第1课时直线与平面垂直的判定定理 课后·训练提升 基础巩固 1若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线( A平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能 答案D 2.在三棱锥SABC中，SA=SB=SC,则点S在平面ABC上的射影一定在(). A.BC边的中线上B.BC边的高线上 C.BC边的垂直平分线上 D.∠BAC的平分线上 答案 解析如图，设点S在平面ABC上的射影为点O,连接OA,OB,OC, 则SOL平面ABC 因为SA=SB=SC, 所以OA=OB=OC, 所以O为△ABC的外心， 所以点S在平面ABC上的射影一定在BC边的垂直平分线上. 3.如图①，在正方形ABCD中，E,F分别为BC,CD的中点，G为EF的中点，现在沿AE,AF及 EF,把这个正方形折成一个空间图形，使B,C,D三点重合，重合后的点记为H,如图②所示，则下 列结论正确的是() ① ② A.AH⊥平面EFHB.AG⊥平面EFH C.HF⊥平面AEF D.HG⊥平面AEF 答案A 解析依题意，AH⊥HF,AH⊥HE, 所以AH⊥平面EFH 4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C中，∠BAC-90°，下列能使AC⊥BC的是()
第 1 课时 直线与平面垂直的判定定理 课后· 基础巩固 1.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等,则这两条直线( ). A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能 答案 D 2.在三棱锥 S-ABC 中,SA=SB=SC,则点 S 在平面 ABC 上的射影一定在( ). A.BC 边的中线上 B.BC 边的高线上 C.BC 边的垂直平分线上 D.∠BAC 的平分线上 答案 C 解析如图,设点 S 在平面 ABC 上的射影为点 O,连接 OA,OB,OC, 则 SO⊥平面 ABC. 因为 SA=SB=SC, 所以 OA=OB=OC, 所以 O 为△ABC 的外心, 所以点 S 在平面 ABC 上的射影一定在 BC 边的垂直平分线上. 3.如图①,在正方形 ABCD 中,E,F 分别为 BC,CD 的中点,G 为 EF 的中点,现在沿 AE,AF 及 EF,把这个正方形折成一个空间图形,使 B,C,D 三点重合,重合后的点记为 H,如图②所示,则下 列结论正确的是( ). A.AH⊥平面 EFH B.AG⊥平面 EFH C.HF⊥平面 AEF D.HG⊥平面 AEF 答案 A 解析依题意,AH⊥HF,AH⊥HE, 所以 AH⊥平面 EFH. 4.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,下列能使 A1C⊥BC1 的是( )
A.AB=AC B.AA=AC C.BB1=AB D.CCI=BC 答案B 解桐在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC-90°，即AB⊥AC,又A41⊥AB,A4∩AC=A, 所以AB⊥平面AA1C1C 又A1CC平面AA1CC,所以AB⊥A1C.如图，连接AC, 若AA1=AC,则矩形AAC1C为正方形，所以A1C⊥AC1. 又AB∩AC=A,所以A1C⊥平面ABC. 又BC1C平面ABC,所以A1C⊥BC. 5.在三棱锥PABC中，点O是点P在底面ABC内的射影若点P满足以下两种情形：①点P 到△ABC三边的距离相等；②PA,PB,PC与底面ABC所成的角相等则点O分别是△4BC的 ( A重心，垂心 B.内心，外心 C内心，垂心 D.垂心，外心 答案邮 解桐若点P到△ABC三边的距离相等，则点O到△ABC三边的距离相等，故点O是△ABC的 内心；若PA,PB,PC与底面ABC所成的角相等，则，点O到点A,B,C的距离相等，故点O是 △ABC的外心 6.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC,此图形中有个直角三角 形 答案 解析：PA⊥平面ABC, .:PA⊥ACPA⊥ABPA⊥BC :AC⊥BC,且PA0AC=A
A.AB=AC B.AA1=AC C.BB1=AB D.CC1=BC 答案 B 解析在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,即 AB⊥AC,又 AA1⊥AB,AA1∩AC=A, 所以 AB⊥平面 AA1C1C. 又 A1C⊂平面 AA1C1C,所以 AB⊥A1C.如图,连接 AC1, 若 AA1=AC,则矩形 AA1C1C 为正方形,所以 A1C⊥AC1. 又 AB∩AC1=A,所以 A1C⊥平面 ABC1. 又 BC1⊂平面 ABC1,所以 A1C⊥BC1. 5.在三棱锥 P-ABC 中,点 O 是点 P 在底面 ABC 内的射影.若点 P 满足以下两种情形:①点 P 到△ABC 三边的距离相等;②PA,PB,PC 与底面 ABC 所成的角相等.则点 O 分别是△ABC 的 ( ). A.重心,垂心 B.内心,外心 C.内心,垂心 D.垂心,外心 答案 B 解析若点 P 到△ABC 三边的距离相等,则点 O 到△ABC 三边的距离相等,故点 O 是△ABC 的 内心;若 PA,PB,PC 与底面 ABC 所成的角相等,则点 O 到点 A,B,C 的距离相等,故点 O 是 △ABC 的外心. 6.如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,PA⊥平面 ABC,此图形中有 个直角三角 形. 答案 4 解析∵PA⊥平面 ABC, ∴PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC, ∵AC⊥BC,且 PA∩AC=A
:BC⊥平面PAC,:BC⊥PC 综上知△ABC,△PAC,△PAB,△PBC都是直角三角形，共有4个. 7.如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3,AB=5,BC=4,A41=4,D是AB的 中点. D (1)求证：AC⊥BC; (2)求证：AC1∥平面CDB1. 证明1)：AC=3,4B=5,BC=4, .:在△ABC中，AC2+BC2=AB2,AC⊥BC 又CC⊥平面ABC,ACc平面ABC,:AC⊥CC1. 又BCnCC=C,,:AC⊥平面BCC1B1. BC1C平面BCCB1,:AC⊥BC. (2)设B1C交BC1于点E,则点E为BC的中点，连接DE(图略)，又D是AB中点，则在△ABC1 中，DE∥AC1.又DEC平面CDB1,AC1t平面CDB1, .AC1∥平面CDB1. 8.如图，AB为圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M为圆周上不同于点A,B的任意一 点，AN⊥PM,N为垂足 (I)求证：AN⊥平面PBM (2)若AQ⊥PB,垂足为Q,求证：NQ⊥PB. 证明1)：AB为圆O的直径，：AM LBM. 又PA⊥平面ABM,.:PA⊥BM 又PAMM=A,:BM⊥平面PAM 又ANc平面PAM,.:BM⊥AN 又AN⊥PM,BM∩PM=M,.:AN⊥平面PBM (2)由(1)知AN⊥平面PBM 又PBC平面PBM,.AW⊥PB 又AQ⊥PB,ANn4Q=A,:PB⊥平面ANQ 又NQc平面ANQ,NQ⊥PB. 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面是边长为1的菱形，∠ ADC=60°，PA-VZ,M是PB的中点
∴BC⊥平面 PAC,∴BC⊥PC. 综上知△ABC,△PAC,△PAB,△PBC 都是直角三角形,共有 4 个. 7.如图,已知在侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,AB=5,BC=4,AA1=4,D 是 AB 的 中点. (1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1. 证明(1)∵AC=3,AB=5,BC=4, ∴在△ABC 中,AC2+BC2=AB2 ,∴AC⊥BC. 又 CC1⊥平面 ABC,AC⊂平面 ABC,∴AC⊥CC1. 又 BC∩CC1=C,∴AC⊥平面 BCC1B1. ∵BC1⊂平面 BCC1B1,∴AC⊥BC1. (2)设 B1C 交 BC1 于点 E,则点 E 为 BC1 的中点,连接 DE(图略),又 D 是 AB 中点,则在△ABC1 中,DE∥AC1.又 DE⊂平面 CDB1,AC1⊄平面 CDB1, ∴AC1∥平面 CDB1. 8.如图,AB 为圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在的平面,M 为圆周上不同于点 A,B 的任意一 点,AN⊥PM,N 为垂足. (1)求证:AN⊥平面 PBM; (2)若 AQ⊥PB,垂足为 Q,求证:NQ⊥PB. 证明(1)∵AB 为圆 O 的直径,∴AM⊥BM. 又 PA⊥平面 ABM,∴PA⊥BM. 又 PA∩AM=A,∴BM⊥平面 PAM. 又 AN⊂平面 PAM,∴BM⊥AN. 又 AN⊥PM,BM∩PM=M,∴AN⊥平面 PBM. (2)由(1)知 AN⊥平面 PBM, 又 PB⊂平面 PBM,∴AN⊥PB. 又 AQ⊥PB,AN∩AQ=A,∴PB⊥平面 ANQ. 又 NQ⊂平面 ANQ,∴NQ⊥PB. 9.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面是边长为 1 的菱形,∠ ADC=60°,PA=√2,M 是 PB 的中点
(I)求证：PD∥平面ACM, (2)求直线CM与平面PAB所成角的正弦值 (I)证明如图，连接BD,交AC于点O,连接OM 因为底面ABCD是菱形，所以O是BD的中点 又M是PB的中点，所以OM∥PD.又OMC平面ACM,PDt平面ACM,所以PD∥平面ACM (2属如图，取AB的中点E,连接ME,CE, 由题意可知，△ACB是等边三角形，所以CE⊥AB. 国为M是PB的中点，E是AB的中点，所以ME∥PA,ME=PA 又PA⊥平面ABCD,所以ME⊥平面ABCD,所以ME⊥CE. 又AB∩ME=E,所以CE⊥平面PAB, 所以∠CME是直线CM与平面PAB所成的角. 因为MEPA受CE 所以CM=CE2+ME=界 所以sn∠CME器-=雪 拓展提高 L.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC,则下列结论不正确的是 (） A.CD∥平面PAF B.DF⊥平面PAF C.CF∥平面PAB D.CF⊥平面PAD 答案D
(1)求证:PD∥平面 ACM; (2)求直线 CM 与平面 PAB 所成角的正弦值. (1)证明如图,连接 BD,交 AC 于点 O,连接 OM. 因为底面 ABCD 是菱形,所以 O 是 BD 的中点. 又 M 是 PB 的中点,所以 OM∥PD.又 OM⊂平面 ACM,PD⊄平面 ACM,所以 PD∥平面 ACM. (2)解如图,取 AB 的中点 E,连接 ME,CE, 由题意可知,△ACB 是等边三角形,所以 CE⊥AB. 因为 M 是 PB 的中点,E 是 AB 的中点,所以 ME∥PA,ME=1 2 PA. 又 PA⊥平面 ABCD,所以 ME⊥平面 ABCD,所以 ME⊥CE. 又 AB∩ME=E,所以 CE⊥平面 PAB, 所以∠CME 是直线 CM 与平面 PAB 所成的角. 因为 ME=1 2 PA=√2 2 ,CE=√3 2 , 所以 CM=√𝐶𝐸2 + 𝑀𝐸2 = √5 2 , 所以 sin∠CME=𝐶𝐸 𝐶𝑀 = √15 5 . 拓展提高 1.如图,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC,则下列结论不正确的是 ( ). A.CD∥平面 PAF B.DF⊥平面 PAF C.CF∥平面 PAB D.CF⊥平面 PAD 答案 D
解标在正六边形ABCDEF中，易知CD∥AF,DF⊥AF,CF∥AB,由线面平行的判定定理，可知 CD∥平面PAF,CF∥平面PAB,故A,C正确.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥DF,又DF⊥ AF,PA∩AF=A,所以DF⊥平面PAF,故B正确. 易知CF与AD不垂直，故D错误故选D 2.在长方体ABCD-A41B1CD1中，正方形ABCD的面积为16，AC与平面BB1CC所成的角为 30°，则该长方体的体积为(). A.64 B.64V2 C.48v2 D.64v3 答案B 解析因为正方形ABCD的面积为16，所以AB=BC=4.如图，连接BC1,因为AB⊥平面BB1C1C 所以∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角，所以∠AC1B=30°，所以BC1=4v3,所以 CC=BC2-BC2=4V2 所以该长方体的体积V=16×4vZ-64vZ. 3.在正方体ABCD-A1B1CD1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1, 则动点P一定() A在线段B1C上 B.在线段BC上 C.在BB1的中点与CC的中点连成的线段上 D.在BC的中点与B1C1的中点连成的线段上 答案A 解析如图，易知BD1⊥平面AB1C,故点P一定位于B1C上 D 4在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别是侧面A4D1D与底面ABCD的中心 则下列说法：①DF∥平面DEB1;②异面直线DF与B1C所成的角为60°；③ED1与平面 B1DC垂直；④N.cDB=1立 其中错误的个数为) A.0 B.1 C.2 D.3 答案A
解析在正六边形 ABCDEF 中,易知 CD∥AF,DF⊥AF,CF∥AB,由线面平行的判定定理,可知 CD∥平面 PAF,CF∥平面 PAB,故 A,C 正确.因为 PA⊥平面 ABC,所以 PA⊥DF,又 DF⊥ AF,PA∩AF=A,所以 DF⊥平面 PAF,故 B 正确. 易知 CF 与 AD 不垂直,故 D 错误.故选 D. 2.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,正方形 ABCD 的面积为 16,AC1 与平面 BB1C1C 所成的角为 30°,则该长方体的体积为( ). A.64 B.64√2 C.48√2 D.64√3 答案 B 解析因为正方形 ABCD 的面积为 16,所以 AB=BC=4.如图,连接 BC1,因为 AB⊥平面 BB1C1C, 所以∠AC1B 为 AC1 与平面 BB1C1C 所成的角,所以∠AC1B=30°,所以 BC1=4√3,所以 CC1=√𝐵𝐶1 2 -𝐵𝐶2=4√2. 所以该长方体的体积 V=16×4√2=64√2. 3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且总保持 AP⊥BD1, 则动点 P 一定( ). A.在线段 B1C 上 B.在线段 BC1 上 C.在 BB1 的中点与 CC1 的中点连成的线段上 D.在 BC 的中点与 B1C1 的中点连成的线段上 答案 A 解析如图,易知 BD1⊥平面 AB1C,故点 P 一定位于 B1C 上. 4.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是侧面 AA1D1D 与底面 ABCD 的中心, 则下列说法:①DF∥平面 D1EB1;②异面直线 DF 与 B1C 所成的角为 60°;③ED1 与平面 B1DC 垂直;④𝑉𝐹-𝐶𝐷𝐵1 = 1 12. 其中错误的个数为( ). A.0 B.1 C.2 D.3 答案 A