$1.3直线运动11L1+L+L2+IL (U2 )t0,[1%(]UUU01iUU2to,1,3.n()1-LL即0102V1"1-U1（）=1-02或T把n换成t，得VI-V2.I02lg01上式表明，当免子追上乌龟时普通时芝诺时→8，芝诺的论证得到解释U-V2可见，时间与时间的量度不同，同一过程，采用不同的时间量度方法，得到的时间值不同同一龟免赛跑过程，普通时可以量度，芝诺时无法量度，（那么，对普通时无法量度的过程，采用另一种量度法会不会变得可以量度了呢？）例2上抛运动，物体从离地面高H=4.9m处以初速v。=9.8m/s竖直上抛，求落地时间与速度.（设g=9.8m/s)解：设物体经时间t后到达最高点，则有yVo-gt,=0109.8=1s9.88-gH最高点离抛出点的距离（图1.3-5)为1h=Vot,gtiOlVg1X9.8×12m=9.8x1m2=4.9mH物体从最高点自由下落到地面所经历的时间t由下式决定：1h+H2gti2(h+H)2(4.9+4.9)，=/2s~1.41s9.8g落地时的速度为图1.3-5=gtz=9.8/2m/s=13.9m/s落地时间为t=t1+t,=1s+/2s=2.41s.如果我们用坐标法解本题，将简洁得多，以抛出点为原点，取y轴竖直向上，如图1.3-5
第一章质点运动学12则落地时间t由下式决定：1-H=vot2gt-4.9=9.8t-4.9t2即t=(1±/2) s解得舍去负根得t=(1+/2)s=2.41s落地速度为U=Ug-gt=9.8m/s-9.8×(1+/2)m/s=-9.8/2m/s=-13.9m/s负号表示落地速度方向与坐标轴正向相反，竖直向下，（你能说出舍去的时间负根的意义吗？）例3一般变速直线运动.在离水面高度为h的岸上，一人用绳索跨过定滑轮拉船靠岸，如图1.3-6所示，人以恒定速率u拉绳，求当绳与水面成角时船的速度与加速度，0uAeh0+4BAxA图1.3-6解：船既不作匀速运动，又不作勾加速运动，所以只能从定义出发求船的速度与加速度设经△t时间后，船从现在的位置A到达B，AB=Az：在这段时间内绳收缩了u△t=AO-BO=AA其中BO=AO.当△t→0时，ZAOB=△80,ZBA'A~-，于是有AA'=uAt~Arcos于是船的速度为=Jim会=cOs8At（有人误以为船速为收绳速度的投影，即=ucosS，其实恰恰相反，收绳速度才是船速的投影，即u=vcose)可见随6而变，在△时间内速度的改变量为uuDu=cos(+)cOS6将上式展开，并略去二级以上小量，可得cos-cosOcoso+sinOsin8AV=cos(+0)cos
$1.4曲线运动及其在直角坐标系中的表示地体运动13usinocose故船的加速度为Au46usingimamcosimAt但BAuttang20OBh/sinusinutang因此2cosh/sinutan"oh81.4曲线运动及其在直角坐标系中的表示抛体运动?1.曲线运动的失量描述质点的位矢和运动学方程当质点作一般运动时，在直角坐标系中，质点的位置可用三个坐标元、y、之表示，且其坐标是时间的函数：z=z(t)(1.4 - 1)a=x(t),y= y(t),这就是质点的运动学方程，质点在运动过程中一般将描出一条曲线，称为轨迹，从（1.4-1）式中消去参变量t，便可得到质点运动的轨迹方程.当坐标系改变（尽管参考系不变）时，质点的运动学方程也随之改变质点的位置也可以用从坐标原点O指向质点P的有向线段OP来表示（图1.4-1)，OP的长度给出了质点到O点的距离，OP的方向由方向余弦cosα、cosβ和cos决定，由于cosα + cosβ + cos = 1故OP仍由三个参量决定，有向线段常称失量，OP表示质点P的位置，称为位置矢量，简称位矢，用表示：矢量既有大小又有方向，其大小用长度表示，常称矢量的模，方向则用其方位和箭头表示，当质点运动时，位失的大小和方向都可随时间变化，即r=r(t)(1.4-2)这也就是用位矢表示的质点运动学方程.在直角坐标系中，位矢可表示为r=r(t)i+y(t)j+z(t)k(1.4-3)其中i、j、k分别为沿、y、z方向的单位失量（其模为1的矢量）.与通常的矢量不同，位矢与坐标原点的选择有关
质点运动学第一章14图1.4-1质点的位失速度为了更具体地揭示质点运动的特征，考察位失r（t）如何随时间变化若质点在t时刻的位矢为r（t），在t+△t时刻的位矢为r（t+△t）,则称(1.4 - 4)Ar=r(t+At)-r(t)为质点在t时间间隔内的位移，它是从质y点在t时刻的位置P指向t+At时刻的位QQ置Q的失量，如图1.4-2所示.尽管位矢Ar与坐标原点选取有关，但位移与坐标原点选取无关，位移与路径不同，位移是矢量，是(+At)rt)一段有方向的（直）线段，在一般情况下，这一线段并不表示质点运动的实际轨道：路径x可以是直线，也可以是曲线，它代表了质点运动的实际轨道（图1.4-2中的PQQ。路质点的位移和路径图1.4-2径的长度常称为路程，质点在t～t+△t时间内的位移△r与产生这位移的时间间隔△t的比值，称为该时间间隔中质点的平均速度，用~表示：Ar(1.4 5)U=At平均速度不仅与t有关，平均速度也是矢量，方向与位移△r相同，大小是At而且与所取时间间隔△t的大小有关.例如当△t取较小值△t时，对应的平均速度Ar"为Ar，它们在大小与方向，当△t取更小值△"时，对应的平均速度为”AtA
1.4曲线运动及其在直角坐标系中的表示抛地体运动15上都可能与=会不同(图1.4-3)Ar'Ar"eAtAr'ArnAr0QdrAt平均速度只粗略地描述了质点从Pdt4到Q的过程中运动的快慢和方向，它不能A描述在此过程中质点运动的快慢和方向的Ar"< Ar'< Ar细致差别.当△t-→0时，上述平均速度的极限就可以精确描写t时刻质点运动的快x慢与方向，此极限称为t时刻的瞬时速度，简称速度，用表示：图1.4-3质点的平均速度和瞬时速度会=lim（+）-）u=limA--oAt-At4+0这一极限就是位矢r对时间的导数，用dr/dt或r表示于是dr=:(1.4 -6)2dt即速度是位矢对时间的导数，速度是一个矢量．由图1.4一3可见，当△t逐渐减小时，平均速度的方向逐渐与质点运动路径在P点的切线接近，在极限情况下平均速度（即瞬时速度）沿路径的切线，因而速度的方向沿质点运动路径的切向：在曲线运动中，速度的大小|=也称速率，它就是速度矢量的模，描写质点运动的快慢，加速度在一般情况下，质点的速度仍然随时间而变化，即=（t）.在t～t+△t时间间隔中速度的变化=（t+△t）-（t）与△t的比值称为该时间间隔内的平均加速度，用a表示：Au-(t+at)-v(t):a=(1.4 - 7)AtAta也是矢量，其方向与△相同，但的方向一w(t)90(t+4)般与（t）并不相同（图1.4-4）A平均加速度仅粗略描写了质点速度在△t0(t+)时间间隔内的大致变化情况.当At-→0时，平均a(t)加速度的极限称为瞬时加速度，简称加速度，用图1.4-4平均加速度和加速度α表示，它就是对时间的导数，因而也是位矢对时间的二阶导数：odudrra=lim(1.4 -8)dtd-0At它精确描述了在t时刻质点速度随时间的变化率，加速度也是一个矢量，一般而言，加速度方向与速度方向并不相同