DFT[x, (n)]=LX( k)+X(N-k)=Xe(k) 0(8-1 (32.11)式 所以有 X(k)=DFTLx(n)=Xp(k)+Xo(k (2)若x(m)=x(n)+x(m)0≤n≤ 其中 xn(n)=[x(n)+x(N-m],x(m)的共轭对称分量 xn(m)=[x(n)-x(N-n)],x(n)的共轭反对称分量 则 X()=DFT[x(n)]=XR(k)+jx, (k) 其中 XR(k)=Re[x(k)]=dFTLxep(n) jx1(k)=/m[x(4)]=DFT[x(m)] 由上可知:如果序列x()的D为X(k),则x(m)的实部和虚部(包括j的 DF分别为X(k)的共对称分量和共轭反对称分量:顶x(n)得共对称分量和共 轭反对称分量的DFT分别为X(k)的实邮和虚部乘纵j。 (3)设x()是长度为N的实序列,且X(k)=DFT[x(n)],则 A、X(k)共轭对称,即 Y(k (2.17)
( ) ( ) ( ) ( ) 1 * 2 DFT x n X k X N k X k r ep = + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 * 2 DFT jx n X k X N k X k i op = − − = 所以有 X k DFT x n X k X k ( ) = = + ( ) ep op ( ) ( ) (2.15) （2）若 ( ) ( ) ( ), 0 1 ep op x n x n x n n N = + − 其中 ( ) ( ) ( ) 1 * 2 ep x n x n x N n = + − ， x n( ) 的共轭对称分量 ( ) ( ) ( ) 1 * 2 op x n x n x N n = − − ， x n( ) 的共轭反对称分量 则 X k DFT x n X k jX k ( ) = = + ( ) R I ( ) ( ) (2.16) 其中 X k X k DFT x n R ep ( ) = = Re ( ) ( ) jX k j X k DFT x n I op ( ) = = Im ( ) ( ) 由上可知：如果序列 x n( ) 的 DFT 为 X k( ) ，则 x n( ) 的实部和虚部（包括 j）的 DFT 分别为 X k( ) 的共轭对称分量和共轭反对称分量；而 x n( ) 得共轭对称分量和共 轭反对称分量的 DFT 分别为 X k( ) 的实部和虚部乘以 j。 （3）设 x n( ) 是长度为 N 的实序列，且 X k DFT x n ( ) = ( ) ，则 A、 X k( ) 共轭对称，即 ( ) ( ) * X k X N k = − , ０ k N-1 (2.17) （3.2.11）式
B、若x(m)是偶对称序列,即x(n)=x(N-n),则 则X(k)实偶对称,即 C、若x(n)是奇对称序列,即x(n)=-x(N-m),则X(k)纯虚奇对称,即 X(k)=-X(N (2.19) 实际中经常需要对实序列进行DFT,利用上述对称性质,可减少DT运算量, 提高运算效率。 D、一个DFT共轭对称性的应用 利用DFT的共轭对称性,通过计算一个N点DFT,可以得到两个不同是序列的 N点DFT,设x(m)和x2(n)为两个是序列,构造新序列x(n)如下: x(n=x(n)+jx2(n) 对x(m)进行DFT,得到 x(k)=DFTLx()]=Xe(k)+xop(k) 由(2.15)、(2.13)和(2.14)式得到: xn(6)=DFr[x()=2x()+x(N- X (k)=DFT[jx2 (n)]=5LX(k)-X(N-k) 所以 X,(k)=DFT[x,(n)]=5LX(k)+X'(N-k) x2(4)=DF[x2(n)2=-/2[Xx(4)-x(N-k)
B、若 x n( ) 是偶对称序列，即 x n x N n ( ) = − ( ) ，则 则 X k( ) 实偶对称，即 X k X N k ( ) = − ( ) (2.18) C、若 x n( ) 是奇对称序列，即 x n x N n ( ) = − − ( )，则 X k( ) 纯虚奇对称，即 X k X N k ( ) = − − ( ) (2.19) 实际中经常需要对实序列进行 DFT，利用上述对称性质，可减少 DFT 运算量， 提高运算效率。 D、一个 DFT 共轭对称性的应用 利用 DFT 的共轭对称性，通过计算一个 N 点 DFT，可以得到两个不同是序列的 N 点 DFT，设 x n 1 ( ) 和 x n 2 ( ) 为两个是序列，构造新序列 x n( ) 如下： x n x n jx n ( ) = + 1 2 ( ) ( ) 对 x n( ) 进行 DFT，得到： X k DFT x n X k X k ( ) = = + ( ) ep op ( ) ( ) 由(2.15)、(2.13)和(2.14)式得到： ( ) ( ) ( ) ( ) * 1 1 2 X k DFT x n X k X N k ep = = + − ( ) ( ) ( ) ( ) * 2 1 2 X k DFT jx n X k X N k op = = − − 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) * 1 1 1 2 X k DFT x n X k X N k = = + − ( ) ( ) ( ) ( ) * 2 2 1 2 X k DFT x n j X k X N k = = − − −