋场与无散场 1.无旋场 标量场的梯度有一个重要性质，就是它的旋度恒等于0，即 V×(Va)=0 (1.35) 一个旋度处处为0的矢量场P称为无旋场，可以把它表示为一个标量场的 梯度，即如果V×F=0,则存在标量函数“，使得 F=-Vu (1.36)