1.3习题熊答11 A×P=A×(A×X)=(A·X)A-(A·A)R=A-(A·A)X 故得 X-2A-AxP A·A 18在圆柱坐标系中，一点的位置由，号3)定出，求该点在：(1)直角 坐标系中的坐标：(2)球坐标系中的坐标。 解(1)在直角坐标系中 x=4c0s(2π/3)=-2，y=4in(2/3)=2√5，g=3 故该点的直角坐标为(-2,2V5,3)。 (2)在球坐标系中 t=V+3=5,8=arctan(4/3)=53.1°，中=2x/乃rad=120° 故该点的球坐标为(5,53.1°，120)。 19用球坐标表示的场B=心点。 (1)求在直角坐标系中(-3,4，-5)点处的|E|和E,: (2)求在直角坐标系中(-3,4，-5)点处E与矢量B=e.2-e2+e,构成 的夹角。 解（1)在直角坐标系中(-3,4，-5)点处，=√-3)+4+(-5)了= 5√2，故 到=6-2 又在直角坐标系中(-3,4，-5)点处，r=-e,3+e,4-e,5,所以 8=62空.25，.-3+4-5 102 故 &68=0清器 (2)】 |B|=√2+（-2)2+1下=3 在直角坐标系中(-3,4，-5)点处 巴·8=e3+4-e3.e2-e,2+e)-1057 102 故E与B构成的夹角为
气位男1率夹温分行 0-aveon)=arean()153.6 E·B 3/2 1.10球坐标系中的两个点(1,0，中)和(r2,8,中)定出两个位置矢量R, 和R。证明R,和R,间夹角的余弦为 cosy=cos8,cosB2+sin0,8in02coa(中，-$，） 证由R,=esin6,cos中，+e,1sin,sin中，+e,co80 R2 =e,rsin 0:cos +e,rsin 02sin :+e,cos 0 R1·R2 得到cosy=TR,R,T =8in8,cos中，sin62cos中2+sin日，sin中，sin82sin中2+cosf,cosg, =sin0,sin02(cos中1coa中2+sin中，sin中，）+cos0,cos92 =sin0,sin8,cos(6,-中，)+cos8,c0s62 1.11求标量函数乎=xy的梯度及单在一个指定方向的方向导数，此方 向由单位矢量=6高+6而6高定出：求(23,1)点的方商导 3 4 数值。 解 pp=62)+e,r)+e品加 =e,2xyz+e,x':+ex'y 傲帮方向品高5奶以西的方将数为 4 背+编+ v50W50√5 点(2,3,1)处沿e,的方向导数值为 1.12已知标量函数u=x2+2y2+3:+3x-2y-6z。(1）求V;(2)在哪 些点上Vu等于0？ 解1)p,船++6，=6，(2s+3)+8,(4y-2)+,6:-6) (2)由74=e.(2x+3}+e,(4y-2)+e,(6:-6)=0,得 x=-3/2,y=1/2,2=1 113方程 厅卡+给出一精球族。求椭球表面上任意点的单位器
1.3习题解答13 向矢量。 解由于 v=,老+e,是+e ip2+(+( 故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 =台(e+,京+/+(+（周 1.14利用直角坐标系，正明 V(w)=u又u+和V4 证在直角坐标系中 “v+a阳+6部+e器+器6，器+e,】 盟+》*e部+》+肥+》 (u (um)(u) dz =V(uu) 1.15 一个球面S的半径为5，球心在原点上，计算：少(，3sin8)·dS 的值。 解 克(e,3in)·ds=$,(e,3sin0）e,ds in 5'in alede 1.16已知矢量E=e,(x2+axr)+e,(y2+y）+e,(红-+c-2y）,试 确定常数4、b、c,使E为无源场。 解由V·E=(2x+az)+(2xy+b)+(1-2:+c-2xy)=0,得 a=2,6=-1,c=-2 1.17在由p=5、2=0和：=4圈成的圆柱形区城，对矢量A=ep2+e,2:验 证散度定理。 证在柱坐标系中 v:A=日品am)+品2)=p+2
气件第1率灰重分折 所以 v Adv-dd(3+2)odp=1 200x f4ds-4d5+4a5+4a5 .dododod 广Ale5iao =02×4nbd0+广3×5ad6=120m 放有 人，p:Aay=120元=f4:d5 1.18(1)求矢量A=e,x+e,*2y2+e,24x2y2x的散度；(2)求7·A对中 心在原点的一个单位立方体的积分：(3)求A对此立方体表面的积分，验证散 度定理。 解(1)v·A=dx+a2,324y-2z+2y+72xy dx dy (2)V·A对中心在原点的一个单位立方体的积分为 人.pA=ffa+2的y+2rya=a (3)A对此立方体表面的积分 f45s-n(}e-n》广t aa- d ady 品 故有 ,V·Adr=a=fA:a 1.19计算矢量r对一个球心在原点，半径为a的球表面的积分，并求 V·r对球体积的积分
1,3习题解答15 fr.as=9r.e,ds=doa'sin8i0 =4ma 又在球坐标系中，V7号品=3，所以 Lvv=广3rsn9trda4 =4ra3 1.20在球坐标系中，已知矢量A=e,a+e,b+ec,其中a、b和c均为常数。 (1)问矢量A是否为常矢量？(2)求了·A和V×A。 解(1) A=|A|=A·A=a+b+C 即矢量A=e,a+e,b+e。c的模为常数。 将矢量A=e,a+e,b+ec用直角坐标表示，有 A =e,a +eb +egc =e.(asin0cos中+bcos0cos中-csin中)+ e,(asin9sin中+bcos @sin中+ccos中)+e,(acos8-bsin8) 由此可见，矢量A的方向随日和中变化，故矢量A不是常矢量。 由上述结果可知，一个常矢量C在球坐标系中不能表示为C=e,4+e,b (2)在球坐标系中 A=片a)+品动am)+品器：9+8 e,reo rsin de =品品 1 .8-+月 A,rA,rsin B4。 1.21求失量A=e,+e,x2+e,yx沿y平面上的一个边长为2的正方形 回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求V×A对此回 路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。 解如图题1.21所示，可得 fA.d=faledal.dyt