第1课时平面与平面垂直的判定定理 课后·训练提升 基础巩固 1从空间一点P向二面角--B的两个半平面a,B所在的平面分别作垂线PE,PF,E,F为垂足， 若∠EPF=60°，则该二面角的平面角的大小为(). A.60° B.120° C.60°或120°D.不确定 客案 2.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点（不同于点A,B),PA=AC,则二面 角P-BC-A的大小为() A.60° B.30° C.45° D.15 答案 解析由题意，易知∠PCA是二面角P-BC-A的平面角. 在Rt△PAC中，PA=AC,所以∠PCA=45° 3.如图，在四面体P-ABC中，PA=PB=PC,△ABC为等腰直角三角形AC=BC,O为AB的中点.下 列说法错误的是(). A.平面PAB⊥平面ABC B.平面PAB⊥平面POC C.平面POC⊥平面ABC D.平面PCA⊥平面PCB 答案D 解桐因为PA=PB,AC=BC,O为AB的中点，所以POLAB,CO⊥AB. 又POnCO=O,所以AB⊥平面POC. 又ABC平面PAB,ABC平面ABC,所以平面PAB⊥平面POC,平面POC⊥平面ABC.故B,C正 确. 因为△ABC为等腰直角三角形，O为AB的中点， 所以AO=CO 又PA=PC,所以△PAO≌△PCO,所以∠POA=∠POC=90°，即POLCO. 又PO⊥AB,ABNCO=O,所以PO⊥平面ABC 又POC平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABC 故A正确.故选D
第 1 课时 平面与平面垂直的判定定理 课后· 基础巩固 1.从空间一点 P 向二面角 α-l-β 的两个半平面 α,β 所在的平面分别作垂线 PE,PF,E,F 为垂足, 若∠EPF=60°,则该二面角的平面角的大小为( ). A.60° B.120° C.60°或 120° D.不确定 答案 C 2.如图,AB 是圆的直径,PA 垂直于圆所在的平面,C 是圆上一点(不同于点 A,B),PA=AC,则二面 角 P-BC-A 的大小为( ). A.60° B.30° C.45° D.15° 答案 C 解析由题意,易知∠PCA 是二面角 P-BC-A 的平面角. 在 Rt△PAC 中,PA=AC,所以∠PCA=45°. 3.如图,在四面体 P-ABC 中,PA=PB=PC,△ABC 为等腰直角三角形,AC=BC,O 为 AB 的中点.下 列说法错误的是( ). A.平面 PAB⊥平面 ABC B.平面 PAB⊥平面 POC C.平面 POC⊥平面 ABC D.平面 PCA⊥平面 PCB 答案 D 解析因为 PA=PB,AC=BC,O 为 AB 的中点,所以 PO⊥AB,CO⊥AB. 又 PO∩CO=O,所以 AB⊥平面 POC. 又 AB⊂平面 PAB,AB⊂平面 ABC,所以平面 PAB⊥平面 POC,平面 POC⊥平面 ABC.故 B,C 正 确. 因为△ABC 为等腰直角三角形,O 为 AB 的中点, 所以 AO=CO. 又 PA=PC,所以△PAO≌△PCO,所以∠POA=∠POC=90°,即 PO⊥CO. 又 PO⊥AB,AB∩CO=O,所以 PO⊥平面 ABC, 又 PO⊂平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 ABC. 故 A 正确.故选 D
4.如图，四棱锥P-ABCD的底面为菱形，PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上，下列说法错误的是 () A.当且仅当E为PB的中点时.平面PBD⊥平面AEC B.当E在棱PB上移动时，总有平面PBD⊥平面AEC C.当且仅当E为PB的中点时，平面AEC⊥平面ABCD D.若AE⊥PB,则平面AEC⊥平面PBC 答案A 解桐因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD, 又PD⊥底面ABCD.所以PD⊥AC 又PD∩BD=D.所以AC⊥平面PBD 又ACC平面AEC,所以平面AEC⊥平面PBD 故当E在棱PB上移动时，总有平面PBD⊥平面AEC 故A错误故选A 5.如图，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折起，形成一个二面角，此时∠ B'AC=60°，则这个二面角大小是(). A.30° B.45° C.60° D.90° 含案D 解析如图，连接BC,则△ABC为等边三角形， D B 由题意可知，∠B'DC为所求二面角的平面角. 设AD=a,则B'C=AC=VZa,B'D=DC=a, 所以B'C2=B'D2+DC2, 所以∠BDC=90°.故选D. 6.如图，在四面体P-ABC中，△ABC与△PBC均为边长为2的正三角形，PA=3,D为PA的中点， 则二面角D-BCA的大小为
4.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面为菱形,PD⊥底面 ABCD,点 E 在棱 PB 上,下列说法错误的是 ( ). A.当且仅当 E 为 PB 的中点时,平面 PBD⊥平面 AEC B.当 E 在棱 PB 上移动时,总有平面 PBD⊥平面 AEC C.当且仅当 E 为 PB 的中点时,平面 AEC⊥平面 ABCD D.若 AE⊥PB,则平面 AEC⊥平面 PBC 答案 A 解析因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD. 又 PD⊥底面 ABCD,所以 PD⊥AC. 又 PD∩BD=D,所以 AC⊥平面 PBD. 又 AC⊂平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 PBD. 故当 E 在棱 PB 上移动时,总有平面 PBD⊥平面 AEC. 故 A 错误.故选 A. 5.如图,将等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折起,形成一个二面角,此时∠ B'AC=60°,则这个二面角大小是( ). A.30° B.45° C.60° D.90° 答案 D 解析如图,连接 B'C,则△AB'C 为等边三角形. 由题意可知,∠B'DC 为所求二面角的平面角. 设 AD=a,则 B'C=AC=√2a,B'D=DC=a, 所以 B'C2=B'D2+DC2 , 所以∠B'DC=90°.故选 D. 6.如图,在四面体 P-ABC 中,△ABC 与△PBC 均为边长为 2 的正三角形,PA=3,D 为 PA 的中点, 则二面角 D-BC-A 的大小为
答案60° 解析如图，取BC的中点E,连接EA,ED,EP :"△ABC与△PBC均为边长为2的正三角形， .:BC⊥AE,BC⊥PE 又AE∩PE=E,.:BC⊥平面PAE 又DEC平面PAE,:BC⊥DE, ,:∠AED为二面角DBCA的平面角， 由题意，可知AE=PE-√3，又D为PA的中点， DELPA,.AD-PA-是 ,n∠AED是=是 显然∠AED为锐角，：∠AED=60°， 即二面角D-BC-A的大小为60°. 7.如图，在三棱锥P-ABC中，D,E分别为PC,AC的中点，BA=BC,PA⊥AC 求证：平面BDE⊥平面PAC 证明：D,E分别为PC,AC的中点，：DE∥PA 又PA⊥AC,:DE⊥AC BA=BC,E为AC的中点，：BE⊥AC 又BEODE=E,.:AC⊥平面BDE. 又ACC平面PAC,:平面BDE⊥平面PAC 8.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA ⊥底面ABCD,PA=V3
答案 60° 解析如图,取 BC 的中点 E,连接 EA,ED,EP. ∵△ABC 与△PBC 均为边长为 2 的正三角形, ∴BC⊥AE,BC⊥PE. 又 AE∩PE=E,∴BC⊥平面 PAE. 又 DE⊂平面 PAE,∴BC⊥DE, ∴∠AED 为二面角 D-BC-A 的平面角. 由题意,可知 AE=PE=√3,又 D 为 PA 的中点, ∴DE⊥PA,AD=1 2 PA=3 2 , ∴sin∠AED=𝐴𝐷 𝐴𝐸 = √3 2 . 显然∠AED 为锐角,∴∠AED=60°, 即二面角 D-BC-A 的大小为 60°. 7.如图,在三棱锥 P-ABC 中,D,E 分别为 PC,AC 的中点,BA=BC,PA⊥AC. 求证:平面 BDE⊥平面 PAC. 证明∵D,E 分别为 PC,AC 的中点,∴DE∥PA. 又 PA⊥AC,∴DE⊥AC. ∵BA=BC,E 为 AC 的中点,∴BE⊥AC. 又 BE∩DE=E,∴AC⊥平面 BDE. 又 AC⊂平面 PAC,∴平面 BDE⊥平面 PAC. 8.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BCD=60°,E 是 CD 的中点,PA ⊥底面 ABCD,PA=√3
(I)证明：平面PBE⊥平面PAB; (2)求二面角A-BE-P的平面角的大小 (I证明连接BD(图略)，因为四边形ABCD是菱形，∠BCD-60°，所以△BCD是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以BE⊥CD 又AB∥CD,所以BE⊥AB. 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BE 又PA∩AB=A,所以BE⊥平面PAB. 又BEC平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB. (2解由(I)知，BE⊥平面PAB,所以BE⊥PB. 又AB⊥BE 所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角， 在RIAPAB中，an∠PBA沿=V3, 所以∠PBA=60° 故二面角A-BE-P的平面角的大小是60° 9.图①是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1,BE=BF=2,∠ FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合，连接DG,如图②所示. 图① 图② (I)证明：图②中的A,C,G,D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE, (2)求图②中的四边形ACGD的面积 (I证明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面，从而A,C,G,D四 点共面 由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE. 又因为ABC平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE. G (2)解如图，取CG的中点M,连接EM,DM 因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE, 所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG 由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60°，得EM⊥CG, 故CG⊥平面DEM 因此DM⊥CG. 在Rt△DEM中.DE=1,EM=V3.故DM=2
(1)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (2)求二面角 A-BE-P 的平面角的大小. (1)证明连接 BD(图略),因为四边形 ABCD 是菱形,∠BCD=60°,所以△BCD 是等边三角形. 因为 E 是 CD 的中点,所以 BE⊥CD. 又 AB∥CD,所以 BE⊥AB. 因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BE. 又 PA∩AB=A,所以 BE⊥平面 PAB. 又 BE⊂平面 PBE,所以平面 PBE⊥平面 PAB. (2)解由(1)知,BE⊥平面 PAB,所以 BE⊥PB. 又 AB⊥BE, 所以∠PBA 是二面角 A-BE-P 的平面角. 在 Rt△PAB 中,tan∠PBA=𝑃𝐴 𝐴𝐵 = √3, 所以∠PBA=60°. 故二面角 A-BE-P 的平面角的大小是 60°. 9.图①是由矩形 ADEB,Rt△ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形,其中 AB=1,BE=BF=2,∠ FBC=60°.将其沿 AB,BC 折起使得 BE 与 BF 重合,连接 DG,如图②所示. 图① 图② (1)证明:图②中的 A,C,G,D 四点共面,且平面 ABC⊥平面 BCGE; (2)求图②中的四边形 ACGD 的面积. (1)证明由已知得 AD∥BE,CG∥BE,所以 AD∥CG,故 AD,CG 确定一个平面,从而 A,C,G,D 四 点共面. 由已知得 AB⊥BE,AB⊥BC,故 AB⊥平面 BCGE. 又因为 AB⊂平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 BCGE. (2)解如图,取 CG 的中点 M,连接 EM,DM. 因为 AB∥DE,AB⊥平面 BCGE, 所以 DE⊥平面 BCGE,故 DE⊥CG. 由已知,四边形 BCGE 是菱形,且∠EBC=60°,得 EM⊥CG, 故 CG⊥平面 DEM. 因此 DM⊥CG. 在 Rt△DEM 中,DE=1,EM=√3,故 DM=2
所以四边形ACGD的面积为4. 拓展提高 1如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A,B),PA垂直于圆O所在的平面，M为PB的 中点，下列结论正确的是( A.PA∥平面MOB B.平面MOC⊥平面PAB C.OC⊥平面PAC D.平面PAC⊥平面PBC 含案D 解析PAC平面MOB,故A错误： 当点C在圆周上运动时，平面MOC与平面PAB不一定垂直，故B错误； 因为AB为圆O的直径，所以BC⊥AC,又PA⊥平面ABC,BCC平面ABC, 所以PA⊥BC,又PAn4C=A, 所以BC⊥平面PAC,所以OC与平面PAC不垂直，故C错误， 又BCC平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC,故D正确」 2.(多选题)如图，梯形ABCD中，AD∥BC,AD=AB=1,ADLAB,∠BCD=45°，E是BD的中点，将 △ABD沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为点A,并且A'E⊥平面BCD.下列说法正确 的是() A.AD⊥BC B.三棱锥ABCD的体积为号 C.CD⊥平面A'BD D.平面A'BC⊥平面A'DC 客案D 解析在梯形ABCD中，AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,则∠DBC=∠ADB=45°. A 又∠BCD=45°， 故△BCD为等腰直角三角形，BD⊥CD. 如图，因为A'E⊥平面BCD,CDC平面BCD, 所以A'E⊥CD,又A'E∩BD=E,所以CD⊥平面A'BD,故C正确
所以四边形 ACGD 的面积为 4. 拓展提高 1.如图,AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆周上(异于点 A,B),PA 垂直于圆 O 所在的平面,M 为 PB 的 中点,下列结论正确的是( ). A.PA∥平面 MOB B.平面 MOC⊥平面 PAB C.OC⊥平面 PAC D.平面 PAC⊥平面 PBC 答案 D 解析 PA⊂平面 MOB,故 A 错误; 当点 C 在圆周上运动时,平面 MOC 与平面 PAB 不一定垂直,故 B 错误; 因为 AB 为圆 O 的直径,所以 BC⊥AC,又 PA⊥平面 ABC,BC⊂平面 ABC, 所以 PA⊥BC,又 PA∩AC=A, 所以 BC⊥平面 PAC,所以 OC 与平面 PAC 不垂直,故 C 错误; 又 BC⊂平面 PBC,所以平面 PAC⊥平面 PBC,故 D 正确. 2.(多选题)如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,∠BCD=45°,E 是 BD 的中点,将 △ABD 沿对角线 BD 折起,设折起后点 A 的位置为点 A',并且 A'E⊥平面 BCD.下列说法正确 的是( ). A.A'D⊥BC B.三棱锥 A'-BCD 的体积为√2 2 C.CD⊥平面 A'BD D.平面 A'BC⊥平面 A'DC 答案 CD 解析在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,则∠DBC=∠ADB=45°. 又∠BCD=45°, 故△BCD 为等腰直角三角形,BD⊥CD. 如图,因为 A'E⊥平面 BCD,CD⊂平面 BCD, 所以 A'E⊥CD,又 A'E∩BD=E,所以 CD⊥平面 A'BD,故 C 正确