Zadeh模糊集合理论的缺陷及其改进：C*-模糊集合理论

[D0I:10.13374/j.issn1001-053x.2005.05.032 第27卷第5期 北京科技大学学报 Vol.27 No.5 2005年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct.2005 院士论坛 Zadeh模糊集合理论的缺陷及其改进： C-模糊集合理论 高庆狮 北京科技大学智能、语言与计算机科学研究所，北京100083 摘要分析和证明了Zadh模糊集合理论的三个缺点和两个错误，提出了一个考虑模糊集 合之间关系，并且用相关系数米刻画这种关系的程度的新模糊集合理论（系统）—C一模糊 集合理论（系统）.新理论（系统）能克服Zadeh模糊集合理论的三个缺点和两个错误：能正确地 描绘客观世界的全部模糊现象：有补集：隶属度有统一的计算公式；并且是经典集合系统的 特例，能满足全部经典集合的公式，与正常思维、逻辑和概念一致， 关键字集合；模糊集合：Zadeh模糊集合理论：C-模糊集合理论 分类号0159 1引言 Zadeh模糊集合理论不能满足经典集合的全 部公式，尤其是不能满足A一UA=Q和AUA=O, 在本文中，一个集合系统、集合子系统或者 其中，Q是模糊全集. 集合理论是指由集合及其关系、运算、公式、定义 Zadeh的模糊集合理论是经典集合理论的扩 和定理构成的系统， 充.如果限制隶属度的值为{0,1}，并且当u∈A时 11 Zadeh模糊集合理论 u(uFl,当u住A时u(w)=O,则模糊集合理论就成为 Zadeh模糊集合理论的定义"a:设U是一个 经典集合理论， 经典集合，称为全集，令4表示其元素.模糊子集 自从1965年模糊集合论创始人Zadeh提出 A定义为： 模糊集合理论以来，40年来，应用上有一些发展， {(w,()lu∈U) 但是也存在着一些严重的问题.为了使模糊集合 其中，4(u)为u隶属于A的隶属度，4()是一个实 的理论和应用更好发展，就不能回避，或者封锁 数，它满足0≤4()≤1. 压制，或者采用不科学的、类似于天文学上的本 Zadeh-模糊集合A和B之间的关系： 轮的、繁琐的方法去处理系统中存在的某些问 ASB(A是B的子集，即B包含A)被定义为： 题.否则，对进一步发展是有害的，越来越繁琐， (tu∈U(μ(w)sμ(u). 越来越不符合人们正常思维，这对模糊集合应用 A=B(集合相等)的定义可以由ASB的定义推 的推广十分有害. 出：(ueU00u(a片μ(u: 1.2 Zadeh模糊集合理论的缺点 Zadeh--模糊集合的并集(U交集(n)和补集 (I)Zadeh模糊集合理论的缺点之一.Zadeh的 (一)操作的隶属度分别被定义为： 模糊集合系统存在着不能描述部分客观世界模 (VuEU)(uv(u)=max(u(u),u(u))), 糊现象的缺点， (u∈U)uuna(u=min{ua(u）w4au)}), 例1（在“不相交”的情况）：如果17岁隶属于 (Vu∈U)-(u-1-4(w). 青年的隶属度为4年(17)=0.6，隶属于少年的隶属 收稿日期：200507-12修回日期：2005-09-21 度为4少(17)=0.4.按正常思维，青少年是青年和 基金项目：国家自然科学基金(No.GJZRJJ-60343010,GJZRJJ- 少年的并集，隶属于这个并集的隶属度应该是 60573014):“973”项目No.2003CB317007):中国科学院计算技 4街年(17)上1.0.而Zadeh的模糊集合理论却给出 术研究所创新工程基金No.20056510) 作者简介：高庆狮(1934一)，男，博士生导师，中国科学院院士 4年(17)0.6的错误结果

第 2 7卷 第 5期 北 京 科 技 大 学 学 报 Vo L27 N . o 5 2 0 0 5年 10月 J o u r o a l o f Un v i er s ity o f s c ci n c e an d Te c h n o f o gy B e ji i n g o e t . 2 0 0 5 骥鬓霎 Z a de h 模糊集合理论的缺陷及其改进 : *C 一 模糊集合理论 高庆狮 北 京科 技大 学智 能 、 语 言与 计算 机科学 研究 所 , 北京 10 0 0 83 摘 要 分析 和证 明 了 z ad 比 模 糊 集合 理论 的三 个缺 点和 两个 错 误 , 提 出 了一个 考虑 模糊集 合之 间 关系 , 并 且用 相关 系数 来刻 画这 种 关系 的程度 的新模 糊集 合理 论 ( 系统 )— ’C 一 模糊 集合 理 论 (系统 ) . 新理 论 (系统 ) 能克服 Z ad he 模糊 集合 理论 的三 个缺 点和 两个 错误 ; 能 正确地 描绘 客观 世 界 的全 部 模糊 现象 ; 有 补集 ; 隶属 度 有统 一 的计算 公式 ; 并且 是经 典 集合 系统 的 特例 , 能 满足 全部 经典 集合 的公 式 , 与正 常思 维 、 逻 辑和 概念 一致 . 关键 字 集合 ; 模糊 集合 ; Z ad he 模 糊 集合 理论 ; ’C 一 模 糊 集合 理论 分类 号 0 1 5 9 1 引 言 在本 文 中 , 一个 集 合 系统 、 集 合 子 系 统或 者 集合 理论 是指 由集 合及 其 关系 、 运 算 、 公式 、 定义 和 定理 构 成 的系 统 . L l Z a ds h 模 糊集 合 理论 Z a d e h 模糊 集 合理 论 的定义 〔l,2 , : 设 U 是一 个 经 典集 合 , 称 为全 集 , 令 u 表 示 其 元 素 . 模糊 子 集 A 定 义 为 : {( u 和( u ))} u 任 )U 其 中 , 脚(u) 为 u 隶 属 于 左 的隶 属度 ,角 (u) 是 一个 实 数 , 它满 足 0 ` 脚u( ) ` 1 . Z ad e 卜模糊 集 合 A 和 B 之 间 的关系 : A 二B (A 是 B 的 子集 , 即 B 包 含 )A 被 定义 为 : ( V u 任 功俩( u ) ` 召, ( u ) ) . A绍(集 合相 等 ) 的 定义 可 以 由A 旦 B 的 定义 推 出 : ( V u 任 功俩( u ) , 成u ) ) : Z ad e卜模 糊 集 合 的并集 ( u ) 、 交 集 (门 )和 补 集 ( , )操作 的隶属 度 分别 被 定义 为 : (V u 任 功俩 u如 )二ax 俩( u ) , # , ( u ) }) , ( V u 任 功伽 刁 n , ( u )=m i n {脚 ( u )声, ( u ) }) , ( V u 任 功伽、 ( u ) = l 一脚 ( u ) ) . 收稿 日期 : 2 0 5一7 一 12 修回 日期 : 20 05 刁9一1 基金项 目 : 国家 自然 科学 基金 (N 0 . G zJ RJ J 一 6 0 3 4 3 0 1 0 , G zJ 川J - 6 0 57 3 0 14 ) ; “ 97 3 ” 项 目困 o . 2 0 0 3 C B 3 17 0 0 7 ) ; 中 国科 学 院计算 技 术 研究 所创新 工程 基金 (N .0 2 0 0 5 6 51 0) 作 者简 介 : 高庆狮 ( 19 3 4一) , 男 , 博士 生导 师 , 中 国科学 院 院士 Z ad he 模 糊集 合 理 论不 能满 足 经 典集 合 的全 部 公 式 , 尤其 是 不 能满 足 A , u A= 口和 A , U A= 0 , 其 中 , 口 是 模糊 全 集 . Z ad he 的模糊 集 合 理论 是 经典 集 合理 论 的扩 充 . 如 果 限制 隶属 度 的值 为 { 0 , 1 } , 并且 当u 任 A 时 脚 u( =) 1 , 当u 磋A 时脚 (u) = 0 , 则模 糊集 合 理论 就成 为 经 典 集合 理 论 . 自从 19 65 年模 糊 集合 论 创 始人 Z ad he 提 出 模 糊集 合 理论 以来 , 40 年来 , 应 用上 有一 些发 展 , 但 是 也存 在着 一些 严重 的 问题 . 为 了使 模糊 集合 的理 论和 应 用更 好 发展 , 就 不 能 回避 , 或 者封 锁 压 制 , 或 者 采用 不 科 学 的 、 类似 于 天 文学 上 的本 轮 的 、 繁 琐 的方 法 去 处 理 系统 中存 在 的某 些 问 题 . 否 则 , 对 进 一 步 发展 是有 害 的 , 越来 越 繁琐 , 越 来越 不 符合人 们 正常 思维 , 这 对 模糊 集合应 用 的推广 十 分 有 害 . 1 . 2 Z ad he 模 糊 集合 理 论 的缺 点 ( 1)z ad he 模糊 集 合 理论 的缺 点之 一 Z a de h 的 模 糊 集 合 系统 存 在 着 不 能描 述 部 分 客 观世 界 模 糊 现象 的缺 点 . 例 1 ( 在 “ 不 相交 ” 的情 况 ) : 如果 17 岁隶属 于 青 年 的隶 属度 为湘 年 ( 17) 二 .0 6 , 隶属 于 少年 的隶属 度 为脚 年 ( 17) = .0 4 . 按 正 常思 维 , 青 少 年是 青年 和 少 年 的 并集 , 隶 属 于 这个 并 集 的隶 属度 应 该 是 海蟀( 17) = 1 :0 而 Z ad he 的模 糊 集 合理 论 却给 出 内 少年 ( 17) 二.0 6 的错误 结 果 . DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2005. 05. 032

·514 北京科技大学学报 2005年第5期 (2)Zadeh模糊集合理论的缺点之一的修补无 补集，导致与常规思维、逻辑和概念相悖 效.Zadeh模糊集合理论只好借助于不自然的、人 证明：参见表l.令H=AUBUC,有Vu∈U, 造的和难以解释的，诸如minu(u十μa(w),1}(粗 (u(u)1-(w),H包括C,但不是C的补集.Zadeh 体并)和max{04a(u十4()-I}(粗体交)来弥补. 模糊集合理论存在着错误， min{u(u十uaw),l}和max{0,(w)tμ(w-l}仅仅是 表1例3的补充 满足a,0)=a,G(a,0=0,Fa,1)=1,Ga,1)=a, Table 1 Table supplement of Ex.3 Fa,1-a=1,G(a,1-a)=0和0≤a,b,Fa,b),G(a,b)≤1 1.551.601.651.701.751.801.851.90以上 的Fa,b)及Ga,b)的解.但是它对“包含”（指A包 A 0.00.00.0 0.10.30.70.91.0 含B,或者B包含A)的情况，反而不正确了（参见 B 0.00.2 0.60.70.7 0.30.10.0 下例). C0.50.40.20.10.00.00.00.0 D0.50.40.20.10.00.00.00.0 例2（在“包含”的情况）：假设30岁是青年的 隶属度为02，是青少年的隶属度仍然是02，那么 Zadeh的模糊集合理论不可能存在补集，但 是青年和青少年的并集显然应该仍然是0.2，它 却错误定义了补集，导致不能满足AUA=Q和 却给出min{02+0.2,1}-0.4的错误结果. AnA=⑦.这意味着存在既不属于A又不属于一A 如果两个理论(Zadeh和粗体理论)合在一起 的子集，存在着既属于A又属于一A的子集.如果 使用，不仅难于解释，也不知道什么情况下应该 隶属度等于0.5，就出现A=A.与常规思维、逻辑 使用哪一个，事实证明，它仍然不能描绘客观世 和概念相悖. 界的全部情况. (2)Zadeh模糊集合理论的错误之二.Zadeh先 例3（在“相交而不包含”的情况）：设身高 生及其同僚，没有认真自我检查一下，把错误 1.7m隶属于A(高个子)B(中个子)人C(小个子)和 和缺点说成为“对传统的挑战”、“摆脱传统的约 D(矮个子)的隶属度分别为0.1,0.7,0.1和0.1.有 束-先进成果.结果误导人们误以为模糊集会 隶属于E(中高个子)和F(中小个子)的隶属度分 理论必然与常规思维、逻辑和概念相悖.这不仅 别为0.8和0.8.隶属于E和F的交集G=EnF和并 仅是“不容易讲清楚”的问题.而事实是模糊集 集H=EUF的隶属度应该是(1.7)=0.7和 合理论不需要与常规思维、逻辑和概念相悖.这 4Eu1.70.9. 点很容易证明，只要Zadeh先生去掉不存在的补 但是根据Zadeh的公式，它们是4ndl.7)F 集，就与常规思维、逻辑和概念不相悖了.新模糊 min{0.8,0.8}-0.8和4a(1.7)=max{0.8,0.8}=0.8,或者 集合理论本来就存在真正的补集，自然不与常规 补救算式（粗体交和粗体并），4n(1.7)-max{0.8+ 思维、逻辑相悖了， 0.80-1,0}=0.6和4eur(1.7)-min{0.8+0.8,1}=1,都不 正确！ 2一个新模糊集合理论：C一模糊 (3)Zadeh模糊集合理论的缺点之二.Zadeh模 集合理论(U,X4) 糊集合理论不可能存在补集，系统不完备！证明 参考第3.4节. 重要约定：当2是实数区间[a,b],或者(a,b), (4)Zadeh模糊集合理论的缺点之三.由于 或者[a,b),或者(a,b]的所有实数构成的实数集合 Zadch及其同僚没有认真承认缺点，克服缺点，而 时，在本文中两个集合或者模糊集合之间的“关 是采用没有统一理论指导的“算子”拼盘来掩盖 系”都是指“本质关系”，其中，集合包括集合片， 缺点，使得缺乏科学性更加严重.结果不仅缺点 模糊集合包括模糊集合片，关系包括不相交、包 没有克服，反而增加一个缺点：系统混乱，缺乏统 含、相交而不包含等关系.本质关系包括“本质不 一科学基础，不清楚什么时候需要使用什么算 相交”、“本质包含”、“本质相交而不包含”等关 子.例如，使用者不知道什么时候该用Zadeh的并 系.“本质不相交”指相交部分的Lebesgue测度 集，什么时候该用粗体并集.因为Zadh模糊集合 (或者隶属度)为0，“本质包含”指不包含部分的 理论没有考虑模糊集合之间的关系. Lebesgue测度（或者隶属度）为0，“本质相交而不 1.3 Zadeh模糊集合理论的错误 包含”指相交部分、A不包含B的部分及B不包含 (I)Zadeh模糊集合理论的错误之一.Zadeh的 A的部分的Lebesgue测度（或者隶属度）都是大于 模糊集合理论不可能存在补集，但却错误定义了 0.Lebesgue测度为0的部分，其对应的隶属度均

. 5 1 4 . 北 京 科 技 大 学 学 报 2 0 0 5 年 第 5 期 补 集 , 导致 与 常规 思 维 、 逻 辑 和概 念 相 悖 . 证 明 : 参 见表 1 . 令分训 u B u C, 有 V u任 ,U 伽成u ) = l 一产如 )) , H包 括 C , 但 不是 C 的补 集 . Z ad e h 模 糊 集合 理 论 存在 着 错 误 . 表 1 例 3 的补 充 aT b l e 1 aT b l e s u P P l e m e . t o f E .x 3 5 5 1 . 6 0 1 . 6 5 7 0 1 . 7 5 8 0 1 . 8 5 1 . 9 0 以 上 9 0n1 o0n ` 10 八U O0 , 甘Cn 凡了J 0no 0 八U 内ù勺、 . 0 八U00 1 1 ūz ` l ,卫 0 n0o 024 0 026 0 ù、JI ABDC 0 (2 ) Z ad he 模 糊 集合 理论 的缺 点之 一 的修补 无 效 . Z ad he 模 糊集 合理 论 只好 借助 于 不 自然 的 、 人 造 的和难 以解 释 的 `, , , 诸 如 m i n ha ( u )切 , ( u ) , l } (粗 体并 ) 和 m ax { 0莎( u )切 B ( u卜 l }(粗 体 交 ) `, , 来 弥补 . m i n俩 ( u )切 , ( u ) , l } 和 m ax { 0和( u )切成u 卜 l } 仅 仅 是 满足 (F a , 0 ) = a , G ( a , 0 ) = 0 , 爪 a , l ) = l , 以 a , l ) = a , (F a , l 一 a ) = l , G ( a , l 一 a ) = 0 和 0 ` a , b , (F a , b ) , G ( a , b ) ` l 的(F a, b) 及 G a( , b) 的解 . 但 是它 对 “ 包 含 ” ( 指 A 包 含 B , 或 者 B 包 含 )A 的情 况 , 反而 不 正确 了 (参 见 下例 ) . 例 2 (在 “ 包 含 ” 的情 况 ) : 假 设 30 岁 是青 年 的 隶属度 为 .0 2 , 是青少 年 的隶 属度 仍然 是 .0 2 , 那 么 是 青 年和 青 少年 的并集 显 然 应 该仍 然 是 .0 2 , 它 却 给 出 m i n { 0 . 2 + 0 . 2 , l } = 0 . 4 的错 误 结 果 . 如 果 两个 理论 (z ad he 和粗 体 理 论 )合 在 一起 使 用 , 不仅 难 于解 释 , 也不 知道 什 么 情 况 下 应 该 使 用 哪一 个 . 事 实证 明 , 它 仍然 不 能 描 绘客 观世 界 的全 部 情况 . 例 3 (在 “ 相交 而 不包 含 ” 的情 况 ) : 设 身 高 1 . 7 m 隶 属 于 A (高 个 子 ) 、 B ( 中个 子 ) 、 (C 小 个 子 )和 D ( 矮个 子 ) 的隶 属度 分 别 为 0 . 1 , .0 7 , 0 . 1 和 0 . 1 . 有 隶 属 于 E ( 中 高个 子 ) 和 F ( 中小个 子 ) 的隶 属度 分 别 为 0 . 8 和 0 . 8 . 隶属 于 E 和 F 的交集 G = E n F 和并 集月卜五U F 的 隶 属 度 应 该 是脚试 1 . 7) = .0 7 和 产E u式1 . 7 ) = 0 . 9 . 但 是 根 据 Z a d e h 的 公 式 , 它 们 是产E n 成1 . 7 ) = m i n { 0 . 8 , 0 . 8 } = 0 . 8 和召E u 成1 . 7 )=tn ax { 0 . 8 , 0 . 8 } = 0 . 8 , 或者 补 救 算式 (粗 体 交 和 粗 体 并 ) , 脚 n式1 . 7 )二ax { .0 8十 0 . 8 0 一 1 , 0 } = 0 . 6 和产: u成1 . 7 )=m i n { 0 . 8 + 0 . 8 , l } = l , 都不 正确 ! (3 )Z ad he 模 糊集 合 理 论 的缺 点之 二 . Z ad he 模 糊集 合理 论不 可 能存 在补 集 , 系 统不完 备 ! 证 明 参考 第 3 . 4 节 . (4 ) Z ad he 模 糊 集 合 理 论 的缺 点 之 三 . 由于 Z ad e h及 其 同僚 没有 认 真承 认缺 点 , 克 服缺 点 , 而 是采 用 没有 统 一理 论 指 导 的 “ 算 子 ” 拼 盘来 掩 盖 缺 点 , 使得 缺 乏科 学 性 更加 严 重 . 结果 不仅 缺 点 没有 克服 , 反 而增 加一 个缺 点 : 系 统混 乱 , 缺乏 统 一科 学 基 础 , 不清 楚什 么 时 候 需 要使 用 什 么 算 子 . 例 如 , 使 用者 不知 道什 么 时候 该用 Z ad he 的并 集 , 什 么 时候 该用 粗体 并集 . 因为 Z a de h 模 糊集 合 理 论 没有 考 虑模 糊 集 合之 间 的关系 . 1 . 3 Z ad e h 模糊 集 合理 论 的 错误 ( l) Z ad he 模糊 集合 理论 的错 误 之一 Z ad he 的 模 糊集 合 理论 不可 能 存在 补集 , 但 却错 误 定义 了 Z ad he 的模 糊 集合 理 论 不可 能 存在 补 集 , 但 却 错 误 定 义 了补 集 , 导致 不 能 满 足 A u 叨= 口 和 A n 沮= 0 . 这 意味 着存 在 既 不 属于 A 又 不 属 于沮 的 子集 , 存 在 着 既属 于 A 又 属 于喇 的 子集 . 如 果 隶 属度 等 于 .0 5 , 就 出现 A = 喇 . 与 常规 思维 、 逻 辑 和 概念 相 悖 . (2 ) Z ad he 模糊 集 合 理论 的错 误之 二 . Z ad he 先 生 及 其 同僚 , 没 有 认 真 自我检 查一 下 , 把 错 误 和 缺 点说 成 为 “ 对 传 统 的挑 战 ” 、 “ 摆 脱传 统 的约 束 ” 2[ 一序 〕先 进成 果 . 结果误 导 人们 误 以为模 糊集 会 理 论必 然 与常 规 思 维 、 逻 辑 和概 念 相 悖 . 这 不 仅 仅 是 “ 不容 易 讲清 楚川2] 的 问题 . 而 事实 是 模糊 集 合 理论 不 需要 与 常 规 思维 、 逻辑 和 概 念相 悖 . 这 点 很容 易证 明 , 只 要 Z a de h 先 生去 掉 不存 在 的补 集 , 就 与常规 思 维 、 逻辑 和 概念 不相 悖 了 . 新模 糊 集合 理论 本 来就 存在 真 正 的补集 , 自然 不 与常 规 思 维 、 逻 辑相 悖 了 . 2 一 个 新 模糊 集合理 论 : *C 一 模糊 集合理 论 (口户导才 ) 重 要 约定 : 当口 是实 数 区 间 a[ , b] , 或者 a( , b) , 或 者 a[ ,b ) , 或 者 a( ,b」的所 有 实数 构成 的实 数集 合 时 , 在 本文 中两个 集 合 或者 模 糊集 合 之 间的 “ 关 系 ” 都 是指 “ 本质 关 系 ” . 其 中 , 集 合包 括 集 合 片 , 模 糊集 合 包 括模 糊 集 合 片 , 关 系包 括 不 相 交 、 包 含 、 相 交而 不 包含 等关 系 . 本质 关 系包 括 “ 本质 不 相 交 ” 、 “ 本质 包 含 ” 、 “ 本质 相 交 而 不包 含 ” 等 关 系 . “ 本 质 不相 交 ” 指 相 交 部 分 的 L eb es g ue 测 度 (或 者 隶属 度 ) 为 0 , “ 本质 包 含 ” 指不 包 含 部分 的 L e b es g u e 测度 (或 者 隶属 度 ) 为 0 , “ 本 质 相 交而 不 包 含 ” 指 相 交部 分 、 A 不包 含 B 的部 分及 B 不包 含 A 的部 分 的 L eb es gu e 测 度 ( 或者 隶属 度 ) 都 是大 于 0 . L eb es g ue 测 度 为 0 的部分 , 其对 应 的隶 属度 均

Vol.27 No.5 高庆狮：Zadeh模糊集合理论的缺陷及其改进：C-模糊集合理论 ·515◆ 为0.Lebesgue测度大于0的部分，其对应的隶属 定义3C-模糊集合片A(w)与B(a)之间的关 度均大于0 系：A(u)sB(u)(B'(w)包含A(w)被定义为5(u=1; 2.1例子 A(w与B(W相互包含被定义为5a(小-1或 (1)U是一维 5s(w1;A(w)与B(W不相交被定义为(u0.从 例4U={1,2,…,}岁是年龄集，X={老年，中年， 而有： 青年，少年，幼年}是老少程度.令“年龄4隶属于 “A(与B(W)相交而不包含”可以被定义为 老少程度x”的隶属度为4a(u).其C-模糊集合理 0<5s(w)K1且0(w)水1；相交为0<a(w:不包含 论的隶属度分布{u.(w)reX}满足∑4(u-l. 为wa(w水l:A(uFB'(w)充分必要条件是(u=1 例5U={0.4,,1.5,1.6,1.7,…}m是高度集，X= 且wn(uFl. {特高，高，中，小，矮}是高矮程度.令“高度为4隶 C-模糊集合A与B之间的关系类似：A=B 属于高矮程度x”的隶属度为(u).其C-模 (B包含A)被定义为Vu∈U,(G(w1). 糊集合理论的隶属度分布{ua(uxeX)满足 A与B非一致包含被定义为廿u∈U,(A'(w)sB Σ4a(w=1. (）或B^(u)sA^(u》,也就是廿u∈U,(《(=1或 (2)U可以是多维的U=U×U×…, 5a(w)=1). 例4”U,={1,2,,}岁是年龄集，0={10,20，…} A与B不相交被定义为Hu∈U,(G(u)O). 年前，X={老年，中年，青年，少年，幼年}是老少程 从而有： 度.“年龄u隶属于老少程度x的隶属度为(u)” A与B处处相交且处处不包含，被定义为 可以改为“年龄4在4，年前隶属于老少程度x的 廿u∈U,(0<ξs(W)水1且0<(u)I);相交为0<5： 隶属度为4a(,)”,其C-模糊集合理论的隶属 不包含为5s(水l;A'=B充分必要条件是u∈U, 度分布{4(u,)r'∈X}满足∑a(h,l. (A^(w)sB'(w且B'(w)sA'(u),也就是Hu∈U,(5(wF 例5’U={0.4,,1.5,1.6,17,…}m是高度集， 1且w(ul). U2={a,b…}地区，U={10,20,…}年前，X={特高， 定义4C-模糊集合片A'(u)(u(w)与B() 高，中，小，矮}是高矮程度.“高度为4隶属于高矮 =(u,(w》之间的运算： 程度x的隶属度为4(W”可以改为“高度为在 交运算：A(w)nB'(u)被定义为(u,4nu),其 地区，在年前隶属于高矮程度x的隶属度为 中4un(W是u隶属于AnB的隶属度， (4,山，4)”.其C-模糊集合理论的隶属度分布 并运算：A(uUB^()被定义为(u4u(),其中 {4s(4,4,4x'eX}满足∑4a(4,,4上l. Ha()是u隶属于AUB的隶属度. 2.2基于三维模型(U,X)的C-模糊集合理论 共轭运算：如果A,B满足寸u∈U,u(w)计() 定义1C-模糊集合理论(U,X4)为：假设U =l),则称A,B共轭.记A=⊙B,B-OA.⊙A(W)被定义 和2是经典集合，U是论域，4是U的元素，X是2 为(ue(u),其中e(u)是4隶属于⊙A的隶属度. 的全体子集的集合，显然，X也是经典集合.A= 补（反）运算：一A(w)被定义为(u44(u),其中 {(u(a训u∈U)是C-模糊集合，其中，A∈Xμ() 4(是4隶属于A的隶属度. 是u隶属于A的隶属度，满足0≤μ(w)≤1,4e()-O, C一模糊集合A与B之间的运算类似： 4(l,及μuau)Hu+4-nb(）. 交运算：A'nB被定义为{(u4uns(u)u∈U,其 A'=(u()被称为C-模糊集合片，其中， 中4n()是u隶属于AnB的隶属度， w∈U,A∈X, 并运算：A'UB被定义为{(u,(u)u∈U,其 X”是Q的一划分，是X的特殊的、有穷的子 中μ(d)是4隶属于AUB的隶属度 集，其中所有元素x相互不相交，而且满足 共轭运算：⊙A被定义为{(u4a(W)川u∈U),其 Ux-=2和∑4(u)-1. 中4a(w)是u隶属于⊙A的隶属度. 定义2在C-模糊集合理论中，5a吕 补（反）运算：A被定义为{(u(u)训u∈U),其 被定义为C-模糊集合A对于C-模糊集合B在 中4-(w)是u隶属于A的隶属度. 4上的相关系数.从而满足5(u)-l,e(u小0， 显然，有 Go(uF1和0≤5(w)≤1，其中，(u)+0,u∈U,A∈X, 廿u∈U,(uun)=μ(u)×(,(从定义2). 且B∈X.以及4u)=(计μa(w)×5ws(u).(从定义1 廿ueU,u(w=μ(u)+μa(×G4s(w),(从定义2). 得到.) u∈U,(u(aHua(u-1),(从共轭定义)

V匕】 . 27 N o . 5 高庆 狮 : Z a ed h 模 糊集 合理 论 的缺 陷及其 改进 : ’C 一 模糊 集合 理论 一 5 1 5 . 为 0 . L e b se g u e 测度 大 于 O 的部 分 , 其 对 应 的隶 属 度 均 大 于 0 . .2 1 例 子 ( l) U 是一 维 . 例 4 =U { 1 , 2 , … , }岁 是 年龄 集 ,厂= {老 年 , 中年 , 青 年 , 少 年 , 幼 年 } 是 老 少程 度 . 令 “ 年 龄 u 隶 属 于 老 少程度户 , 的隶 属度 为脚 (u) . 其 ’C 一 模 糊集 合 理 论 的隶属 度 分 布 伽 ` (ul) xs 任Xt }满 足 凡必 $ ( u) =l . 例 S =U { 0 . 4 , … , 1 . 5 , 1 . 6 , 1 . 7 , … }m 是 高度 集 ,厂= {特 高 , 高 , 中 , 小 , 矮 } 是 高矮 程 度 . 令 “ 高度 为 u 隶 属 于 高 矮 程 度广 ” 的隶属 度 为 内(u) . 其 C 一 模 糊 集 合 理 论 的 隶 属 度 分 布 切试u)l 广任 尸} 满 足 艺 x 物( u ) = 1 . (2 ) U 可 以是 多 维 的 =U 以 x 队 ` · … 例 4 ’ 以 = { 1 , 2 , … , } 岁 是年 龄 集 , 认= { 10, 20 , … } 年 前 , 厂= {老 年 , 中年 , 青 年 , 少 年 , 幼 年 } 是老 少 程 度 . “ 年 龄 u 隶 属 于老 少 程度广的 隶属 度 为内 (u) ” 可 以改 为 “ 年 龄 u l 在 u Z年前 隶 属 于老 少程 度’x 的 隶属 度 为炜 : (uz ,uz ) ” . 其 ’C 一 模 糊集 合 理论 的隶 属 度 分 布 俩 ( u . , u Z取 , 任 尸 } 满 足 艺解 ` ( u t , u Z卜1 . 例 5 ’ 以 = { .0 4 , … , 1 . 5 , 1 . 6 , 1 , 7 , … }m 是 高度 集 , 队 = { a, b , … } 地 区 , 认= { 10, 20 , … } 年 前 , 矛={ 特 高 , 高 , 中 , 小 , 矮 } 是高 矮 程度 . “ 高度 为 u 隶属 于 高 矮 程 度广的隶属 度 为脚( u) ” 可 以改 为 “ 高度 为 u 、在姚 地 区 , 在 u 3年 前 隶 属 于 高 矮 程 度 尹 的隶 属 度 为 内u(, ,uz ,us ) ” . 其 *C 一 模糊 集 合 理 论 的隶属 度 分 布 恤 : ( u , , u Z , u 3 )I扩任厂 } 满 足 艺 x沼 x : ( u l , u Z , u 3 ) 二 1 . .2 2 基 于 三 维 模型 (认均 才 ) 的口 一 模糊 集 合理 论 定 义 1 C’ 一 模 糊集 合 理 论 ( U J 护沼 ) 为 : 假 设 U 和 口是 经 典 集 合 , U 是 论 域 , u 是 U 的元 素 . 万是口 的全 体 子 集 的 集合 . 显然 , X 也 是 经 典 集 合 . ’A = {( u 两 ( u )) , u任 }U 是 C ` 一 模 糊 集 合 , 其 中月任戈产, ( u ) 是 u 隶 属于 A 的 隶属 度 , 满 足 0 ` 脚 (u) ` 1 , 产。 (u) = 0 , 产。 ( u ) = l , 及户, u B ( u )刁` ( u )切、 n 式u ) . ’A = (u 两 (u ) 被 称 为’C 一 模 糊 集 合 片 , 其 中 , u 任 U, A任 .X 丫 是口 的一 划 分 , 是 X 的特殊 的 、 有 穷 的子 集 , 其 中所 有 元 素对 相 互 不 相 交 , 而 且 满 足 u 才= 口 和 艺两式u) 二 1 . 定 义 : 在。 一 模糊 集 合理 论 中 , 械u) 粤尸刁 半 火黔“ 少 被 定义 为 c ’ 一 模糊 集 合’A 对 于 ’C 一 模糊集 合B’ 在 u 上 的 相 关 系 数 . 从 而 满 足 氯(u) 月 ,品试u) = 0, 标 (u =) 1和 0` 氛 (u ) ` 1 , 其 中 , 脚(u) 羊 0 , u 任 U , A 任X, 且 B任 .X 以及户, u (B u ) , , ( u )切 , ( u ) x 如 旧 ( u ) . (从 定义 l 得 到 . ) 定 义 3 ’C 一 模糊 集合 片’A (u) 与’B (u) 之 间 的关 系 : A知)二 B ’ ( u ) (B ’ ( u )包含 A ` ( u ) ) 被 定义 为氛( u ) = l ; ’A (u) 与’B ( u) 相 互 包 含 被 定 义 为氛(u) 司 或 知( u ) = 1 ; A ’ ( u ) 与 B ’ ( u )不 相 交被 定 义 为氛( u ) = 0 . 从 而 有 : ’,A ,( u) 与 ’B (u) 相 交 而 不包 含 ” 可 以被 定 义 为 0 <二旧 ( u ) < l且 0福晶 “ ( u ) < 1 ; 相 交 为 0嘴 刁 ,(B u ) ; 不 包含 为 么B/ ( u ) < l ; A ’ ( u )绍 ` ( u )充 分 必 要 条 件 是 BCA/ ( u ) = 1 且 知 (u )=l . C ’ 一 模 糊集 合’A与 ’B 之 间 的关 系类似 : ’A 二 ’B (B ’ 包含 *A ) 被 定义 为 V “ 任 ,U (氛 (u ) = 1) . A ’ 与’B 非 一致 包 含 被定 义 为 V u任 ,U (A ,( u) g ’B ( u ) 或 B ’ ( u ) g A ’ ( u ) ) , 也 就 是 V u 任 以 (知( u ) = l 或 氛式u ) = l ) . A ’ 与’B 不 相 交被 定 义 为 V “ 任 U, 嵘 阴 (u) 二 0) . 从 而有 : *A 与’B 处 处 相 交 且 处 处 不 包 含 , 被 定 义 为 V u 任 以 ( 0嘴 心刀 ( u ) < 1 且 0 < 晶 “ ( u ) < l ) : 相 交 为 O嘴 刁B/ ( u ) ; 不 包 含 为么试u) l< ; 才=B ’ 充 分 必 要 条 件 是 V u 任 U, (A ’ ( u ) g B ’ ( u ) 且 B ’ ( u ) g A ’ ( u )) , 也 就 是 V u 任 U, (氛 ( u ) = l且二B/ ( u ) “ l ) . 定 义 4 C ’ 一 模 糊集 合 片 A ’ ( u ) = ( u和 ( u ))与 B ’ ( u ) = ( u声 B ( u ) )之 间 的运 算 : 交 运算 : A ’ ( u ) n B ’ (u) 被 定义 为 ( u和 n , ( u )) , 其 中两朋 (u) 是 u 隶 属 于A n B 的隶属 度 . 并运 算 : A ’ ( u ) u B ’ ( u )被定 义 为 ( u 两 u , ( u )) , 其 中 脚叨 (u ) 是 u 隶属 于 A U B 的隶 属 度 . 共 扼运 算 : 如 果A , B 满 足 V u 任 U, 恤 (u )切 刀 (u) = l) , 则 称A , B 共 扼 . 记A = O B , B = O 」 . 0 注*( u) 被 定义 为 (u 声 , (u) ) , 其 中ha (u) 是 u 隶属 于 侧的 隶属 度 . 补 ( 反 ) 运 算 : 喇( u )被 定义 为 ( u 声、 ( u )) , 其 中 产、 (u )是 u 隶属 于喇 的隶属 度 . ’C 一 模 糊 集合’A 与’B 之 间 的运 算类似 : 交运 算 : A ` n B ’ 被 定 义 为 {( u 声 , n , ( u ))} u 任 }U , 其 中沁 n B( u) 是 u 隶 属 于A n B 的隶属 度 . 并运 算 : A ’ u B ’ 被定 义 为 {( u 和 。 , ( u ))! u 任 }U , 其 中产、 成u) 是 u 隶 属 于A U B 的隶 属度 . 共扼 运 算 : 翩 ’ 被 定义 为 {u( 声eA (u) )} u 任 }U , 其 中产, (u) 是 u 隶 属 于 0 通的隶 属度 . 补 (反 )运算 : 明 ’ 被 定义 为 {( u声 、 ( u ) )} u 任 }U , 其 中刀、 (u) 是 “ 隶属 于明 的隶属 度 . 显然 , 有 V u 任 以 俩 。 , ( u )习翻 (u) ` 二心 ( u )) , (从 定义 2 ) , V u 任 U, 伽 , u , ( u )刊 , ( u )切 , ( u ) x 氛 , ( u ) ) , (从定义 2 ) . V u 任 U, 俩 ( u )切 , ( u ) = 1) , ( 从共 扼 定义 )

516. 北京科技大学学报 2005年第5期 u∈U,u(utμ-(w)=l和5ad(w0),(因为μ(u+ 定义3得(4)：因为u∈U, 4-(w)斤μ(uHμ-4m()u(uFu(4=l,5a(F 长nr0-I所以VaeU, Handu) 4An4(u)μ(w斤uo(w)μ(u-O). u)tim(u)uuudu 23C-模糊集合理论满足全部经典集合的运算 a04(a 4(u) 公式 )4x4unl4份t@-,则（）⑤成 4(u) ( 定理1C一模糊集合理论中，C-模糊集合 立 (4)之间，或者C-模糊集合片(A'()之间所有经 2,5C-模糊集合运算的隶属度的计算 典集合的关系和运算存在而且满足全部经典集 定理3C-模糊集合理论中，有4()小 合的公式和定理，包括AU一A'=2和A∩一A'=⑦. 1一4(u),而且4u(w)和4a(w)在不同情况下的计 证明因为X是经典集合，所以所有的经典 算如表3所示. 集合的关系和运算都存在，所有的经典集合的 证明从定义可以得到4《4F1一4(). 运算公式和定理都成立，如果FA1,A,,A)上 “统一算法”从定理1、定理2和定义4得到. GA,A2,,A),其中F和G是由经典集合运算构 VuEU,(uadu)=uo(u)=uau)xdu)=udu)xEd(u)= 成的经典集合运算函数，那么F(Ai,A,,A上 4a(u)×(1-5a4(wudu)×(1-5ws(u)=4(w）-u,(u)x {(u,4he()lu∈U}={(u,(u)lu∈U}= 5a(u广μa(u)μn(u）×5-weu). G4i,A,,A). (1(4)从定理2和定理3的统一算法得到. 例如， 2.6C-模糊集合理论的两个重要定理 (1)A'OB'=BOA,A'UB'=B'UA'. 定理4对任意C一模糊集合 (2)40(BOC)=(4OB)0C, A'={(u,u(w)lu∈U和B={(u,adu)lu∈U, A'U(B'UC)=(A'UB)UC. 其中，0≤μ(u)(u）≤1，有： (3)A'∩A'=A',AUA=A". (I)Hu∈U,u(uF4ana(wtμan-(u)和廿u∈U, (4)An(BUC)=(4'0B)U(A'nC), ((u)(u)tuo(u)). A'UB∩C)=(AUB)∩(A'UC). (2)Hu∈U,Lau)十44n(utμndu）tμndw)=l). (5)AnO=0,AU☑=A'. (3)Hu∈U,(uwa(Hμanw)=μ，(utμs(u). (6)A'OQ=A',A'UQ=Q. 证明 (7)AO(A'UB)=A,AU(OB)=4'. (I)因为廿u∈U,(5nsn-(F (8)（A)=A. unn(alμan-(w)Fμe(u)Mμun-s(u)=0), (9)AnA'=☑，A'UA'=2. 所以，u∈U,(u4 Munu-a(u=4uns(十un-su). (10)(-40-B)(AOB)=(-4UB)0(4'U-B). 类似有：寸u∈U,(a(u)A(u十μ-wna(u) (11)(-A0B)U(AO-B)=(-4U-B)0(4'UB). (2)从(1)有：u∈U,uans()+4una(u)+u-wna(u+ (12)-(40B)=4U-B,-(4'VB)=A0-B'. 4dns(u=μ(u十4-(wFuo(w)卢l). 这里，A',B,C是C-模糊集合或者C-模糊集合片， (3)从A∩B和A'UB的定义及定理2的(5)： 2.4C-模糊集合理论的相关系数5a(w),5w(u), 廿u∈U,(una(uu(wFu(）×5a(aH4s(u）tu(w)x 5(u)和5wW）的计算 5a(w广u(tua（). 定理2C-模糊集合的相关系数的计算如表 定理5对任意C-模糊集合 2所示， A={(u,(w)川u∈U}和B={(u,4a(u)u∈U,其中， 证明从定义3，得到(1)和(2)：从(2)得(3)；从 0≤(w,4(w)≤l,有： 表2在C一模糊集合理论中，相关系数(，5ad(u,(u)和5w(w)的计算 Table 2 Calculation of correlation coefficients u),),u)and (u)in C'-fuzzy set 条件 u∈U,(5du）=μanuμ() Vu∈U,(5()4sd)Mu(w) (1)A与B不相交 t∈U,(5ad)=O) 寸u∈U,(Ew=O) (2)AsB(B包含A) ueU,(Esw=u(uμdu) 寸u∈U,(G(u小-1) (3)A=BASB和BSA) u∈U,(Ew=1) Hu∈U,(G(uFl) (4)A,B处处相交且处处不包含 u∈U,(0<5 au)-pardu)试wKI) 寸u∈U,(0<Es(w)=μn(uμ(1) (5Ksu和5sdw） VuEU,(Eodu)+Ew(u)-1) Hu∈U.5An）+5(ul)

一 5 1 6 - 北 京 科 技 大 学 学 报 2 0 05 年 第 5 期 V u 任 U, 俩 ( u )切。 ( u ) = l和氛 月 ( u ) = 0 ) , (因 为脚 ( u ) + 户、 ( u )习翔 ( u )切 、 n 、 ( u )刁` 。 、 ( u ) , 。 ( u ) = l , 氛 、 ( u ) = 脚 n 、 ( u )m/ ( u ) , 。 ( u )加 月 ( u ) = o ) . .2 3 *C 一 模 糊集 合 理论 满 足 全 部经 典 集合 的运算 公 式 定理 I *C 一 模糊 集 合 理 论 中 , ’C 一 模 糊集 合 (A *) 之 间 , 或 者’C 一 模糊 集 合 片 (A ,( u) )之 间所 有经 典集 合 的关 系 和 运 算存 在 而 且 满 足 全 部经 典集 合 的公 式和 定理 , 包 括 A ’ u 喇 ’ = 。 和’A n 叨=, 0 . 证 明 因为 X 是经 典 集合 , 所 以所 有 的经 典 集 合 的关 系 和 运 算 都存 在 , 所 有 的 经 典集 合 的 运 算 公 式 和 定 理 都 成 立 . 如 果月刁 1月’z, 二 月 J = G (A ,月 2 , … 刁办 , 其 中 F 和 G 是 由经典 集 合运 算 构 成 的 经 典 集 合 运 算 函 数 , 那 么 月刁;月二 , … 月二=) {(u 产。 油 洲J (u )l u 任 }U = {(u 声、 满 砌(u) )lu 任 }U = G (A ;月夏 , ` 一 界办 . 例 如 , ( l) A ’ n ’B =B ’ 门A ’ , A ’ u B 中 绍 ’ u A ’ . ( 2 ) A ’ n (B ’ n C ’ ) = (A ’ 自B ’ ) n C ’ , A ` u 伍 ’ u *C ) 二(A ’ u B’ ) u *C . ( 3 ) A ’ n A ` 钊 ` , A ` 口 A ’钊 ’ . ( 4 ) A ’ n (B ’ 日 C ’ ) = (A ’ n B ’ ) u (A ’ n C ’ ) , A ’ u (了 n C ` ) = (A ` 口 B ’ ) n 扭 ’ u C ’ ) . (5 ) A ’ n o = 0 , A ’ u o =A ’ . (6 ) ’A n 幻卜 A ` , *A u 口二 口 . ( 7) A ’ n (A ’ 口B ’ )=A ’ , A ’ 口 (A ’ n B ’ )=A ’ . ( 8 ) , (叨 ’ )=A ’ . (9 ) A ’ n 喇 ’ 二 O , A ’ u 侧 ’ 二口 . ( 10 ) (喇 ’ n 沼 ’ ) 口(A ’ n B ’ ) = (明 ’ u B ` ) n (A ’ u 沼 ’ ) . ( 11 ) (喇 ’ n B ’ ) u 扭 ’ n 沼 ’ ) = (喇 ’ u 沼 ’ ) n (A ’ u B ’ ) . ( 12 ) , (A ` n B ` ) 二 , 月 ’ u 沼 ’ , , 扭 ’ u B ’ ) = 沮 ’ n 沼 ’ . 这里 , ’A 刀 ’ , ’C 是’C 一 模糊集 合或者*C 一 模糊集合片 . 2.4 ’C 一 模 糊 集 合 理 论 的 相 关 系数 氛(u) , 么lB (u) , 氛 “ ( u ) 和如 lB ( u ) 的 计算 定理 2 ’C 一 模糊 集 合 的相关 系 数 的计算 如表 2 所 示 . 证 明 从 定 义 3 , 得 到 ( l )和 ( 2 ) : 从 ( 2 )得 ( 3) : 从 定 义 3 得 ( 4 ) ; 因 为 V u 任 U , 沁 ( u ) 脚( u ) 1 ) , 贝” ( , , 成 立 . .2 5 *C 一 模糊 集 合 运 算的隶 属 度 的计 算 定 理 3 ’C 一 模 糊 集 合 理 论 中 , 有产、 (u) = l 一 脚( u ) , 而且沁 u B ( u )和 召, 。 , ( u ) 在 不 同情 况下 的 计 算如 表 3 所 示 . 证 明 从 定义 可 以得 到产、 (u) 习 一 脚( u) . “ 统 一算 法 ” 从 定 理 1 、 定理 2 和 定义 4 得 到 . V u 任 U , 俩 n , ( u ) , B n, ( u )习` ( u ) x 知( u ) = 召如) x 么扭 ( u ) = 脚 ( u ) x ( l 一 品 阴 ( u )) , 。 ( u ) x ( l 一 如试u ) ) = 产, ( u ) 一脚 ( u ) “ 执 胡 ( u ) , , ( u 加 , ( u ) x 氛 , ( u )) . ( l) 一 (4 )从 定 理 2 和 定理 3 的统 一算 法 得 到 . .2 6 *C 一 模 糊 集 合理 论 的 两 个 重 要 定理 定 理 4 对任 意 *C 一 模 糊 集 合 A ’ = {( u 和 ( u )) l u 任 }U 和刀 ` = {( u 声 , ( u ) ) l u 任 }U , 其 中 , 0 匀` ( u )声B ( u ) ` l , 有 : ( l ) V u 任 U, 切 , ( u )习` n B ( u )勺翔。 沼 ( u )) 和 V u 任 U, 伽 e ( u )刊 , n B ( u )切、 n 成u )) . ( 2) V u 任 U, 俩 n , ( u )勺` 。 沼 ( u )切、 n 。 ( u )切、 n , ( u ) = l ) . ( 3 )V u 任 认 俩 u , ( u )勺` n , ( u )节 , ( u )切 , ( u )) . 证 明 ( l ) 因 为 V u 任 U, (么 n , 。 n , , ( u ) = 产(刁。 B ) n。 。 * ( u )怀 。 , ( u ) , 。 ( u )帆 n , ( u ) = 0 ) , 所 以 , V u 任 U, 伽 月 ( u ) , 。 n )B u。 。 , ( u )习翻 门 , ( u )切 月n 、 ( u )) . 类 似 有 : V u 任 U, 伽 s ( u脚` n , ( u )切、 n a ( u ) ) ( 2 ) 从 ( l ) 有 : V u 任 以俩 。 , ( u )切 , n 沼 ( u )切、 。 , ( u ) + 召、 。 j ( u ) , , ( u )切、 ( u ) , 。 ( u ) = l ) . (3 ) 从 ’ A n ’B 和 ’A u ’B 的定 义及 定理 2 的 (5) : V u任 ,U 俩 n , ( u )勺` u , ( u ) , 月 ( u ) x氛 ( u )切 a ( u )勺翻 ( u ) x 吞 。 。 ( u )甲 , ( u )切 。 ( u )) . 定 理 5 对任 意 ’C 一 模 糊 集 合 A ’ = {( u 沁( u ) )I u 任 }U 和 B ` = {( u 声。 ( u ))J u 任 }U , 其 中 , 0 ` 脚( u ) , 声, ( u ) ` l , 有 : 表 2 在 C’ 一 模糊 集合 理论 中 , 相关 系数氛 (u) ,知( u) , 吞 拼 , ( u) 和 如试u) 的计 算 aT b l e 2 C a l e u 址 U o n o f e o r 旧 a 幼o n c o e 价 e i e n st 氛( u ) , 氛 s ( u ) , 吞阳 ( u ) a n d 吞 心旧 ( u ) i n C ` 一 fu z yZ s e t 条 件 ( l )A 与 B 不相交 (2 ) 月` B (B 包含 月) (3 )A =B (A g B 和 B 二月) (4 ) 式 B 处处 相交 且处 处不 包含 ( 5 )吞胡( u )和如 。 ( u ) V 。 任 U, 佑 ,a( u) 习` 试 u ~)/ u( ) V “ 任 U, (古们 ( u ) 二 0 ) V u 任 U, (么认 u ) , , ( u )p/ B ( u )) V u 任 U, (二旧 ( u ) = l ) V u 任 U, (o喝 阴 ( u )刁 如 n , ( u )P/ a ( u ) < l ) V u 任 U, (寸 沁 B ( u )弋 口试 u ) = 1) V u 任 以 (氛 ( u )习 ` u式u )l/ ` ( u )) V 。 任 认 (条 “ ( 。 )钩 ) V u 任 U, (氛 ( u卜 l ) V u e 认 《晶 “ ( u ) = 1) V u 任 U, ( 0 <二 阴 ( u )刁` n a ( u )如 ( u ) < 1) V u 任 U, (如 “ ( u ) + 晶 “ ( “ )二 l )

Vol.27 No.5 高庆狮：Zadeh模糊集合理论的缺陷及其改进：C-模糊集合理论 ·517· 表3各种情况下C-模糊集合运算的隶属度的计算 Table 3 Calculation of membership of C"-fuzzy set in all conditions 条件 AUB' A∩B (0)统一算法 寸∈U,uaw)小μa）+udu)xEou)斤Hautμ()×E()廿u∈U,(uns(a=ud)-u(w)xGa(w4dw-Ha()xead) (I)A与B不相交u∈U,(碱)=u(t4(×5w(a(wHμ(》 寸4∈U,uun(=4(u）-4(u×5dW=O) (2)AsB° 寸u∈U,aua(u)=μ(Hudu)xEaMuud4-max{u(d4ad(d)})u∈U44na(wFμ(w-μ(×5gka)u(-min{μd).d) (3)A=B 寸u∈U,(una(=u(计un(Wx5as(audu上uada) tu∈U,(4an(u片H(w）-(w)×E(W=4(u=Hd4) (4)MB处处相交寸uEU,a(H4(aP4s(4=uA四+4adu)×ξs(up 寸∈U,(0<un()u(u)-4()×5 du)<min{u(aw)》) 且处处不包含max{(adt};且ues)s1) (1)A'(w)与B'(u)不相交÷4na(u)-0台 3 Zadeh模糊集合理论的错误及 4wau=μ（计us(w). 缺点的进一步分析与证明 (2)M'与B不相交台廿u∈U,un(u)-0)台 廿ueU,(u4u(uu(utμn(u). Zadeh先生认为他的模糊集合理论之所以与 (3)M()与B'(W)包含÷4Mna(u) 常规思维、逻辑、概念相悖是因为“对传统的挑 min{u(w）,usw)}台4usu=max{μ(w)w4a(d)}. 战”、“摆脱传统的约束”2所造成的.但事实正 (4)A与B非一致包含÷uEU, 相反，相悖是他的缺点和错误造成的 uuns(w-min{u.(a)wus(u)})→廿u∈U, 3.1Z-模糊集合系统—C-模糊集合系统的 (u(u)=max(u(u),u(u))). 子系统 (S)A'(w)与B(u)相交而不包含台 Z-模糊集合系统是满足以下条件T的C- O<μ4ns(水min{ua(w)wa(u)}台4(utμs(u)>4ua(u> 模糊集合系统的子系统，其中条件T为：所有的 max{u(u）,4su)}且4us(w)≤1. Z-模糊集合系统上的C一模糊集合相互非一致 (6)A',B处处相交且处处不包含一Hu∈U, 包含 (0<uuns(umin{μ(u),a(u)})台 3.2Z-模糊集合系统是Zadeh模糊集合系统的 寸u∈U,(u(utμs(>uAu(u>max{u(u),a(u}和 新定义 4ua()≤1. 根据定理5的(3)和(4)，可以得到廿u∈U, 其中，“一”表示充分必要条件.“A与B非一致包 ((u)=min(u(u),u(u))),VuEU,(una(u)= 含”被定义为廿u∈U,(A(u)sB(W)或者B(u)SA(u), max{u(u)(u)}),和共轭⊙可以被定义为廿u∈U, “A,B处处相交”被定义为Hu∈U,(d'(w),B^(w)相 ((u1-4(u).而且在满足T条件下，A=B可以 交)，也就是，廿u∈U,(uans(u)>0).“A,B处处不包 被定义成为u∈U,u()≤(u). 含”被定义为u∈U,(A'(),B(u)非包含) 从表4可以清楚看到，左边的Zadeh模糊集 证明从定义及定理2的(5)及定理3的(0)： 合理论与右边Z-模糊集合理论是一样的， (1)A(u)与B(w)不相交台5(u-0台5(w= 3.3 Zadeh模糊集合理论不能描绘客观世界各种 1-54(w)=l→4wn(W=0→4wsu)=u(w)十μa(W). 模糊现象的原因 (2)从(1). Zadeh模糊集合理论中三个定义(“A≤B定义 (3)A'(0与B'(uW包含台(u1或 为廿ueU,(u(dsμs(u",“u∈U,uns(u)=min{u(u, 5u)户1中5(u-0或5(w0台4n(w μa(})',“Vu∈U,(uua(W=maxu(),Ha(u)})")中 mintu(u)us(u))uve(u)=maxu(u)(u)). 的任何一个定义都会导致“所有的Zadeh模糊集 (4)从(3). 合满足相互“非一致包含”，也就是满足T条件， (5)A(u)与B'(u)相交而不包含台0<5wa(水1 而在“不相交”的情况下，有“Hu∈U,u4n(a 且0<ξm(w水l中0<4Ana(w)min{u(w),4s(w)}÷ 0<minu(u),(u)}”和“Vu∈U,us(uμa(u)+u(> uu)udu)us(u)>maxuu)uu)). max{()M4e(})”.其中A与B非空. (6)从(5). 在“处处相交而处处不包含”情况下，有 显然，如果A与B包含（即A∈B*或B二A), “Hu∈U,(0<4ns(u）<min{u(u,4alu}”和“μ(u+ 那么A与B非一致包含；反者不然. ua(u>μuu>max{u()wa(w}且4ws(u》≤1

oV l.2 7 oN 5 . 高庆 狮 : Z a d模e 糊h集 合理 论 的缺 陷及其 改进 : 己一 模糊 集合 理论 . 5 1 7 , 表 3 各种 情况 下’C 一 模 糊 集合运 算 的隶属 度 的计算 aT b l e 3 C a l e u l a 幼o n o f m e m b e sr h i P o f C ` 一 fu z yZ s e * 恤 a U c o n d i眨0 . 5 条件 ’A u ’B 才 n B’ ( 0 ) 统一算 法 V u 任 U, 勿 , u , ( u 卜州 月 ( u )切如) x 如试 u ) , 如 )切 , ( u ) x 如 翻 ( u )) V u 任 U, 俩 n成u ) , A ( u卜脚 ( u ) x如 “ ( u ), 试“ )一产式 u ) X如 阴 ( u ) ) ( l )A ’ 与 B ’ 不相 交 V u任 ,U俩 u如 ) 二洲 月 ( u )切 a ( u ) x如 扭 ( u ) , a ( u )切 月 ( u )) V u任 ,U俩 n式 u ), , ( u ) 一脚 ( u ) x 如 “ ( u )=() ) ( 2 ) A ’ g B ` V u 任 U, 俩 u a ( u )习` ( u )切式u) x省 叨阴 ( u ), 式u )=m ax 俩 ( u )声 a ( u )} ) V u任 ,U俩 n a ( u )刁翔 ( u) 一脚 ( u ) x 如 “ ( u )刁才月 ( u )=m i n俩 ( u )声 a( u )} ) ( 3) A ` 绍 ` V u 任 U, 俩试 “ ) = 洲 刁 ( u )切如) x 如 阴 ( u )刁 ` ( u )酬 , ( u ) ) V u 任 U, 俩试 u )刁` ( u )一脚 ( u ) X勃 “ ( u ) , 月 ( u ), , ( u ) ) ( 4 )A ’ 尹 ’ 处 处相 交 V u 任 U, 伽 a ( u )切 月 ( u )扣 月 u a ( u片翔 ( u )加成u ) x如试 u ) > 且处处 不包 含 m ax 俩 (u) 声a( u) } ; 且 俩试动` )I V u 任 U, ( 0印 月 n式u )甲 , ( u )一脚 ( u ) x 如 “ ( u )m< in 俩( u )声 B ( u )}) ( l )A ’ ( u )与 B ’ ( u ) 不相 交 。 脚 n , ( u ) = 0 。 脚 u B ( u )刁` ( u )勺耘 ( u ) . ( 2)A ’ 与 B ’ 不 相 交 。 V u 任 U, 俩 n。 ( u ) = 0 )。 V u任 U, 俩 u , ( u )秘( u )切 B ( u )) . ( 3)A ’ ( 。 )与 B ’ ( u ) 包 含 骨尸, n B ( u ) = m i n 俩( u )声, ( u ) }” 产, u , ( u ) = m ax 切 , ( u )沁( u ) } . (4 )A ’ 与 ’B 非 一致 包 含 ” V u 任 U, 俩 n , ( u )=m i n 俩( u )声 , ( u ) }) 。 V u 任 以 俩 u , ( u )=nt ax 俩( u )和( u )}) . ( 5 )A ` ( u ) 与 B ’ ( u ) 相 交而 不 包含 骨 o印 , n , ( u ) < m i n 俩( u )声a ( u ) }” 脚 ( u )切 a ( u )初 , u B ( u ) > m ax 俩( u )声 , ( u ) }且户, u , ( u ) ` 1 . (6 )A . 刀 ’ 处 处 相 交 且 处 处 不 包 含 。 V u E U, ( 0 l<` n , ( u ) < m i n {脚 ( u )声 , ( u ) }) 。 V u 任 U, 俩 ( u )切 , ( u )冲 月u , ( u ) > m a x 协( u )声 , ( u ) } 和 脚 u B ( u )) ` 1 . 其 中 , “ ” ” 表 示 充分 必要 条件 . ’,A ’ 与 ’B 非 一致包 含 ” 被 定 义 为 V u任 以 (A ( u ) 二 B ( u )或 者 B ( u ) g A ( u )) , ,tA .刀 ’ 处 处 相 交 ” 被 定 义 为 V u任 U, (A ,( u) 刀 ,( u) 相 交 ) , 也 就 是 , V u 任 U, 俩 nB (u 卜 0) . ’,A *刀 ’ 处 处 不包 含 ” 被 定 义 为 V u任 ,U (A ,( u) 刀 ,( u) 非包 含 ) . 证 明 从 定义 及 定 理 2 的 ( 5) 及 定 理 3 的 ( 0) : ( l )A ’ ( u )与 B ’ ( u ) 不 相 交 ” 氛 ( u ) = 0。 咨 心阴 ( u ) = l 一 知 ( u ) = l。 脚 。 B ( u ) = 0。 脚 u , ( u )刁翔 ( u )切 , ( u ) . ( 2 ) 从 ( l ) . ( 3 )A ’ ( u ) 与 B ’ ( u ) 包含 。 知( u ) = l 或 条B/ ( u ) = l 。 吞翻 (u) = 0 或二二 ( u ) = 0 ” 脚 n , ( u ) = m i n 俩( u )声a ( u ) }” 产, u , ( u ) 二 m a x 俩( u )声 B ( u ) } . ( 4 ) 从 ( 3) . ( 5)A ’ ( u ) 与 B ’ ( u ) 相 交 而 不 包 含 ” 0嘴 ,。 ( u ) < l 且 0` 知 刁 ( u ) < 10 0印 刁n 。 ( u )m< i n 俩( u )声, ( u ) }” 脚( u )切 , ( u )初 , u , ( u ) > m ax 切 , ( u )声 B ( u ) } . ( 6 ) 从 ( 5 ) . 显 然 , 如果 A ’ 与 B ’ 包含 ( 即A ` g B * 或 B 幢A ’ ) , 那 么 ’A 与’B 非一 致 包含 ; 反 者不 然 . 3 z ad he 模 糊 集 合 理 论 的错 误 及 缺 点 的 进 一 步 分 析与证 明 Z ad he 先 生 认 为他 的模 糊 集合 理 论 之所 以与 常规 思 维 、 逻 辑 、 概 念相 悖 是 因 为 “ 对 传统 的挑 战 ” 、 “ 摆 脱传 统 的 约束 ” 〔2一 序 ,所 造 成 的 . 但 事 实 正 相 反 , 相 悖 是他 的缺 点和 错 误造 成 的 . 1 1 2 一 模 糊 集 合 系统 — ’C 一 模 糊 集 合 系统 的 子 系统 Z 一 模糊集 合 系 统是 满足 以下 条件 T 的 C’ 一 模 糊 集合 系 统 的子 系统 . 其 中条件 T 为 : 所 有 的 Z 一 模 糊 集 合 系 统上 的’C 一 模糊 集 合 相 互 非 一致 包 含 . .3 2 2 一 模 糊集 合 系统 是 Z a de h 模 糊集 合 系统 的 新 定义 根 据 定理 5 的 (3) 和 (4) , 可 以得 到 V u E U, 伽 月 n , ( u )二in 伽 , ( u )声 , ( u ) }) , V u 任 酥伽 湘u , ( u ) = m ax 俩(u )两(u )} ) , 和 共扼 。 可 以被定 义 为 V u 任 U, 切, (u 卜 1一脚 ( u )) . 而且 在 满足 T 条件 下 , A ’ 二 B’ 可 以 被 定义 成 为 V u 任 U, 切 , ( u ) ` 户, ( u )) . 从 表 4 可 以清 楚看 到 , 左边 的 Z ad he 模 糊 集 合 理论 与右 边 Z 一 模 糊 集合 理 论是 一样 的 . 3 .3 z ad he 模糊 集 合理 论 不 能描 绘 客观 世 界各 种 模 糊 现 象 的原 因 Z ad he 模糊 集 合理 论 中三 个 定义 ’( ,A ` B 定 义 为 V u 任 U, 俩 ( u ) ` 户, ( u ) ) , , , “ V u 任 U, 伽 , n B ( u ) = m i n 俩( u ) , 产, ( u ) }) , , , ’, V u 任 U, 俩 u B ( u ) = m a x俩 ( u ) , 产B (u) }) ,, ) 中 的任 何 一个 定 义都 会 导 致 “ 所 有 的 Z a de h 模 糊 集 合 满 足相 互 “ 非一 致 包含 ” , 也就 是 满足 T 条 件 . 而 在 “ 不相 交 ” 的情 况 下 , 有 “ V u 任 U, 伽、 成u) 二 0 m< in 伽 , ( u )声 , ( u ) } ” 和 “ V u 任 U, 俩 。 e ( u )习翔 ( u )切 , ( u ) > m ax 伽 , ( u )声 ,伍)}) , , . 其 中A 与 B 非 空 . 在 “ 处 处 相 交 而 处 处 不 包 含 ” 情 况 下 , 有 ’, V u 任 U, ( 0 <产, n B ( u ) < m i n 俩( u ) , 户, ( u ) } ” 和 ’,op ( u ) + 产, ( u )初 月 u 仄u ) > m ax 切 , ( u )声, ( u ) } 且 脚 u , ( u )) ` l