课题名称逻辑代数与硬件描述语言基础目的要求1、掌握逻辑代数常用基本定律、恒等式和规则；2、掌握逻辑代数的变换和卡诺图化简法；3、了解硬件描述语言VerilogHDL。教学内容2.1逻辑代数逻辑代数又称布尔代数。它是分析和设计现代数字逻辑电路不可缺少的数学工具。逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，用于对数学表达式进行处理，以完成对逻辑电路的化简、变换、分析和设计。逻辑关系指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系。在数字电路中往往是将事情的条件作为输入信号，而结果用输出信号表示。条件和结果的两种对立状态分别用逻辑“1”和“0”表示。一、逻辑代数的基本定律和恒等式0、1律：A+0=AA·0=0A+1=1A-1=A互补律：A+A=1 -A·A=0交换律：A·B=B·AA+B=B+A结合律：A+B+ C=(A+ B)+ CAB-C=(A·B)·C分配律：A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)A+A=AAA=A重叠律：A+A:B=AA·(A+B)A吸收律(A+ B)-(A+C)=A+ BCA+A.B=A+B二、逻辑代数的基本规则1、代入规则在包含变量A逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这一规则称为代入规则。例：B (A +C)=BA+BC,用A+D代替A，得
课题名称 逻辑代数与硬件描述语言基础 目的要求 1、掌握逻辑代数常用基本定律、恒等式和规则； 2、掌握逻辑代数的变换和卡诺图化简法； 3、了解硬件描述语言 Verilog HDL。 教学内容 2．1 逻辑代数 逻辑代数又称布尔代数。它是分析和设计现代数字逻辑电路不可缺少的数学 工具。逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，用于对数学表达式进行处理，以 完成对逻辑电路的化简、变换、分析和设计。 逻辑关系指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系。在数字电路中往往 是将事情的条件作为输入信号，而结果用输出信号表示。条件和结果的两种对立 状态分别用逻辑“1” 和“0”表示。 一、逻辑代数的基本定律和恒等式 二、逻辑代数的基本规则 1、代入规则 在包含变量 A 逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有 A 的位置，则 等式仍然成立。这一规则称为代入规则。 例：B (A + C) = BA+BC， 用 A + D 代替 A，得 0、1律： A + 0 = A A + 1 = 1 A · 1 = A A · 0 = 0 互补律： A + A = 1 A · A = 0 交换律： A + B = B + A A · B = B · A 结合律： A + B + C = (A + B) + C A · B · C = (A · B) · C 分配律： A ( B + C ) = AB + AC A + BC = ( A + B )( A + C ) 重叠律： A + A = A A · A = A A A B A B + + ＝ ( ) ( ) A B A C A BC + + + ＝ A+ A B＝A A A B A + ( )＝ 吸收律
B [(A +D) +C)= B(A +D) + BC =BA + BD + BC代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围2、反演规则：对于任意一个逻辑表达式L，若将其中所有的与（·）换成或（+），或（+）换成与（·）：原变量换为反变量，反变量换为原变量；将1换成0，0换成1；则得到的结果就是原函数的反函数。例2.1.1试求L=AB+CD+0的非函数。解：按照反演规则，得L =(A+ B)-(C + D)-1 =(A+ B)(C + D)3.对偶规则对于任何逻辑函数式，若将其中的与（·）换成或（+），或（+）换成与（·）；并将1换成0，0换成1；那么，所得的新的函数式是L的对偶式，记作L。例：逻辑函数=(A+B)(A+C)的对偶式。解：其对偶式为：L'=AB+AC当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。这就是对偶规则。利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式，例如，吸收律三、逻辑函数的代数法化简1、逻辑函数的最简与-或表达式在若干个逻辑关系相同的与-或表达式中，将其中包含的与项数最少，且每个与项中变量数最少的表达式称为最简与-或表达式。“与-或”表达式L=AC+CD“与非-与非”表达式-AC.CD“或-与”表达式=(A+C)(C+D)“或非一或非”表达式=(A+C)+(C+D)“与-或-非”表达式= AC+CD2、逻辑函数的化简方法化简的主要方法：●公式法（代数法）：运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法·图解法（卡诺图法）例：已知逻辑函数表达式为L=ABD+AB D+ABD+A BCD+ABCD要求：（1）最简的与-或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图；（2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。解： L= ABD+AB D+ ABD+AB CD+A BCD&=AB+ABD+ABD= AB+AB(D+D)
代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围 2、反演规则： 对于任意一个逻辑表达式 L，若将其中所有的与（• ）换成或（+），或（+） 换成与（•）；原变量换为反变量，反变量换为原变量；将 1 换成 0，0 换成 1；则 得到的结果就是原函数的反函数。 解：按照反演规则，得 3. 对偶规则 对于任何逻辑函数式，若将其中的与（• ）换成或（+），或（+）换成与（•）； 并将1换成0，0换成1；那么，所得的新的函数式是L的对偶式，记作 L ‘ 。 例: 逻辑函数 的对偶式。 解：其对偶式为： 当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。这就是对偶规则。 利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式，例如，吸收律 三、逻辑函数的代数法化简 1、逻辑函数的最简与-或表达式 在若干个逻辑关系相同的与-或表达式中，将其中包含的与项数最少，且 每个与项中变量数最少的表达式称为最简与-或表达式。 “与-或” 表达式 “与非-与非”表达式 “或-与”表达式 “或非－或非” 表达式 “与-或-非”表达式 2、逻辑函数的化简方法 化简的主要方法： ⚫ 公式法（代数法）：运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法 ⚫ 图解法（卡诺图法） 例：已知逻辑函数表达式为 L ABD A B D ABD A B CD A BCD = + + + + 要求：（1）最简的与-或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图； （2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。 解： L ABD A B D ABD A B CD A BCD = + + + + 例 L = AB +CD + 0 2.1.1 试求 L = (A+ B)(C + D)1 = (A+ B)(C + D) L AB AC = + B [(A +D) +C ] = B(A +D) + BC = BA + BD + BC 的非函数。 L A B A C = + + ( )( ) L = AC +C D = A C C D = ( A+C )(C + D) = ( A+ C )+ (C+D ) = AC + CD =AB+ ABD + ABD = AB+ AB(D+ D) B A L AB A B & & & & &
=AB+AB=AB+AB=AB.AB例：试对逻辑函数表达式L=ABC+ABC进行变换，仅用或非门画出该表达式的逻辑图。解：L=ABC+ABCA+B+C-ABC+ABCB=A+B+C+A+B+C1+B+C=A+B+C+A+B+C2.2逻辑函数的卡诺图化简法一、最小项的定义及其性质1、最小项n个变量X1，X2，…，Xn的最小项是n个因子的乘积，每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次。一般n个变量的最小项应有2n个。例如，A、B、C三个逻辑变量的最小项有（23=）8个，即ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC2、最小项的性质对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1；对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0；对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。3、最小项的编号最小项的表示：通常用mi表示最小项，m表示最小项，下标i为最小项号。二、逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式：L(ABC)= ABC + ABC + ABC + ABC为“与或”逻辑表达式；在“与或”式中的每个乘积项都是最小项。L(A. B.C)= AB+ AC例1将化成最小项表达式L(A,B,C)= AB(C +C)+ A(B + B)C= ABC+ ABC+ABC+ ABC= m7+m6+m3+m5
例： 试对逻辑函数表达式 进行变换，仅用或非 门画出该表达式的逻辑图。 解： 2.2 逻辑函数的卡诺图化简法 一、最小项的定义及其性质 1、最小项 n 个变量 X1, X2, ., Xn 的最小项是 n 个因子的乘积，每个变量都以它 的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次。一般 n 个变量的最小 项应有 2n 个。 例如，A、B、C 三个逻辑变量的最小项有（23＝）8 个，即 2、最小项的性质 对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为 1； 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为 0； 对于变量的任一组取值，全体最小项之和为 1。 3、最小项的编号 最小项的表示：通常用 mi 表示最小项，m 表示最小项,下标 i 为最小项号。 二、逻辑函数的最小项表达式 逻辑函数的最小项表达式： 为“与或”逻辑表达式； 在“与或”式中的每个乘积项都是最小项。 = m7＋m6＋m3＋m5 L ABC ABC ABC ABC ABC ( ) = + + + 例1 将 L A B C AB AC ( , , ) = + 化成最小项表达式 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 、 、 、 、 、 、 、 = AB+ AB = AB+ AB = AB AB L = ABC + ABC L = ABC + ABC = ABC + ABC = A+ B + C + A+ B + C = A+ B + C + A+ B + C B L ≥1 A+ B + C ≥1 ≥ 1 A C A+ B + C ≥1 ≥1 ≥1 L A B C AB C C A B B C ( , , ) ( ) ( ) = + + + = + + + ABC ABC ABC ABC
Zm(7, 6, 3, 5)三、用卡诺图表示逻辑函数1、卡诺图的引出卡诺图：将n变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样，所得到的图形叫Ⅱ变量的卡诺图。逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。2、卡诺图的特点：各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。3.已知逻辑函数画卡诺图当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图中找出和表达式中最小项对应的小方格填上1，其余的小方格填上0（有时也可用空格表示），就可以得到相应的卡诺图。任何逻辑函数都等于其卡诺图中为1的方格所对应的最小项之和。例：画出逻辑函数L(A，B，C，D)=m(0，1，2，3，4，8，10，11，14，15)的卡诺图CCD00011110AB1100110101001101011111100１1四、用卡诺图化简逻辑函数1、化简的依据2、化简的步骤（1）将逻辑函数写成最小项表达式(2）按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。(3）合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组（包围圈），每一组含2n个方格：对应每个包围圈写成一个新的乘积项。本书中包围圈用虚线框表示。（4）将所有包围圈对应的乘积项相加。画包围圈时应遵循的原则：（1）包围圈内的方格数一定是2n个，且包围圈必须呈矩形。（2）循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。（3）同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增的包围圈中一定要有原有包围圈未曾包围的方格。（4）一个包围圈的方格数要尽可能多，包围圈的数目要可能少。CP001ABm0011110111mia11.0
三、用卡诺图表示逻辑函数 1、卡诺图的引出 卡诺图：将 n 变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有逻辑相邻的最小 项在几何位置上也相邻地排列起来，这样,所得到的图形叫 n 变量的卡诺图。 逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变量，那么，就称 这两个最小项在逻辑上相邻。 2、卡诺图的特点: 各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下左右在几何上相邻的方格内只 有一个因子有差别，这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。 3. 已知逻辑函数画卡诺图 当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图中找出和表达式中最小项对应的小 方格填上 1，其余的小方格填上 0（有时也可用空格表示），就可以得到相应的卡 诺图。任何逻辑函数都等于其卡诺图中为 1 的方格所对应的最小项之和。 例：画出逻辑函数 L(A, B, C, D)= m(0, 1, 2, 3, 4, 8, 10, 11, 14, 15)的 卡诺图 四、用卡诺图化简逻辑函数 1、化简的依据 2、化简的步骤 (1) 将逻辑函数写成最小项表达式 (2) 按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填 1，其 余方格填 0。 (3) 合并最小项，即将相邻的 1 方格圈成一组(包围圈)，每一组含 2n 个方格， 对应每个包围圈写成一个新的乘积项。本书中包围圈用虚线框表示。 (4) 将所有包围圈对应的乘积项相加。 ⚫ 画包围圈时应遵循的原则： （1）包围圈内的方格数一定是 2n 个，且包围圈必须呈矩形。 （2）循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。 （3）同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增的包围圈中一定要有 原有包围圈未曾包围的方格。 （4） 一个包围圈的方格数要尽可能多,包围圈的数目要可能少。 =m , , (7, 6 3 5) 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 00 01 11 10 CD 00 01 11 10 AB L m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10
例：用卡诺图法化简下列逻辑函数L(A,B,C,D)=Zm (0, 2, 5,7,8,10,13,15)五、含无关项的逻辑函数及其化简1、什么叫无关项：在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项。在含有无关项逻辑函数的卡诺图化简中，它的值可以取0或取1，具体取什么值，可以根据使函数尽量得到简化而定。例：要求设计一个逻辑电路，能够判断一位十进制数是奇数还是偶数，当十进制数为奇数时，电路输出为1，当十进制数为偶数时，电路输出为0。解：(1）列出真值表(2)画出卡诺图（3）卡诺图化简
例 :用卡诺图法化简下列逻辑函数 五、含无关项的逻辑函数及其化简 1、什么叫无关项： 在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者这些变 量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项。 在含有无关项逻辑函数的卡诺图化简中，它的值可以取 0 或取 1，具体取什 么值，可以根据使函数尽量得到简化而定。 例: 要求设计一个逻辑电路，能够判断一位十进制数是奇数还是偶数，当十进制 数为奇数时，电路输出为 1，当十进制数为偶数时，电路输出为 0。 解: (1)列出真值表 (2)画出卡诺图 (3) 卡诺图化简 L( A,B,C,D ) = m (0，2，5，7，8，10，13，15)