《流体力学》课程教学资源（PPT讲稿）第3章 流体流动的基本方程

3 流体流动的 山东理工大学 基本方程 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 质点加速度： a= du ou dt Ot +(aV)a 当地加速度 迁移加速度 a =0 定常流动： (v.7)=0 均匀流动 8t

山东理工大学 3 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 流体流动的 基本方程 当地加速度 质点加速度： 迁移加速度 = 0   t ——定常流动； (v ) = 0 ——均匀流动 a ( ) du u u u dt t  = = +  

3 流体流动的 山东理工大学 基本方程 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY d拉 a- ou +(i.7)d D() dt Ot Dt 括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量，如密度、 温度、压强，可以是标量，也可以是矢量。 压强的质点导数 Dp_ +()p Dt at 密度的质点导数 De_ e+(u.V)p Dt ot 全导数 () 当地导数 Dt 8t (i●7)() 迁移导数

山东理工大学 3 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 流体流动的 基本方程 a ( ) du u u u dt t  = = +   ( ) D u Dt t     = +   密度的质点导数 压强的质点导数 ( ) Dp p u p Dt t  = +   ( )( ) ( ) D D( ) + •   = V t t  括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量，如密度、 温度、压强，可以是标量，也可以是矢量。 Dt D( ) 全导数 t ( ) 当地导数 ( )( ) u •  迁移导数

3 流体流动的 山东理工大学 基本方程 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 三、欧拉法的优越性 1.利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具 来研究。 2.采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加 速度是二阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏 微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方 程比二阶偏微分方程求解容易。 3.在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。基于上 述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。 拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中方便

山东理工大学 3 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 流体流动的 基本方程 三、欧拉法的优越性 3.在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。基于上 述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。 1.利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具 来研究。 2.采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加 速度是二阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏 微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方 程比二阶偏微分方程求解容易。 拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中方便

3 流体流动的 山东理工大学 基本方程 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 两种方法的对比 拉格朗日法 欧拉法 分别描述有限质点的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数 表达式复杂 表达式简单 不能直接反映参数的空间分布 直接反映参数的空间分布 不适合描述流体元的运动变形特性 适合描述流体元的运动变形特性 拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析方法

山东理工大学 3 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 流体流动的 基本方程 两种方法的对比 拉格朗日法 欧拉法 分别描述有限质点的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数 表达式复杂 表达式简单 不能直接反映参数的空间分布 直接反映参数的空间分布 不适合描述流体元的运动变形特性 适合描述流体元的运动变形特性 拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析方法

3 流体流动的 山东理工大学 基本方程 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY v.=t 【例题】已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为 vy =kt 求：在t=0时刻位于点（a,b)的流体质点的运动轨迹。 本例说明虽然给出的是速度分布 解：对某时刻位于坐标点上cy)的质点 式（欧拉法），即各空间点上速 d 度分量随时间的变化规律，仍然 V= =1 x- 2+C dt 可由此求出指定流体质点在不同 dy 求解一阶常微分方程可得 时刻经历的空间位置，即运动轨 ,= =kI y= dr 2 迹（拉格朗日法）。 c1,c2为积分常数，由t=0时刻流体质点位于x=a,y=b可确定c1=a,c2=b 代入上式，可得参数形式的流体质点轨迹方程为 x- t +a 2 2+b

山东理工大学 3 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 流体流动的 基本方程 【例题】已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为    = = v kt v t y x 求：在t = 0时刻位于点（a,b）的流体质点的运动轨迹。 解：对某时刻t 位于坐标点上(x,y)的质点        = = = = kt t y v t t x v y x d d d d 求解一阶常微分方程可得        = + = + 2 2 1 2 2 2 1 t c k y x t c c1 ，c2 为积分常数，由t = 0时刻流体质点位于 x=a, y=b 可确定c1=a, c2=b 代入上式，可得参数形式的流体质点轨迹方程为 t b k y x t a = + = + 2 2 2 2 1 本例说明虽然给出的是速度分布 式（欧拉法），即各空间点上速 度分量随时间的变化规律，仍然 可由此求出指定流体质点在不同 时刻经历的空间位置，即运动轨 迹（拉格朗日法）