在un+1的表达式(*）中，α、β满足：α+β=1, αβ= -1即α、β是方程α-α-1=0的两个根，由是若设α>β,则α=1+5, β=1-22再α-β=V5,从而"[(++y3)*-(1-3)*]nt这恰好正是比内公式。注当然（*）还可以写成它的转置形式，Y1p1101Un+1 =0它曾是苏联大学生数学竞赛的一个试题，2，矩阵、向量积的形式我们再来看它的一个矩阵、向量乘积的表达式.若设A(1)，(u)-A（1)(k = 1,2, ..)36
则uk恰为斐氏数列的通项。下面我们来证明这个结论。-11=2A的特征方程为-AI--1，故A的特征值为：=号(1+),A,=(1 -V5).at而对应于入1、元，的特征向量分别为：2(1, -1t), (1, -,了)2.211则有令X=-1-V5(1-+V522x"AX-( 2),及 A=x( 2)x-则 A*=x( 0)x-1(a+-+1-k-1二元,K-1V(K-AK)Vk=A()，从而由 (aK-nk)uk37
71+V5*-(1-)V52注这个命题是南京邮电学院1984年研究生入学试题中的一道题目。3.组合数和的形式斐波那契数列通项表达式还可通过杨辉（费宪）三角表示（关于杨辉三角我们后面还要介绍）。我们把杨辉三角11111213314614151010151:11改写一下，成为下面的形2状（即将它的最左下角的31靠齐，如图3一1）：1645容易看到沿图中虚斜线10510158..（我们称之为递升对图3 ---1角线）方向（与水38
平成45°夹角的直线）上诸数和恰好分别是：1,1.2,3,5,8,.这也恰好正是斐波那契数列，稍稍分析我们便可以写出它的通项表达式，Zcin-i, 其(n= 0,1,2,3,...)其中kun+1=i= o这里【α表示不超过α的最大整数，且约定Cn=1,Cmn= 0,若 n<m 的话.直观的表示可以通过下面的图3-—2显现：.5c!...CzctCC2k.02k-C2Ca2kC1Ci.Uzk+1·26图3-2从图表中我们已经看到：f1=1，f，=1，余下的只须验证这些斜线上诸数和f满足：39
fn=fn-1+fn-r(n≥3)粗略地看，位于第n一2条递升对角线上的诸数是：Con-s Cin-4, C"位于第n一1条递升对角线上的诸数是：Cn-1, Cin-, C"n-...而它们的和是：C'n-2+(Cn-3 +Cin-s) + (Cin-+C2n-) +...注意到组合等式Ckm+Cmk+=Ck+/m+1,显然上式即为：C n-i +Cin-- +C"n-s +它恰为第n条递升对角线上的诸数和fn。更为精细的证明应分n为奇数或偶数两种情形考虑：（1）若n是偶数，设n=2k(k=1,2,3，),则fu= fzx = C2k+1+(C2k + C"2k-1 + C2k-2 + **. +C*k+1)而 fak-1=Czk+(C"zk-1+Czk-- ++Ckk),fak--= (Ck-1 +Cl2k--+C"2k-- +.".+Ckk-i)比较三个圆括号内的诸项（分别有k项）之间有关系：Crm = Crm-1 +Cr-1m-1(r = 1,2, .,k; m= 2k,2k-1,...,k+1)又C2k+=C2k，故有fa=f2k-+f2k-: