2.无散场 矢量场的旋度有一个重要性质，就是旋度的散度恒等于0，即 V·(V×A)=0 (1.37) 一个散度处处为0的矢量场F称为无散场，可以把它表示为另一矢量场的 旋度，即如果V·F=0,则存在矢量函数A,使得 F=V XA (1.38) 1.1.7拉普拉斯运算与格林定理 1.拉普拉斯运算V'u 在直角坐标系，圆柱坐标系和球坐标系中，V“的表达式分别为 被等的 (1.39) 日乱别片器+的 (1.40) iu-片r品。+a。胎 (1.41) 2.格林定理 格林第一定理（格林第一恒等式） e+ppv)av=fe装s (1.42) 格林第二定理（格林第二恒等式） o-pdv={p器-器)as (1.43) 1.1.8亥姆鲨兹定理 矢量场的散度和旋度都是表示矢量场的性质的量度，一个矢量场所具有的 性质可由它的散度和旋度来说明。可以证明：在有限的区域V内，任一失量场 由它的散度，旋度和边界条件（即限定区域V的闭合面S上的矢量场的分布）惟 地确定，且可表示为 F(r)=-又u(r)+V×A(r) (1.44) 12教学基本要求及重点雅煮讨论中 1.2.1教学基本要求 理解标量场与矢量场的概念，了解标量场的等值面和失量场的矢量线的
1.2教学基本要求及重点，难点讨论74 概念。 直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系是三种常用的坐标系，应熟练掌握。 矢量场的散度和旋度、标量场的梯度是矢量分析中最基本的概念，应深刻理 解，掌握散度、旋度和梯度的计算公式和方法。 散度定理和斯托克斯定理是矢量分析中的两个重要定理，应熟练笔握和 应用。 理解亥姆霍兹定理的重要意义。 1.2.2重点、难点讨论 (1)矢量场的撒度和旋度用于描述矢量场的不同性质，它们的主要区别 在于： ①一个失量场的旋度是一个矢量函数，而一个矢量场的散度是一个标量 函数： ②旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度描述的是矢 量场中各点的场量与通量源的关系： ③如果矢量场所在的空间中V×F=0,则这种场中不可能存在旋涡源，因 而称之为无旋场（或保守场）：如果矢量场所在的空间中又·F=0,则这种场中 不可能存在通：源，因而称之为无源场（或管形场）： ④在旋度公式(1.31)中，矢量场F的场分量F,、F,F,分别只对与其垂直 方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方 向上的变化规律；而在散度公式(1.26)中，矢量场F的场分量F、F,、F,分别只 对xy、:求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化 规律。 (2)亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，矢量场由它的散度和旋度准 一地确定，矢量的散度和矢量的旋度各对应矢量场的一种源。所以，分析矢量场 总是从研究它的散度和旋度着手，散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本方 程（微分形式）。也可以从矢量场沿闭合面的通量和沿闭合路径的环流着手，得 到基本方程的积分形式。 (3)一个标量场的性质可由它的梯度来描述，即4()=了V“·dl+C。标 量场的梯度具有如下性质： ①标量场u(r)的梯度是一个矢量场，并且又×Vu=0: ②标量场()中，在给定点沿任意方向©，的方向导数等于梯度在该方向 上的投影，即 股=p4
个日等1室失惠分所 ③标量场u(r)中每一点的梯度垂直于过该点的等值面，且指向u(r)增加 的方向。 1.3习题解答： 1,1给定个矢量A、B和C如下： A=e,+e,2-e,3 B=-e,4+e C=e,5-e,2 求：(1)e,:(2)|A-B:(3)A·B;(4)日4：(5)A在B上的分量：(6)A× C;(7)A·(B×C)和(A×B)·C:(8)(A×B)×C和A×(B×C)。 期0☆·市“京 e,+e,2-e,3 2 3 (2)A-B|=1(e,+e,2-e,3)-(-e,4+e,) =|e,te,6-e,4|-53 (3)A·B=(e,+e,2-e,3)·(-e,4+e,）=-l1 A·B -11 )由w。i可7x而 V2丽，得 11 8g=areeos-1】 V23丽}135.50 (5)A在B上的分量 7 e,e,e. (6)A×C=|12-3=-e4-e,13-e,10 50-2 e.e,e. (7)由于B×C=0-41=e,8+e,5+e.20 50 -2 e.e,e, A×B=12-3=-e10-e,-e4 0 -41
1.3习题解答9 所以A·(B×C)=(e,+e,2-e3)·(e.8+e,5+e20)=-42 (A×B)·C=(-e,10-e,1e4)·(e.5-e2）=-42 e.e,e. (8)(A×B)xC=-10-1-4=e,2-e,40+e.5 50-2 e.e,e. A×(B×C)=12-3=e,55-e,44-e.11 18520 1.2三角形的三个顶点为P,(0,1,-2)、P(4,1,-3)和P(6,2,5)。 (1)判断△P,P2P,是否为一直角三角形； (2)求三角形的面积。 解(1)三个顶点P(0,-2)、P(4,1,-3)和P,(6,2,5)的位置矢量分 别为 r,=e,-e2,r3=e,4+e,-e,3,r=e6+e,2+e,5 则 Ra=r-r,=e4-e,Ra=r3-2=e,2+e,+e,8, R1=7-r=-e.6-e,“e,7 由此可见 Ra·R,=(e.4-e,）·(e,2+e,+e.8）=0 故△P,PP,为一直角三角形。 (2)三角形的面积 S=3|R:×R知=子|R:1×R:|=子7×V丽=17.13 1.3求P"(-3,1,4)点到P(2,-2,3)点的距离矢量R及R的方向。 解 Tn=-e,3+e,+e,4,re=e,2-e,2+e,3 则 R Rep =rp-re =e5 e,3 -e 且RFn与xy、:轴的夹角分别为 5 叫a -31
0第1泉天惠分折 1.4给定两矢量A=e.2+e,3-e.4和B=e,4-e,5+e,6,求它们之间的夹 角和A在B上的分量。 解 {A1=2+32+（-4)=29 {B1:√+5+6=√7 A·B=(e2+e,3-e,4)·(e.4-e,5+e,6)=-31 故A与B之间的夹角为 =uao叫Bsma7r A在B上的分量为 44骨·器3 1.5给定两矢量A=e2+e,3-e,4和B=-e,6-e,4+e,求A×B在C e-e,+e,上的分过。 e.e,e. A×B=23-4=-e,13+e,22+e,10 -6-41 (A×B)·C=（-e.13+e,22+e,10)·(e.-e,+e)=-25 c|=√+(-1)+1下=5 所以A×B在C上的分量为 5 1.6证明：如果A·B=A·C和A×B=A×C,则B=C 证由A×B=A×C,则有A×(A×B)=A×(A×C),即 (A·B)A-(A·A)B=(A·C)A-(A·A)C 由于A·B=A·C,于是得到 (A·A》B=(A·A)C 故 B=C 1,7如果给定一个未知矢量与一个已知矢址的标量积和失量积，那么便可 以确定该未知失量。设A为一已知矢量，P=A·X而P=A×X,P和P已知，试 求X。 解由P=A×X,有