Al2(e.)d+l(e,)dy ds+dy-ds-odr =8 e.e;e 图题1.21 V×A= xx y: 所以 ,p×4,ds-0e2加+e2）ty=2dd=8 故有 4dl=8=,V×Ads 1.22求矢量A=e,x+e,2沿圆周x2+y=a2的线积分，再计算V×A对 此圆面积的积分。 f4.d=5xd+对山 -广(-ocososino+oror2osin)d6 受 4d5(0-e5 =gas=如 g 1.23证明：(1)V·R=3:(2)V×R=0:(3)V(A·R)=A。其中R= e,x+e,y+e,A为一常矢量。 证(1) R+多+能=3
1.3习题解答17 e,e,e. (2) :品号0 x y a (3)设A=eA.+e,A,+e,A,则A·R=Ax+A,y+A,故 (As +hy+dz)=e.d +eh,+oh =A 1.24一径向矢量场用F=ef代r)表示，如果V·F=0,那么函数f(r)会有 什么特点呢？ 解在圆柱坐标系中，由 v)1.0 可得到 Ko. C为任意常数。 在球坐标系中，由 vF=片t1=0 可得到 K).g 1.25给定失量函数E=e,y+e,x,试求从点P,(2,1,-1)到点P,(8.2 -1)的线积分∫E·d!:(1)沿抛物线x=2y;(2)沿连接该两点的直线。这个 五是保守场吗？ 解(1)jE·dl=B,d+E,dy=erd+xdy =d(2y)+2y山 =oydy =14
(2)连接点P1(2,1,-1)到点P,(8,2,-1)的直线方程为 导登即6y4 ∫Edl=E,dr+E,y=ydz+ =d(6y-4)+(6,-49dy=∫(12y-4女 =14 由此可见积分与路径无关，故是保守场。 12⅓试采用与准华直角坠标素中vA:尝+学+治相板的方法准导 圆生生板聚中的公式-4：)一总+胎。 解在圆柱坐标系中，取小体积元如图题1.26所示。矢量场A沿©，方向 穿出该六面体表面的通量为 (n+p)dzde- 4oa6 s[(p+4p)A,(p+△p,中，z)- pA,(p,中，z)]△bA: -g244a 1Kpd.av 图题1.26 p 同理 -l.-4o咖 =[A(p,中+△b,z)-A(p,中，z}]△pAx
1.3习题解答19 =广4i4ow-咖a =[A,(p,中，+d)-A,(p,中，z)]pAp46 -4aba 因此，矢量场A穿出该六面体表面的通量为 后的总v 故得到圆柱坐标系中的散度表达式 4品2总尝 1.27现有三个矢量A、B,C分别为 A=e,sin Ocos中+e4cos0cos中-e。in中 B=e,2sin中+e,2cos中+e,2psin中 C=e.(3y2-2x)+c,x+e,2z (1)试问哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个 矢量函数的旋度表示？ (2)求出这些矢量的源分布。 解(1)在球坐标系中 p:A寸品)+n品品in4,)+点g0 =号品in e6)+in+ 08(-m) 】 nc+g-2-黑 =0 e,reo rsin de p品 1 品 4. rA,rsin BA
e, re, rsin6e。 1 sin Bcos中reos6cos中-rsin0sinΦ =0 故矢址A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度 表示。 在圆柱坐标系中 V·B=1G -6品aino)+日&cm)+品2omin) _sin中.sin电+2 psin =2psin中 e。peee, 0 ppdz p B。pB。B zsin中pz2cus中2 pasin中 故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示。 在直角坐标系中 -品（时-2w+2)+品2 =0 e,e,e. v x C 3y2-2xx22z 故矢其C可以由一个失量函数的旋度表示。 (2)这些矢量的源分布为 V·A=0,V×A=0