在对G正常边着色时，着相同颜色的边集称为该正常 着色的一个色组。 (二)、几类特殊图的边色数 1、偶图的边色数 定理1X(Kmn)=A 证明：设X={xo,x,xm-1} Y={o,4,y-} 又设△=n。设颜色集合为 {0,1,2,n-1},是 K,n的一种n着色方案，满足： Vxy,∈E(Kmn),π(x,y,)=(i+j)(modn)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 在对G正常边着色时，着相同颜色的边集称为该正常 着色的一个色组。 (二)、几类特殊图的边色数 1、偶图的边色数 定理1 , ( ) Km n = 证明：设 X x x x = 0 1 1 , ,., m− Y y y y = 0 1 1 , ,., n− 又设Δ=n。设颜色集合为｛0，1，2，.，n-1｝, п是 Km,n的一种n着色方案，满足： , ( ), ( ) ( )(mod ) i j m n i j = + x y E K x y i j n
我们证明：上面的着色是正常边着色。 对Km,n中任意的两条邻接边xy和xy。若 π(xy,)=π(x,yk) 则：i计j(modn)=i+k(modn),得到j=k,矛盾！ 所以，上面着色是正常作色。所以： X'(Kmn)≤n 又显然 X(Kmn)≥△=n ，所以， X(Kmn)=△ 例1用最少的颜色数对K34正常边着色
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 我们证明：上面的着色是正常边着色。 对K m, n中任意的两条邻接边xiyj和xiyk。若 ( ) ( ) i j i k x y x y = 则：i+ j ( mod n)=i +k ( mod n),得到j=k，矛盾！ 所以，上面着色是正常作色。所以： , ( ) K n m n 又显然 ( ) K n m n, = ，所以， , ( ) Km n = 例1 用最少的颜色数对K3,4正常边着色
y2 定义3设Ⅱ是G的一种正常边着色，若点u关联的边的 着色没有用到色i,则称点u缺i色。 定理2（哥尼，1916若G是偶图，则X(G)=△ 证明：我们对G的边数m作数学归纳。 当m=1时，△=1，有X(G)=△=]
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 定理2 (哥尼，1916)若G是偶图，则 x x2 1 x0 y1 y2 y3 y0 ( ) G = 定义3 设п是G的一种正常边着色，若点u关联的边的 着色没有用到色i，则称点u缺i色。 证明：我们对G的边数m作数学归纳。 当m=1时，Δ=1，有 ( ) 1 G = =
设对于小于m条边的偶图来说命题成立。 设G是具有m条边的偶图。 取uv∈E(G),考虑G=G-uv,由归纳假设有： X(G)=A(G)≤A(G) 这说明，G,存在一种△(G)边着色方案Ⅱ。对于该着 色方案，因为uv未着色，所以点u与v均至少缺少一种色。 情形1如果u与v均缺同一种色i,则在G,+uv中给uv着色 i,而G其它边，按Ⅱ方案着色。这样得到G的△着色方案 所以： (G)=A 情形2如果u缺色i,而v缺色j,但不缺色i
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 设G是具有m条边的偶图。 设对于小于m条边的偶图来说命题成立。 取uv∈ E(G), 考虑G1=G-uv,由归纳假设有： 这说明，G1存在一种Δ(G)边着色方案п。对于该着 色方案，因为uv未着色，所以点u与v均至少缺少一种色。 1 1 ( ) ( ) ( ) G G G = 情形1 如果u与v均缺同一种色i, 则在G1+uv中给uv着色 i, 而G1其它边，按п方案着色。这样得到G的Δ着色方案， 所以： ( ) G = 情形2 如果u缺色i, 而v缺色j，但不缺色i
设H(,)表示G,中由色边与j色边导出的子图。显然， 该图每个分支是i色边和所色边交替出现的路或圈。 对于H(i,)中含点v的分支来说，因v缺色i,但不缺色i, 所以，在H(i,j)中，点v的度数为1。这说明，Hi,)中含y 的分支是一条路P。 进一步地，我们可以说明，上面的路P不含点u。 因为，如果P含有点u,那么P必然是一条长度为偶数的 路，这样，P+v是G中的奇圈，这与G是偶图矛盾！ 既然P不含点u,所以我们可以交换P中着色，而不破坏 G,的正常边着色。但交换着色后，ù与v均缺色i,于是由 情形1，可以得到G的△正常边着色，即证明：x'(G)=△ 10
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 设H (i, j) 表示G1中由i色边与j色边导出的子图。显然， 该图每个分支是i色边和j色边交替出现的路或圈。 对于H(i, j)中含点v的分支来说，因v缺色j, 但不缺色i, 所以，在H(i, j)中,点v的度数为1。这说明，H(i ,j)中含v 的分支是一条路P。 进一步地，我们可以说明，上面的路P不含点u。 因为，如果P含有点u, 那么P必然是一条长度为偶数的 路，这样，P+uv是G中的奇圈，这与G是偶图矛盾！ 既然P不含点u, 所以我们可以交换P中着色，而不破坏 G1的正常边着色。但交换着色后，u与v均缺色i, 于是由 情形1,可以得到G的Δ正常边着色，即证明： ( ) G =