随机时间序列分析技术在齿轮点蚀疲劳寿命预测中的应用

D0I:10.13374/j.issnl001-053x.1994.05.004 第16卷第5期 北京科技大学学报 VoL16 No.5 1994年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0t.1994 随机时间序列分析技术在齿轮点蚀 疲劳寿命预测中的应用 蒙进暹 朱孝录 北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要在已进行的齿轮点蚀疲劳寿命预测计算模型的研究基础上，应用随机时间序列分析技术分 析处理计算模型中随时间变化的因素，从理论上解决了齿轮寿命预测中的雄点，建立了齿轮点蚀 疲芳寿命预测的方法系统 关键词齿轮，被劳寿命，时间序列分析，预测 中图分类号TH132.417,0212.1 Applying Stochastic Time Series Analysis to the Predictions of Pitting Fatigue Life for the Gears Meng Jinxian Zhu Xiaolu Department of Mechanical Engineering.USTB.Beijing 100083.PRC ABSTRACT Based upon the research for the model about the prediction method of pitting fatigue life for gear,this paper applies stochastic time series to handle the changing factors with time in the model,and solves the difficulty and establishes the method system in the prediction of pitting fatigue life for gear in theory. KEY WORDS gear,fatigue life,time series analysis,prediction 在齿轮寿命预测研究中四，采用齿轮随运转时间变化的齿面点蚀面积率：为 表征量来预测齿轮的运转寿命.由于各种因素的影响，预测目标一x所构成的时间序列发展的 变化具有很大的随机性.尽管单个序列值的出现具有不确定性，但整个序列的变化却显现出一 定的规律性.因此，可以将预测目标在某一固定时刻的状态看作是一个随机变量，而在整个 时间进程中的状态看作一个随机序列或随机过程，从而应用随机时间序列分析技术来研究齿 轮点蚀疲劳寿命预测问题， 1基本公式 193-11-03收稿第一作者男37岁讲师硕士 ·重庆大学机械传动国家重点实验室资助课题

第 16 卷 第 5 期 1 9 9 4 年 10 月 北 京 科 技 大 学 学 报 oJ u r n a l o f U n i v ers ity o f S a e n 二 a n d T “ 上n o ol g y B e ij in g V d . 16 卜池5 o d . 1 9 9 4 随机 时间序列 分析技 术在齿轮点蚀 疲 劳寿命预测 中的应用 ’ 蒙 进 逞 朱 孝 录 北京科 技大 学 机械工 程学 院 , 北京 1侧叉)8 摘要 在 已 进 行的齿 轮点蚀疲 劳寿命 预测计算模型 的研究基 础上 , 应用 随机时间序列分析技术分 析处理计算模型 中随时间变化的因 素 , 从理论上解决 了齿轮 寿命 预测 中的 难点 , 建立 了齿轮点蚀 疲劳寿命预测 的方法 系统 . 关键词 齿 轮 , 疲劳寿命 , 时间序列 分析 , 预测 中图分类号 r TH 132 . 4 17 , 0 2 1 2 . 1 AP P l y ign S ot c h a s t i e T ime S e r ies A刀 a l ys i s ot t he P r e d i ct i o ns of iP tu gn F at ig ue iL fe of r hte eG a rs M en g 沂n x i a n hZ u iX a o l u eD P alt ~ t o f M eC h a n i司 E 吧ne n g , U S T B , Biej i n g l() 洲)8 3 , P R C A B S T RA C T B a s ed u P o n t h e res ca hrC fo r ht e mo d e l a b o u t t h e P r ed ict i o n n r t h o d o f P it it n g fa t ig u e l讹 fo r g ea r , th is P a P e r a P Plies s ot ch a s t ic t i me s ier es ot ha dn le t h e ch a n g ign af ct o sr iw ht t ime i n ht e mo d el , a n d s o l ves ht e d西cu lt y a n d es at b lis h es ht e me th o d s ys t e n 几 in ht e P r e ( lict i o n o f P it in g af t ig u e l讹 fo r g 份r in t h o yr . K E Y WO R D S g ca r , af t ig u e 旋 , t ln r s ier 巴 a n a lys is , P r de ict i o n 在 齿 轮 寿 命 预 测 研 究 中l[] , 采 用 齿 轮 随 运 转 时 间 变 化 的 齿 面 点 蚀 面 积率 仪 为 表征 量来预 测齿 轮 的运转 寿命 . 由于各种 因素的影 响 , 预测 目标 一 : 所 构成的时间序列发展 的 变化 具有 很 大 的随机性 . 尽管 单个 序列 值的出现具有不确定性 , 但整个序 列 的变化 却显 现 出一 定 的规律 性 . 因 此 , 可 以 将预 测 目标在 某一 固定 时刻 的状 态看 作是 一 个 随机 变 量 , 而 在 整 个 时间进 程 中 的状 态看作 一 个 随机序 列或 随机 过程 , 从 而应 用 随机 时间序 列 分析 技术 来研 究齿 轮点蚀 疲 劳寿 命预测 间题 . 1 基本公式 19 3 一 1 1一 03 收 稿 第一 作者 男 37 岁 讲师 硕 士 重 庆大学机 械传动国 家重 点实验室 资助 课题 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1994. 05. 004

Vol.16 No.5 蒙进暹等：随机时间序列分析技术在齿轮点蚀疲劳寿命预测中的应用 421 根据已建立的理论预测模型，有： ao(t)=1-ATiN2(t) (1) 式中x()=2x-x;A= (ZnErez.）22000(u+I) dbuum)代表KKv.K、KHe、乙乙、 ZwZ等因素与时间的函数关系式，由于预测对象的各项条件与理论研究及试验研究的条件 不同，应用式(1)进行寿命预测就会产生余差，另外，疲劳寿命数据的离散性也会导致误 差，因此，将式(1)改写为： )=1-AT N(0)+x') (2) 式(2)中的〔1一ATNm()①项是x①)趋势性分量，为确定性的时间函数，反映：()变化的基本 趋势，其中p()的具体表达式及参数可用时间序列模型拟合求出；x'(t)是α)的平稳 分量，用于描述x)的余差部分.x'()的表达式可根据被预测齿轮的实测历史寿命数据，利 用随机时间序列模型拟合求解. 应用时间序列分析技术处理p()和x'(t)余差模型的基本思路是：首先假设所研究的时 间序列是由某个随机过程产生的，分析此序列的随机特性；然后用实际统计序列建立、估计该 随机过程的模型；最后用此模型求出未来的最佳预测值， 2φ()建模 先讨论建立p()时间序列模型的有关问题. 根据式(1)，在给定试验条件下，可以计算A值.T为试验外载荷，在不同的N值（即 运转时间)下可采集到a)值，于是由式(1)可以构成x-9,(=1,2,3,n)关系数据，从而求 得p(①的时间序列p),p0),,P(因· 首先确定φ()的随机时间序列模型的基本形式.这些模型的基本形式主要有： (I)自回归模型一AR(p) p,=∑f:p-+8 (3) =1 (2)移动平均模型一MA(q) 892qs, (4) (3)自回归-移动平均模型一ARMA(p、q) 0,-B,p-1-…-f0-p=8-0,6-1--0,4-4 (5) 在齿轮寿命预测研究中，哪种模型适用于预测目标，需根据样本初步选定基本模型，然后进 行模式识别研究. 由随机时间序列分析理论可知，可根据已知统计序列样本{p()}求得样本的自协方差函 数、自相关函数及偏自相关函数，从而根据样本的自相关函数及偏自相关函数的形态来识 别判断模型的结构和阶次，样本自相关函数和偏自相关函数可用下述方法求得： 设样本序列{φ，}的均值为零（若不为零，由零均化处理即可），则延迟k周期的自协方 差函数为： X=Y=Ele,,+k] (6)

V6 1 . 16 N o . 5 蒙进逞等 : 随机时 间序列 分析技术在齿轮点蚀疲 劳寿命 预测 中的应用 根据 已建 立 的理论预测 模 型l[ , 有 : “ 。 ()t 一 1一 A 不 N 昌, ()t ( l ) 式 中 : 。 ()t = 2 , 一 : ’ ; A = 几瓜 Z多 〕 vZ xZ 2 20 0 0 ( u + l ) 命 u嵘 L韶嗯 用 ; 中( t )代 表 K ^ 、 vK 、 K H : 、 K H , 、 殊 、 及 、 Z w 、 瓜 等 因 素 与时 间的 函 数关 系式 . 由于 预测 对象 的各项 条件与 理论研究 及试 验研究 的条件 不 同 , 应用 式 ( l) 进 行 寿 命 预 测 就 会 产 生 余 差 . 另 外 , 疲 劳 寿 命 数 据 的 离 散 性 也 会 导 致 误 差 . 因此 , 将 式 ( l) 改 写为: : 。 ()t = l 一 A 不N 粼 ’ 切()t + : ` ()t (2) 式 (2 ) 中的 〔1 一 A 不N 票职 ()t 项 是 : 。 ()t 趋 势性 分量 , 为确 定性 的 时间 函数 , 反 映 : 。 ()t 变化的基本 趋 势 , 其 中 甲 ()t 的 具 体 表 达 式 及 参 数 可 用 时 间 序 列 模 型 拟 合 求 出 ; : ` ()t 是 , 0(t ) 的 平稳 分量 , 用 于描 述 : 。 ()t 的余差 部分 . : ’ ()t 的表 达式 可根 据被 预 测齿 轮 的实测 历 史 寿 命数 据 , 利 用 随机 时间序 列模 型拟 合求 解 . 应 用 时间序 列分 析技 术处理 价 ()t 和 : ` ( O余差模 型 的基本思路 是 : 首先 假设所 研究 的时 间序 列是 由某 个 随机过 程产 生 的 , 分 析 此序 列 的随机 特性 ; 然后 用 实 际统 计 序 列 建 立 、 估 计该 随机 过程 的模 型 ; 最后 用此 模型求 出未 来 的最 佳预 测值 . 2 中 (t) 建模 先讨论建立 中 (t) 时 间序 列模 型 的有 关 问题 . 根据式 l( ) , 在 给定 试验 条件下 , 可 以计 算 A 值 . 不 为 试 验 外 载 荷 , 在 不 同 的 NL 值 ( 即 运转 时 间 )t 下 可 采集到: 0( )t 值 , 于 是 由式 (l ) 可 以 构成 : , 一 甲 , i( 二 1 , 2, 3 , … , 。 ) 关系 数据 , 从而求 得 城O 的时间序 列 中 1 ()t , 价 2 ()t , … , 中 。 (t) . 首先确定 中 (t) 的随机 时 间序列模 型 的基本 形式 . 这些 模 型 的基 本形 式 主要有 : ( l) 自回归模 型 一 A R (川 印 , = 又刀 、 印卜 , + sl (3 ) (2 )移 动平均 模 型 一 M A (的 中 : 一 。 ; 一 叉0 : 乓 _ , (4 ) (3 ) 自回归 一移 动平 均模 型 一 A R M A ( p 、 q ) 甲 ` 一 刀 ,切卜 , 一 一民怀 , = s厂 0 1“卜 1一 一 0 。￡卜 、 ( 5 ) 在齿轮 寿命预 测 研究 中 , 哪种模型 适用 于 预测 目标 , 需根 据样 本初步选 定基本模型 , 然后进 行模式识 别研究 . 由 随机 时 间序列分 析理 论 可知 , 可根 据 已知 统计序列 样本 { 诚)}t 求 得 样 本 的 自协方差 函 数 、 自相 关 函 数 及 偏 自相 关 函 数 , 从 而根 据样 本 的 自相 关 函 数及偏 自相 关 函 数 的形态 来识 别判断模型 的结 构和 阶次 . 样本 自相 关 函 数和偏 自相 关 函数 可 用下 述方 法求得 : 设样 本序 列 { 甲 ` } 的均 值 为零 (若 不为零 , 由零 均 化处理 即 可 ) , 则 延 迟 k 周 期 的 自协方 差 函 数 为: 下* = 下 _ * = E 【切 , , 切 ; + 、 」 ( 6 )

.422 北京科技大学学报 1994年No.5 自相关函数为： Pk=p-k=Yk/70 (7) 根据已知统计序列样本p,P,P求y和P的估计值y和Pk,即样本的自协方差函 数和自相关函数 k(k=0,1,2,n-1) (8) p=p-k=以/%k=0,1,…,n-1) (9) 同样，由已知序列求得偏自相关函数的估计值，即样本的偏自相关函数： P m=1 m=2,3,… (10) Dm-1.jPm-j Bn=B-L/-Bn月-1m-i j=1,2,…,m-1 对已知的样本{：}，在求得其样本自相关函数和偏自相关函数后，进行样本的模型识 别，初步确定模型形式， 当时间序列{⑨，}的模型结构和阶次初步确定后，对模型的参数进行估计求解.参数估 计方法较多，其中以广义最小二乘法较为简便易行，由于ARMA模型可以转换成AR模型 和MA模型，所以只讨论ARMA模型的参数估计方法即可，对ARMA模型： Bp(D)p,=⊙(D)e, 假设自回归部分B(D)的结构已定，首先将ARMA模型变换成： B(D)⊙，'(D)pr=c (11) 的形式，再置： p,=⊙(D)9 (12)） 式(11)就化为： Bp(D)=e (13) 式(13)是一自回归过程.如果{，}可以观察到，就可以直接用最小二乘法求B(D)的估计值. 但因⊙-(D)是未知的，直接求9，'几乎不可能，而对B(D)和⊙，(D)同时进行估计 令⊙(D)的估计⊙(D)=1,则p,=⊙-(D)9,(t=1,2,,n).由式(13)和数据序列{p} 用普通最小二乘法估计参数B(D),并用B,(D)表示；然后计算残差： e=B(D)p,(t=1,2,,n) (14) 再增加⊙(D)的阶数，考虑模型： ⊙(D)e.=e (15) 由于ε，是均值为零的白噪声序列，所以式(15)是一个输人为零的普通最小二乘结构， 观察数据序列为{e,,可由式(15)计算得到.依据序列{e,},可计算求得O(D)的最小二乘估 计⊙(D) 当给定残差平方和的最小值标准，重复上述步骤，直到估计结果满足给定的收敛条件为 止，可得到所要求的B(D)和⊙(D),从而完成参数估计·

4 2 2 北 京 科 技 大 学 学 报 1卯4 年 N b . 5 自相关 函数为 : P * = p 一 * = 入 /儿 ( 7 ) 根 据 已 知 统 计 序 列 样 本 沪 1 , 叭 , … , 中 。 求 下* 和 kP 的 估 计 值 人和 p ; , 即样 本 的 自协 方差 函 数 和 自相 关 函数 (9)(8) l 下、 = 下_ k = 一 艺城叭 十 ; (k = 0 , l , 2 , … , n 一 l ) 户 * = 卢 一 * = , 、 /儿 ( k = o , l , … , 。 一 l ) 同样 , 由已 知序 列 求得 偏 自相关 函数的估 计值 , 即样本 的偏 自相 关 函数 : 刀 , , 一月 ,瓦一 , 氏 一 m = 2 , 3 , ( 10) 焦 , = 刀 二 一 1 , , 一 凡 , . 凡 一 , , 一 , j 二 1 , 2 , … , m 一 1 对已 知 的样 本 王中, } , 在求 得其样 本 自相 关 函数和 偏 自相关 函 数后 , 进 行样 本 的 模 型 识 别 , 初步 确 定模型形式 . 当时 间序列 { 甲` } 的模型结构 和阶 次初步 确定 后 , 对 模 型 的 参 数进 行 估 计求 解 . 参 数 估 计 方 法 较 多 , 其 中 以 广 义 最 小 二 乘法 较 为 简 便 易 行 . 由 于 A R M A 模 型 可 以 转换成 A R 模型 和 M A 模型 , 所 以 只讨论 A R M A 模型 的参数估 计方 法 即可 . 对 A R M A 模 型: 凡 (D ) 甲, = 吼 (D ) “ : 假设 自回 归部 分 凡 (D ) 的结构 已 定 , 首先 将 A R M A 模 型变换成 : 尽 (D ) 。 子 , (D )中: = 。, ( 1 1 ) 的形 式 , 再置 : 训汗 。 一 , (D )中` ( 12) 式 ( 1 1)就 化为 : 凡(D ) 势 , = 乓 ( 13 ) 式 ( 13) 是 一 自回 归 过程 . 如果 {诃 }可 以 观察到 , 就 可 以 直接 用最 小二 乘 法 求 B脚) 的估 计值 . 但 因。 一 ’ (D ) 是 未 知 的 , 直 接 求 甲 r ` 几 乎不可 能 , 而 对 B脚)和 。 ; (D )同时进 行估 计 · 令。 (D )的 估计 。 (D ) 二 1 , 则 训 : = 。 一 ’ (D ) 甲: (t = 1 , 2 , … , 。 ) . 由式 ( 13) 和 数 据 序 列 {甲乃 用普 通最 小二 乘法 估计参数 凡 沪) , 并用 尽 (D ) 表 示 ; 然 后计算残差 : 已= B p (D )甲` ( t = l , 2 , … , n ) ( 14 ) 再 增加 O 沪 ) 的 阶数 , 考虑 模型 : 0 (D ) et = 乓 ( 巧 ) 由于 。` 是 均 值为零 的 白噪声序 列 , 所 以 式 ( 1 5) 是 一 个输 人 为 零 的普 通 最 小 二 乘 结 构 . 观 察数据序 列 为 { e}t , 可 由式 ( 15) 计算 得到 . 依 据序 列 { e}t , 可 计算 求得 。 (D ) 的最 刁仁 乘 估 计 O (D ) . 当给定 残差 平方 和 的最小 值标准 , 重复 上述 步骤 , 直 到估计结 果满 足 给定 的收 敛 条件为 止 , 可 得到 所要 求 的 B 尸 (D ) 和 。 ; (D ) , 从而 完成参数估计

Vol.16 No.5 蒙进通等：随机时间序列分析技术在齿轮点蚀疲劳寿命预测中的应用 .423 选好模型并完成参数估计后，为了判断该模型是否适当，还应对模型进行诊断检验.检验 的依据是残差e=p,-p,如果e,是白噪声序列，表明残差是纯粹由随机干扰产生的，模型 选择及参数估计适当，否则，应重新选择模型和进行参数估计.为了验证模型的拟合优度，研 究残差的自相关函数是最直观、最合理的方法，如果模型适当，，的自相关函数应与零没有什么 显著的不同.检验方法可以采用x2检验法.因为？，的样本相关函数为： na-信ca…)/信s (16) 为应用x2检验法，构造近似服从自由度为(m一p一q)的x2分布的统计量Q: Q=n正(e) (17) 式中，m取为小于n/4的一个适当的整数即可.然后利用x2分布对时间序列模型进行诊 断检验：(I)计算e,的样本自相关函数B.;(2)用前m个阝。按式(17)计算Q值；(3)确定显著性 水平a,由x2分布表查得临界值x:m-p-q54)进行判断，若 Q≤x(m-p-q) (18) 则认为模型适用，否则对e,作进一步的识别或重新构造模型. 在经过模型识别、参数估计、诊断检验后，便可获得一个较为满意的时间序列预测模型， 其基本流程如图1所示，然后即可对齿轮点蚀疲劳寿命进行预测了. 确定基本模型形式 3预测应用 模型识别 用9+1表示在t时对p+期所作的预测，【为预测长 选择一个试验性模型) 度.由于对任一ARMA过程，都有： ,=B'D)O(D)8=∑，c- 参数估计 =0 则p+可以写成： (估计试验性模型) 0-2,1=,+11t…+1+n =0 J=0 诊断检验> 不合适 (19) 故t+1期预测的均方差为： 合适 Eo6.1=E,51 获得预测模型 =(1++…+w2+∑w-i-)产a 图1时间序列分析建模流程图 r=0 (20) Fig.1 Flow diagram of establishing the 式中，中。=1，很显然，当妙=中，时，预测均方差最 model with time series analysis 小，因此，+的的最小均方差预测值为： 9-1=ψ8+1+18-1+…=E[9+10,9+1,] (21) 在预测计算中，规定条件期望的取值法则为：

Vo l . 16 N O . 5 蒙进逞等 : 随 机时 间序列 分析技术在齿轮点蚀疲 劳寿命 预测 中的应用 . 42 3 · 选好 模型 并完 成参数估 计后 , 为 了判断 该模型是否适 当 , 还应 对模 型 进行 诊 断检验 . 检 验 的依 据是 残差 e , = 中 r 一 价 , , 如果 e : 是 白 噪声 序 列 , 表 明 残 差 是 纯 粹 由 随机干 扰 产 生 的 , 模 型 选择及 参数估计适 当 . 否 则 , 应重 新 选择模 型 和 进 行 参数 估 计 . 为 了 验证模 型 的拟 合 优 度 , 研 究 残差的 自相关 函 数 是最 直观 、 最合理 的方 法 . 如果模型适 当 , 弓的 自相关函数应与零没有什么 显 著 的不 同 . 检 验方 法可 以 采 用 x ’ 检 验 法 . 因为 气 的样 本相 关 函 数为 : 。 、 (。) 一 ( )/怜) ( 16 ) 为应用 护 检验法 , 构 造近 似服 从 自由度 为 (m 一 p 一 妇 的 扩 分布 的统计量 :Q Q = 。叉仄(e)t ( 17) 式 中 , m 取 为小于 n/ 4 的一个 适 当的整 数即可 . 然后 利 用 护 分布 对时 间序 列 模 型 进行 诊 断检 验 : ( l) 计算 气 的样 本 自相 关 函数 刀 、 ; (2 ) 用前 , 个 口 、 按 式 ( 17) 计算 Q值 ; (3) 确 定显 著性 水 平 : , 由 x ’ 分布 表查得 临界 值 式 ( 。 一 p 一 的; (’) 进行 判 断 , 若 Q 毛x 了(m 一 p 一 任) ( 18 ) 则 认 为模 型适 用 , 否 则 对 e , 作进 一步 的识别 或重 新构 造模 型 . 在经 过模 型识别 、 参数 估计 、 诊断检验 后 , 便 可 获 得 一 个 较 为 满 意 的时 间序 列 预测 模 型 , 其 基本 流程 如 图 1 所示 , 然 后 即可 对 齿轮 点蚀 疲劳 寿命进 行预测 了 . 确 定基 本模 型形式 3 预 测应用 八 用件十 , 表示 在 t 时对 叭 + , 由于 对 任一 A R M A 过 程 模 型 期 所作 的预测 , l 为 预测 长 都 有 : 选 择一个试验性模 型 ) 沪 ` 一 耳 ’ (D ) 。 (D ) 。 一 艺沙￡卜 J 参 数 则 叭 、 , 可 以 写 成 : 中 ! 一属叱气 , 勺 一 功 。 “ 卜 ! + 价 1气 ,一 + … 十 沙卜 1乓一 + 属价 ! 、 乓习 ( 19 ) 故 t 十 l 期 预测 的均方 差 为 : 诊 断检 验 ( 估计 试验性模型 ) 合适 E [ 甲,+ , 一 币 : 十 1 ] ’ = ￡ [X 价 。 , 十 , _ 一 艺功*+, , 。 ` +j ] 获 得 预 测 模 型 一 ( , + 沙+.f 二 十 价} 一 ,` 十刀沙 , 、 一 沙;+)j ’ ` ( 2 0 ) 式 中 , 沙。 二 1 , 很显然 , 当价几= 价 ,+ , 时 , 预测 均方差 最 小 , 因 此 , 叭 + , 的 的最小 均方 差 预测值 为 : 叭 一 , = 沙 , 乓+ 沙 , + l 。 ,一 l + · 一 E 【叭 + , }切 在预测 计算 中 , 规定 条件 期望 的取 值法 则 为: 图 1 时间序 列分 析建模流 程图 F电 . 1 R o w 血g团 1 of es l a b肚由吨 胶 m侧加】衍山 如祀 咫6 图 皿司班自 ( 甲 + 2 1)

.424. 北京科技大学学报 1994年No.5 P+i j≤0 Eol-e j>0 Ek小{8 (22) j>0 j≤0 由此，ARMA模型最小均方差预测计算公式为： p+1=[p+=f,[p+-]+B2[p+-2]+…+Be[p,+1-p]+01[a+1-小-…-6，a+1-g】 (23) 式中，〔9，〕为P,条件期望值的简写，并按式(22)取值. 另由式(20)可知，当少，=中，时，领先1周期预测误差的方差为： - D(%+)=(（1++++-)c=(1+∑) 24) 故领先1周期的预测区间为： 9+土Z1+∑]"G (25) 1 inp-g 0,-9,月2 (26) 式中，也，可用p,=B(D)⊙(D)E求得. 综上所述，当得统计样本{φ，}后，应用随机时间序列分析技术，即可实现对，的预测. 在对齿轮点蚀疲劳寿命进行预测时，由式(I)可知，利用前述方法获得p()的预测值后， 代入式(1)，并代入试验齿轮的运转工况条件各值计算，即可获得理论预测值x). 在应用上述方法对生产现场使用的齿轮进行预测时，可由式(1)得到理论预测值x(), 同时在现场采集到实测值x0),那么，利用x()-x()(=1,2,河获得x,'()的统计样本{g} 同样应用上述方法可建立x()的预测模型并得到预测值，将其代人式(2)后即可得到针对 现场条件而作出的实际预测值() 4结论 针对齿轮点蚀疲劳寿命预测问题，应用随机时间序列预测技术，解决了寿命预测中随时 间变化的各种影响因素难以用一个明确的数学关系表达的问题.预测的计算模型具有简明的 数量关系，与使用现场适应良好，针对具体的对象，将原始数据及各修正系数代入即可进行 齿轮点蚀疲劳寿命的理论预测.结合现场采集的数据即可进行生产实际寿命预测，即给出运转 时间，可预测齿面的点蚀面积率，或者给出点蚀面积率，可预测齿轮的运转时间. 参考文献 1 Meng Jinxian.Zhu Xiaolu.The Model about a New Prediction Method of Contact Fatigue Life for the Gears with Damaged Conditions.In:CJISME 93,Beijing.Interational Academic Publishetrs, 1993.116-120

· 4 2 4 · 北 京 科 技 大 学 学 报 1哭岭 年 N O . 5 { 切, +j 、 。 : i 蕊 O E 【毋`十 1』= 叭 勺 j > O (2 2 ) 已 +j j > O j 蕊 0 了 f 、交 一一 +j E 6 由此 , A R M A 模 型最 小均 方差 预测计算公 式 为 : 币 : + , 一 [ , r+ , ]一 户 , [ , : + 卜 ,一+ 户 2 [ , , + 卜 2 1 + … + 几[ , : + , 一 , ] + 乡 . 压 。+ ` 一 1 ] - 一 氏[。 + ,一 ; ] 式 中 , 〔中, 〕为 毋, 条件 期望 值 的简写 , 并 按式 ( 2 2) 取值 . 另 由式 ( 2 0) 可 知 , 当 气 一 沙+jI 时 , 领先 l 周 期 预测误 差 的方 差 为: (2 3 ) 4 口气 (2(2 。 +(el 。一 (l + 叫+ 此+ . ` · 十 此 1 )` 一 ( ` + 却力` 故 领先 l 周 期 的预测 区 间为 : 场 `一 士 乙 , 2 〔, 十属沙了, ’ / ’ 氏 l 6 : = — 砚 一 P 一 q 艺(切 ` 一 币 : ) , ] , ’ ( 2 6 ) 式 中 , 价 , 可 用 职` 二 B 一 ’ (D ) 。 (D 从 求得 · 综 上 所 述 , 当得 统计样 本 { 甲: }后 , 应 用 随机 时 间序 列 分 析 技 术 , 即 可 实 现 对 中 : 的预测 . 在对齿 轮 点蚀 疲 劳寿命 进 行预 测 时 , 由式 ( l) 可知 , 利 用 前 述 方 法 获 得中 ()t 的 预测 值 后 , 代 人式 ( l ) , 并 代 人试 验齿 轮 的运 转工 况条件 各值计算 , 即可 获得理 论预测 值 : 。 ()t . 在 应 用 上 述 方 法 对 生 产 现 场 使 用 的齿 轮 进 行 预 测 时 , 可 由 式 ( l) 得到理 论预测值 : 0(t ) , 同 时在 现 场采 集 到 实测 值 : ()t , 那 么 , 利用 : ` ()t 一 : 。 ()t i( = 1 , 2 , … )可获得: : ’ ()t 的 统 计样本 { 可 } · 同样 应 用 上 述 方 法 可 建 立 丫 ( )t 的 预 测模 型 并 得 到 预 测值 , 将 其代 人 式 (2) 后 即可 得 到 针 对 现 场条 件而 作 出的 实际 预测值 城)t 4 结论 针对 齿轮 点蚀疲 劳 寿命预测 问题 , 应 用 随机 时间序 列 预测技 术 , 解决 了寿命预 测 中 随时 间变化 的各 种影 响 因素难 以 用 一个 明确 的 数学 关 系 表 达 的 问题 . 预测 的计算模 型具 有 简 明的 数 量 关系 , 与使 用 现场 适应 良好 , 针 对具 体 的对象 , 将 原始数 据及 各修 正 系数代 人 即可 进行 齿 轮 点蚀疲 劳 寿命的理论 预 测 . 结合 现 场采集 的数据即可进 行生产实际寿命预测 , 即给出运转 时 间 , 可预测 齿 面 的点蚀 面积 率 , 或者 给 出点蚀 面积率 , 可 预测齿 轮 的运 转 时 间 . 参 考 文 献 M e l l g Ji l认 i a n , hZ u X i a o l u . 们l e M o de l a bo ut a Ne w P 代过i c tio n M e hto d o f oC n ta c t aF t lg je L 讹 fo r t he G ea rs o ht D a l n a g ed oC nd i ito ns . :nI C IJ S M E ` 93 , eB 石ing , nI t e rn a iot anl A ca d e l Til c uP hbs be tIS , l卯3 . 1 16 一 120