免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 1.5平方差公式(一) ●教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索平方差公式的过程 2.会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算 二)能力训练要求 1.在探索平方差公式的过程中,发展学生的符号感和推理能 2.培养学生观察、归纳、概括等能力. (三)情感与价值观要求 在计算的过程中发现规律,并能用符号表达,从而体会数学语言的简捷美 ●教学重点 平方差公式的推导和应用 ●教学难点 用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式 ●教学方法 探究与讲练相结合. 使学生在计算的过程中发现规律,并运用自己的语言进行表达,用符号证明这个规律, 并探索出平方差公式的结构特点,在老师的讲解和学生的练习中学会应用 ●教具准备 投影片四张 第一张:做一做,记作(§1.5.1A) 第二张:例1,记作(§1.5.1B) 第三张:例2,记作(§1.5.1C 第四张:练一练,记作(§1.5.1D) ●教学过程 Ⅰ.创设情景,引入新课 [师]你能用简便方法计算下列各题吗? (1)2001×1999:(2)992-1 生]可以.在(1)中2001×199=-(2000+1)(2000-1)=2000-2000+2000-1×1=2000 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 1.5 平方差公式(一) ●教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索平方差公式的过程. 2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算. (二)能力训练要求 1.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力. 2.培养学生观察、归纳、概括等能力. (三)情感与价值观要求 在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美. ●教学重点 平方差公式的推导和应用. ●教学难点 用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式. ●教学方法 探究与讲练相结合. 使学生在计算的过程中发现规律，并运用自己的语言进行表达，用符号证明这个规律， 并探索出平方差公式的结构特点，在老师的讲解和学生的练习中学会应用. ●教具准备 投影片四张 第一张：做一做，记作(§1.5.1 A) 第二张：例 1，记作(§1.5.1 B) 第三张：例 2，记作(§1.5.1 C) 第四张：练一练，记作(§1.5.1 D) ●教学过程 Ⅰ.创设情景，引入新课 ［师］你能用简便方法计算下列各题吗？ (1)2001×1999；(2)992－1 ［生］可以.在(1)中 2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=20002
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 12=40000001=39999,在(2)中992-1=(100 1=(100-1)(100-1)-1=1002-100 100+1-1=10000-200=9800. [师]很好!我们利用多项式与多项式相乘的法则,将(1)(2)中的2001,1999,99化 成为整千整百的运算,从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题,2001和199,一个比2000 大1,于是可写成2000与1的和,一个比2000小1,于是可写成2000与1的差,所以 2001×1999就是2000与1这两个数的和与差的积,即(2000+1)(2000-1);再观察利用多 项式与多项式相乘的法则算出来的结果为:2000-12,恰为这两个数2000与1的平方差 (2000+1)(2000-1)=20002-12 那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢? 我们不妨看下面的做一做 Ⅱ.使学生在计算的过程中,通过观察、归纳发现规律,并用自己的语言和符号表示 其规律 [师]出示投影片(§1.5.1A 做一做:计算下列各题 (1)(x+2)(x-2) (2)(1+3a)(1-3a) (3)(x+5y)(x-5y) (4)(y+3z)(y-3z) 观察以上算式,你发现什么规律?运算岀结果,你又发现什么规律?再举两例验证你的 发现? [生]上面四个算式都是多项式与多项式的乘法 [生]上面四个算式每个因式都是两项 生]除上面两个同学说的以外,更重要的是:它们都是两个数的和与差的积例如: 算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积:算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与 差的积:算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积:算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与 差的积 [师]我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘,它们的结果如何 呢?只要你肯动笔、动脑,相信你一定会探寻到答案 解压密码联系qq11139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com －1 2 =4000000－1=3999999,在(2)中 992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100 －100+1－1=10000－200=9800. ［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的 2001，1999，99 化 成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，2001 和 1999，一个比 2000 大 1，于是可写成 2000 与 1 的和，一个比 2000 小 1，于是可写成 2000 与 1 的差，所以 2001×1999 就是 2000 与 1 这两个数的和与差的积，即(2000+1)(2000－1)；再观察利用多 项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：20002－1 2，恰为这两个数 2000 与 1 的平方差. 即 (2000+1)(2000－1)=20002－1 2 . 那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？ 我们不妨看下面的做一做. Ⅱ.使学生在计算的过程中，通过观察、归纳发现规律，并用自己的语言和符号表示 其规律 ［师］出示投影片(§1.5.1 A) 做一做：计算下列各题： (1)(x+2)(x－2); (2)(1+3a)(1－3a); (3)(x+5y)(x－5y); (4)(y+3z)(y－3z). 观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你的 发现？ ［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法. ［生］上面四个算式每个因式都是两项. ［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如： 算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与 差的积；算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与 差的积. ［师］我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘，它们的结果如何 呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ [生]解:(1)(x+2)(x-2) (2)(1+3a)(1-3a) =1-9a2 (3)(x+5y)(x-5y) (4)(y+3z)(y-3z) =y"-9z (如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项 式相乘,进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想) [生]从刚才这位同学的运算,我发现 (1)(x+2)(x-2) (2)(1+3a)(1-3a)=1-9x2=12-(3a)2; (3)(x+5y)(x-5y)=x2-25y2=x2-(5y)3 (4)gy+38)y-38)y2-92=y2-(3)2 即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运算得出同样 的结果 即 2001×1999=(2000+1)(2000-1)=20002-12 [师]你还能举两个例子验证你的发现吗? [生]可以.例如: (1)101×99=(100+1)(100-1)=1002-100+100-12=1002-12=10000-1=999 (2)(-x+y)(-x-y)=(-x)(-x)+xy-xy-y2=(-x)2-y2=x2-y2 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ［生］解：(1)(x+2)(x－2) =x 2－2x+2x－4=x 2－4； (2)(1+3a)(1－3a) =1－3a+3a－9a 2 =1－9a 2； (3)(x+5y)(x－5y) =x 2－5xy+5xy－25y 2 =x 2－25y 2； (4)(y+3z)(y－3z) =y 2－3yz+3zy－9z 2 =y 2－9z 2 (如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项 式相乘，进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想) ［生］从刚才这位同学的运算，我发现： 即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运算得出同样 的结果. 即 ［师］你还能举两个例子验证你的发现吗？ ［生］可以.例如： (1)101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－1 2 =1002－1 2 =10000－1=9999； (2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y 2 =(－x) 2－y 2 =x 2－y 2 . 即
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ a0a00)10-1 (x+y)(xy)=(x-y2 上面两个例子,同样可以验证:两个数的和与差的积,等于它们的平方差 [师]为什么会有这样的特点呢? [生]因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后,中间两项是同类项且系数互为 相反数,所以相加后为零.只剩下这个数的平方差 [师]很好!你能用一般形式表示上述规律,并对规律进行证明吗? [生]可以.上述规律用符号表示为: (a+b)(a-b)=a2-b2 其中a,b可以表示任意的数,也可以表示代表数的单项式、多项式 利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明,即 (atb)(a-b=a-abtab-b=a-b [师]同学们确实不简单用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快. 你能给我们发现的规律(a+b)(a-b)=a2-b2起一个名字吗?能形象直观地反映出此 规律的 [生]我们可以把a+b)(a-b)=a2-b2叫做平方差公式 [师]大家同意吗? [生]同意. [师]好了!这节课我们主要就是学习讨论这个公式的.你能用语言描述这个公式吗? [生]可以.这个公式表示两数和与差的积,等于它们的平方差 [师]平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式用它直接运算会很简单,但要 注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算 Ⅲ.体会平方差公式的应用,感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便,进一步熟 平方差公式 出示投影片(§1.5.1B) [例1](1)下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是() A.(x+1)(1+x) B.(1a+b)(b-1a) 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 上面两个例子，同样可以验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差. ［师］为什么会有这样的特点呢？ ［生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后，中间两项是同类项且系数互为 相反数，所以相加后为零.只剩下这个数的平方差. ［师］很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？ ［生］可以.上述规律用符号表示为： (a+b)(a－b)=a 2－b 2 ① 其中 a,b 可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式. 利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即 (a+b)(a－b)=a 2－ab+ab－b 2 =a 2－b 2 ［师］同学们确实不简单 用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快. 你能给我们发现的规律(a+b)(a－b)=a 2－b 2 起一个名字吗？能形象直观地反映出此 规律的. ［生］我们可以把(a+b)(a－b)=a 2－b 2 叫做平方差公式. ［师］大家同意吗？ ［生］同意. ［师］好了！这节课我们主要就是学习讨论这个公式的.你能用语言描述这个公式吗？ ［生］可以.这个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差. ［师］平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单，但要 注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算. Ⅲ.体会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便，进一步熟 悉平方差公式. 出示投影片(§1.5.1 B) ［例 1］(1)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ) A.(x+1)(1+x) B.( 2 1 a+b)(b－ 2 1 a)
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ C.(-a+b)(a-b) D.(x2-y)(x+y2) E.(-a-b)(a-b) (2)利用平方差公式计算: (5+6x)(5-6x);(x-2y)(x+2y); (-m+n)(-m-n) [生](1)中只有B、E、F能用平方差公式因为B.(1a+b)(b-1a)利用加法交换律可 得(1a+b)(b-1a)=(b+1a)(b-1a),表示b与a这两个数的和与差的积,符合平方差公 式的特点:E.(-a-b)(a-b),同样可利用加法交换律得(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a) 表示-b与a这两个数和与差的积,也符合平方差公式的特点:F.(c2-d)(d+c2)利用加法 和乘法交换律得(c2-d2)(d2+c2)=(C2+d)(c2-d),表示c2与d2这两个数和与差的积,同样 符合平方差公式的特点 [师]为什么A、C、D不能用平方差公式呢? [生]A、C、D表示的不是两个数的和与差的积的形式 [师]下面我们就来做第(2)题,首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式 [生](5+6x)(5-6x)是5与6x这两个数的和与差的形式:(x-2y)(x+2y)是x与2y 这两个数的和与差的形式:(-m+n)(-m-n)是一m与n这两个数的和与差的形式 [师]很好!下面我们就来用平方差公式计算上面各式 [生](5+6x)(5-6x)=52-(6x)2=25-36x2; (x-2y)(x+2y)=x2-(2y)2=x2-4y2 (-m+n)(-m-n)=(-m)2-n2=m2-n2 [师]这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题 出示投影片(记作§1.5.1C) [例2]利用平方差公式计算 (1)(4y)(-x+y) (2)(ab+8)(ab-8) (3)(m+n)(m-n)+3n2 [师]同学们可先交流、讨论,然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位同 学讲评 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com C.(－a+b)(a－b) D.(x 2－y)(x+y 2 ) E.(－a－b)(a－b) F.(c 2－d 2 )(d 2 +c 2 ) (2)利用平方差公式计算： (5+6x)(5－6x);(x－2y)(x+2y); (－m+n)(－m－n). ［生］(1)中只有 B、E、F 能用平方差公式.因为 B.( 2 1 a+b)(b－ 2 1 a)利用加法交换律可 得( 2 1 a+b)(b－ 2 1 a)=(b+ 2 1 a)(b－ 2 1 a),表示 b 与 2 1 a 这两个数的和与差的积，符合平方差公 式的特点；E.(－a－b)(a－b),同样可利用加法交换律得(－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a), 表示－b 与 a 这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；F.(c 2－d 2 )(d 2 +c 2 )利用加法 和乘法交换律得(c 2－d 2 )(d 2 +c 2 )=(c 2 +d 2 )(c 2－d 2 )，表示 c 2 与 d 2 这两个数和与差的积，同样 符合平方差公式的特点. ［师］为什么 A、C、D 不能用平方差公式呢？ ［生］A、C、D 表示的不是两个数的和与差的积的形式. ［师］下面我们就来做第(2)题，首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式. ［生］(5+6x)(5－6x)是 5 与 6x 这两个数的和与差的形式；(x－2y)(x+2y)是 x 与 2y 这两个数的和与差的形式；(－m+n)(－m－n)是－m 与 n 这两个数的和与差的形式. ［师］很好！下面我们就来用平方差公式计算上面各式. ［生］(5+6x)(5－6x)=52－(6x) 2 =25－36x 2 ; (x－2y)(x+2y)=x 2－(2y) 2 =x 2－4y 2 ; (－m+n)(－m－n)=(－m) 2－n 2 =m 2－n 2 . ［师］这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题. 出示投影片(记作§1.5.1 C) ［例 2］利用平方差公式计算： (1)(－ 4 1 x－y)(－ 4 1 x+y); (2)(ab+8)(ab－8); (3)(m+n)(m－n)+3n 2 . ［师］同学们可先交流、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位同 学讲评