第一章质点运动学162.位失、速度、加速度的相互关系r(t）、（t）、a（t)三者都是描写运动的物理量，与直线运动相仿，已知其中drdr任一个，结合初始条件，就可以求出其余两个，若已知r（t），则=9dtzdt.若已知(t),则a=;但如何由 (t)求r(t)？ 如果不随时间变化,则质点d作匀速直线运动，那么，只要知道t=0时刻的位失ro，不难得到r（t）：(1.4-9)r(t)-ro = ot当是时间的函数时，仿照直线运动中的情况，也将t=0到t=这段时间分为n段，相应的时刻分别记为to（=0），ti，t2，"",ti，""，tn-i，t，（=t），使每段的时间间隔△t,=ti+1一t，都很小，以致在每一段时间间隔内的速度几乎都可看作常量，并可用该段起始时刻的速度值=（t）来代表于是质点在△t,时间间隔内的位移为Ar =ri+r-=r(ti+1)-r(t)~o(t,)At=,At质点在0～t时间内的位移即为所有△r，的失量和：-YAr,=u,Atr(t)-ro ~对应的矢量图如图1.4-5所示.当所有△t：→0，上式右边的极限就精确地等于r（t）-r。，此极限就是定积分（t）dt，于是上式可写为odt(1.4-10)r(t)-ro其中=(t).At.a,At,aoAto(t)=0,rt)0Ar,toAtofo图1.4-6由a（t)求（t)图1.4-5由(t)求r(t)的矢量图示的失量图示
抛体运动81.4曲线运动及其在直角坐标系中的表示17若已知a（t）及t=0时的速度=o则有一v(t)-0o~Ca(t,)Ati-对应的失量图如图1.4一6所示.对上式右边取极限，并用定积分表示，即为adt(1.4 - 11)(t)-vo其中a=a（t).有了（t）,代入（1.4-10)式即得r（t）：udt =I'(vo+adt)dtr(t)-ro=(1.4 -12)1vo、r。即为初始条件.若a=常矢量，则质点作匀加速运动，上述积分简化为(1.4-13)v(t) = vo+ at1Mar(1.4-14)r(t)=ro+vot+质点作匀加速运动的轨迹，可以是直线，也可以是曲线，由初始条件决定，由(1.4-13)式和(1.4-14)式消去t，不难得到：2v.=2a.(r-ro)(1.4 15)3.位失、速度、加速度在直角坐标系中的表示抛体运动上面用失量形式写出了质点作曲线运动时的位失、速度和加速度的意义及它们之间的相互关系，这种形式的优点是与具体的yt坐标系无关（除位失可因原点不同而相差一个常失量外），只与参考系有关，因而以上结果对任何坐标Ar(t+△)系都适用但在具体计算时，矢量形式往往并不方便，通常将它们沿适当的坐标系的坐标轴进行分解，H即将它们写成在该坐标系中的分量形式xAr位失、速度和加速度沿直角坐标的分量不难求得，以二维为例，位失的分量式为图1.4-7位移在直角坐标系r=ri+y中的分量表示由图1.4-7不难看出：Ar = Ari + Ayi故Ar=ALiAiAtAtAt即drArArlimlim0AtdtAtAt-+0L
质点运动学第一章18dzi+ dyidtdt此结果也可直接由求导法则得到：(s)d(ri) +dr0=dtdt其中都是常失量，因而dxdy(1.416)dt2同理，da;dy(1.4 - 17)ndydt2即在直角坐标系中、drdy(1.4- 18)Uy:U.dt.dtdyd'x(1.4-19)ar=aydt?,dt?不难写出（1.4-10～1.4-12)各式在直角坐标系中的分量形式.当a，=常量，a,=常量时的相应形式可表示为Vx=Vox+art(1.4-13a)Uy=Voy+ayt12a.t3Xo =Vost+(1.4-14a)1[>- o = ot +a,?而与（1.4-15）式相应的分量式则为(-v=2a(r-xo)(1.4 -15a)(u, -v, =2a,(y-yo)这种分量形式与直线运动中的相应公式（1.3-8～1.3-13）完全相仿，只多了个脚标或而已，可见，曲线运动沿直角坐标的分解，实际上是将曲线运动看成分别沿工和方向的两个直线运动的叠加，当加速度是常失量时，这样的分解法特别方便。因为这时的两个分运动都是匀变速直线运动：忽略空气阻力情况下的抛体运动就是这种运动的一个例子，在抛体运动中，a=g，为常失量，方向竖直向下：只要将（1.4-13～1.4-15)式和（1.413a~1.4-15a）式中的a（和a）改为g（和g）.就成为描述抛体运动的公式，在抛体运动中，通常取水平方向为工轴，竖直方向为轴（向上为正），则a.=0，a,=g，这样，抛体运动简化为x方向的匀速直线运动和y方
81.4曲线运动及其在直角坐标系中的表示地体运动19向的匀变速直线运动的叠加：若初速".与水平方向（轴）成角，并取抛出点为坐标原点，则（1.4-13a~1.4-14a)式变得更简单（图1.4-8)：U=UocOs(1.4=13b)lv,=Vasin-gtrmgcoso.t(1.4 14b)1182?Uasing.tyi04U56JCOUosingHvocoseAR图1.4-8斜抛运动不难求出物体的射高和射程，物体到达最高点时，V=0.由（1.4一13b）式，可得物块到达最高点时的时间t：Uosingtig故射高Uisin'e12et?H=Vosin o-tr-(1.4-20)2g在落地点，y=0.由（1.4-14b)式可求得物块落地的时间t2：128t20=Uosin Ot2解得2.sin 0（另一根即出射时刻）t2g代人元表示式，得射程：2.sinfcos6R= Vocos o. t2g或visin20R(1.4 - 21)g可见，以一定速率抛出的物块，当9=45时射程最大由和y表示式（1.4-14b)消去t，可得轨道方程：
质点运动学第一章201g(1.4 -22)y=tane.x20acos0这是开口朝下的抛物线斜抛运动也可以直接用失量表示.由（1.4-13)式、(1.4-14)式，将r。=0，a=g代人，得v=Vo+gt12gtr=Vot+t?两部分组成，前者沿方向，后者沿g方向，如图抛体的位失由和2品1.4一9所示.利用矢量运算，也可由斜抛运动的失量表示式求出射高和射程，这里不再赞述vd2vot18r2on?Do52tei,)t)nt)斜抛运动的失量表示图1.4-9例题从地面上A、B两点各以仰角30°和60°在同一竖直平面内同时抛出两球，为使两球在各自轨道的最高点相碰，求A、B的距离，已知A点小球抛出时的初速A。=9.8m/s（图1.410)解：要使两球在最高点相碰，两球应同时达最高点，因而两球初速的竖直分量应相等：VAesin 30°=VBo sin 60°UBo=0A0//3.=9.8/3m/s由此得在A、B点两球从抛出点至最高点的水平距离分别为AO= As 30* t = Aoos 30Asin30g