Green定理舆鹰用林琦煜7“数學没有物理是瞎子，物理没有数學是跛子。(Gauss）等人也發現遣结果，Green的秸果1.前信：護我觉得非常之興畜，也更體會伽利略所學智数學的經驗告诉自己“数學是很容：易忘的”追其中的原因乃是因為我們所的数學是瞭解大自然的语言。数學是定羲，定理，證明，種三段式的数學。學数學若知道一些物理護妹（你）永遠没有動機，缺乏直觀，如此的数學如果你不不會感到孤罩。會打退堂鼓我遗的佩服，在逼篇文章我值Green定理是数攀分析中最重要的定将以直觀的角度綫何興物理的觀點來讨理之一，而在三更高難空周的推廣一Green定理。Stokes定理舆散度定理（DivergenceThe微分基本定理可説是微分最重要的orem）则樽成了鹰用数學的基。秸果之一，而線精分是一稚分的推广，因此我們周封線精分是否有相類似的糙果：2.微分基本定理“综积分兴雙重积分（doublein-微分舆分的關係道是微精分的主要房tegral)之關係為何鱼石，實際上這正是牛顿頭莱布尼兹封微精其答案是肯定的一Green定理：分最重要的貢献，透逼這個重要结果一微分基本定理（fundamentaltheoremofcal-沿著封阴曲線C之综积分可化culus)，我們明白微分分實際上是互万C所圈匾域R之一般雙重积一體雨面，彼此是互相可逆的(inverse)。分(面积分)。微分基本定理：f：[a,b]→R离一這個定理最早出現是由英國自我教育的数擎连绩函数且F'=f则物理攀家GeorgeGreen(1793-1841)[~ F(r)dr = /° f(r)da = F(b) - F(a)於1828年研究電擎（electricity）磁摩(magnetism）所發現的，當然俊來高斯(1)25
Green定理與應用 林琦焜 “數學沒有物理是瞎子, 物理沒有數學是跛子。” 1. 前言: 學習數學的經驗告訴自己“數學是很容 易忘的” 這其中的原因乃是因為我們所學的 數學是定義, 定理, 證明, 這種三段式的數學。 沒有動機, 缺乏直觀, 如此的數學如果你不 會打退堂鼓我還真的佩服, 在這篇文章我們 將以直觀的角度從幾何與物理的觀點來討論 Green 定理。 微積分基本定理可說是微積分最重要的 結果之一, 而線積分是一維積分的推廣, 因此 我們問對線積分是否有相類似的結果: “線積分與雙重積分 (double integral) 之關係為何?” 其答案是肯定的—Green 定理: 沿 著 封 閉 曲 線C之 線 積 分 可 化 為C所圍區域 R 之一般雙重積 分 (面積分)。 這個定理最早出現是由英國自我教育的數學 物理學家 George Green (1793- 1841) 於 1828 年研究電學 (electricity) 與磁學 (magnetism) 所發現的, 當然後來高斯 (Gauss) 等人也發現這結果, Green 的結果 讓我們覺得非常之興奮, 也更體會伽利略所 言: 數學是瞭解大自然的語言。 學數學若知道一些物理讓妳 (你) 永遠 不會感到孤單。 Green 定理是數學分析中最重要的定 理之一, 而在三維與更高維空間的推廣— Stokes 定理與散度定理 (Divergence Theorem) 則構成了應用數學的基礎。 2. 微積分基本定理: 微分與積分的關係這是微積分的主要房 角石, 實際上這正是牛頓與萊布尼茲對微積 分最重要的貢獻, 透過這個重要結果—微積 分基本定理 (fundamental theorem of calculus), 我們明白微分與積分實際上是互為 一體兩面, 彼此是互相可逆的 (inverse)。 微積分基本定理: f : [a, b] → R 為一 連續函數且 F ′ = f 則 Z b a F ′ (x)dx = Z b a f(x)dx = F(b) − F(a) (1) 25
26数學傅播21卷4期民86年12月追定理告诉我们要計算精分值因此罩位管長内水的渗入率急rof(a)da懂需求得函数f之原函数（prim-(F(r+△r)-F(r)A（水量f(r)= limAr=0體稽△rAitive，或antiderivative）F即可。另外也说F(α+ △r) - F(α)= lim.明了底下之事宝：ArAr-0(3)= F(c)“一个函数之微分的积分值等於该若是整個匾[a,b]则全部渗入管内之水量為函数之遗界值的差。"f(r)dr =F'(r)da换句话说方程式（1）把匾周的精分與作用於其“零雉”（zerodimension）遵界之上的故“分”（零維的分是點之值）連聚起來，F(r)da = F(b) - F(a)f(r)dr =遗零難的遗界是雨個端點a興b。由以上之分析可知微分基本定理之物f(r)=F'(μ)理本寶就是守恒律（conservationlaw)。VIaE+Az微分基本定理之物理意羲：3.線精分之物理意羲：公式（1）我可以比凝如下：如圖所示，一質點受一變化的力作用而沿一已知曲假設有一根直的管子其截面精等於A是固定線移動，而求其所作的功（work），就自然遵不，有水在管内流動與流速篇F（），另外致所的線精分。由於管壁非完全封阴因此管壁四周同时也有平面上任意向量F=（u,)，而水渗入（或渗出)，我們想周的是此渗入率為其沿著曲線切向量（cosT,sinT)，法向量多少？假設水的密度始整等於1）我們取其中(cosv,sinv）之分量分别為一段[，十△来看，在罩位时周内渗入到F = F. (cos T, sin T)= coS T+ sin T遣段管子的水量必须等於沿管子方向流出的F, = F (cosv, sinv)=ucos v+usin v水量與流進的水量之差(4)因為為互餘(F(r+△c)-F(α))×A(高×底面)(2)cos T =- sin V,sinT= sin(5)
26 數學傳播 21卷4期 民86年12月 這定理告訴我們要計算積分值 R b a f(x)dx 僅需求得函數 f 之原函數 (primitive, 或 antiderivative) F 即可。 另外也說 明了底下之事實: “一個函數之微分的積分值等於該 函數之邊界值的差。” 換句話說方程式 (1) 把區間的積分與作用 於其“零維” (zero dimension) 邊界之上的 “積分” (零維的積分是該點之值) 連繫起來, 這零維的邊界是兩個端點 a 與 b。 f(x)=F ′ (x) a b 微積分基本定理之物理意義: 公式 (1) 我們可以比擬如下: 如圖所示, 假設有一根直的管子其截面積等於 A 是固定 不變, 有水在管內流動與流速為F(x), 另外 由於管壁非完全封閉因此管壁四周同時也有 水滲入 (或滲出), 我們想問的是此滲入率為 多少?(假設水的密度始終等於1) 我們取其中 一段 [x, x+∆x] 來看, 在單位時間內滲入到 這段管子的水量必須等於沿管子方向流出的 水量與流進的水量之差 (F(x+∆x)−F(x)) × A (高 × 底面積) (2) 因此單位管長內水的滲入率為 f(x) = lim∆x→0 (F(x+∆x)−F(x))A ∆x · A 水量 體積 = lim ∆x→0 F(x + ∆x) − F(x) ∆x = F ′ (x) (3) 若是整個區間[a, b]則全部滲入管內之水量為 Z b a f(x)dx = Z b a F ′ (x)dx 故 Z b a f(x)dx = Z b a F ′ (x)dx = F(b) − F(a) 由以上之分析可知微積分基本定理之物 理本質就是守恆律 (conservation law)。 3. 線積分之物理意義: 一質點受一變化的力作用而沿一已知曲 線移動, 而求其所作的功 (work), 就自然導 致所謂的線積分。 平面上任意向量 F = (u, v), 而 其沿著曲線切向量 (cos τ,sin τ ), 法向量 (cos ν,sin ν) 之分量分別為 Fτ = F · (cos τ,sin τ )=u cos τ +v sin τ Fν = F · (cos ν,sin ν)=u cos ν+v sin ν (4) 因為 τ, ν 為互餘 cos τ = − sin ν, sin τ = sin ν (5)
Green定理舆應用27而罩位切向量、罩位法向量Green定理：令C属平面上一分段平滑的封阴曲線而其所图匾域属R，假设函数(drdy)(cOS T, Sin T) =P(r,y),Q(,y)爲速绩且一次偏尊数也速ds'ds(dy_dr)绩则等式成立(6)(cosv, sin v) :(ds'dsQOPT.oQ Pdr+Qdy=)dAar-ayC如果将F視爲力则線分+ F,ds =(7)fudr+vdydA(9)JcPQ(力×位移一功）數學的角度：由於曲線C的攀化可大可小一般而所代表的意羲就是功（work）。其次是若將F言亚没有明题的参数式，因此無法直接求線視篇電流密度（currentdensity）或流體速分，然而我們可利用逼近（approxima-度则線稚分tion）的概念來理，正是数學尤其是分析Frds-udy - vdr(8)（analysis）的主要技巧。(電流×位移=電通量）R長方形多遵形ILI.R一長方形所代表的意羲就是電通量（flux）或流體流通C3(ai,br)曲線C之通量，我们在面遗會针封追雨個(ao,b))量作更深入之探。(u,v)CC4Ci(ai,bp)(ao,bo)R之遵界 C = C1+ C2+ C3+ C4$=Vdz+dy?Ci:do ≤≤ai,y=boC2:3=a1,bo≤y≤biC3:ao≤r≤ai,y=biC4:r=ao,bo ≤y≤bi4.Green定理因此利用微分基本定理可得Green定理基本上是線稚分與面分之b F.dr=f P(r, y)da+Q(r, y)dy關保，實際上就是微分基本定理之推廣。JC
Green 定理與應用 27 而單位切向量、 單位法向量為 (cos τ,sin τ ) = dx ds , dy ds , (cos ν,sin ν) = dy ds , − dx ds (6) 如果將 F 視為力則線積分 I C Fτds = I C udx + vdy (7) (力× 位移=功) 所代表的意義就是功 (work)。 其次是若將 F 視為電流密度 (current density) 或流體速 度則線積分 I C Fνds = I C udy − vdx (8) (電流 × 位移=電通量) 所代表的意義就是電通量 (flux) 或流體流通 過曲線C之通量, 我們在後面還會針對這兩個 量作更深入之探討。 4. Green定理 Green 定理基本上是線積分與面積分之 關係, 實際上就是微積分基本定理之推廣。 Green 定理: 令C為平面上一分段平滑的 封閉曲線而其所圍區域為 R, 假設函數 P(x, y), Q(x, y) 為連續且一次偏導數也連 續則等式成立 I C P dx+Qdy = Z Z R ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y )dA = Z Z R ∂ ∂x ∂ ∂y P Q dA (9) 數學的角度: 由於曲線 C 的變化可大可小一般而 言並沒有明顯的參數式, 因此無法直接求線 積分, 然而我們可利用逼近 (approximation) 的概念來處理, 這正是數學尤其是分析 (analysis) 的主要技巧。 長方形 =⇒ 多邊形 =⇒ R I. R為一長方形 R之邊界 C = C1 + C2 + C3 + C4 C1 : a0 ≤ x ≤ a1, y = b0 C2 : x = a1, b0 ≤ y ≤ b1 C3 : a0 ≤ x ≤ a1, y = b1 C4 : x = a0, b0 ≤ y ≤ b1 因此利用微積分基本定理可得 I C F · d~r= I C P(x, y)dx+Q(x, y)dy
28数學傅播21卷4期民86年12月同理可得"P(r, bo)dc+Q(a, y)dyr9(n) aQ dy dacf Q(r, y)dy =+ / P(r,b1)da+ [Q(ao, y)dyg1(）r雨者合供[ [Q(a, g) - Q(ao, y)]dy1(%-%)asf Pdr + Qdy = /+" [P(r, bo) - P(r,bi)]da最品aAron aPdr dy-a-PQQy00-0)dardyJr-ay追就是Green定理，提供了我們於線分興面精分之關保，但遣個逼近方法有II.假設R可表為個限制就是曲線C必须是有長度曲線（recti-R={(r,y)/a≤r≤b,91(r)≤y≤g2(r)),fiablecurve)，而且遗要用到一致收敏（uni-formlyconvergent）的概念封於更一般的匾C=OR域Green定理仍然是封的，但已經超微精92(μ)分的圖，讀者有與趣可参考微分发何方面的。例题1：利用Green定理计算综积分 (2ry -r2)dr + (r + y)dyg1(r)其中曲線C是由抛物缘y=2典直综y=所图匾域之遗界。ba解：要直接計算線精分势必要将C化爲参数式，然而利用Green定理取我們分别理P(r,y),Q(r,y)P(r,y)=2ry-r2,Q(r,y) =r+y? P(r, y)dc则apQQf, P(r,y)da+d P(r,y)dr1-2rICary-d P(r,y)dr+d P(r,y)da因此CP(a, g1(r)de+ /P(r, g2(a)dc2r)dA原線精分r92(a) P1-(r, y)dy dr-2)dydr:Jgi(r)y30
28 數學傳播 21卷4期 民86年12月 = Z a1 a0 P(x, b0)dx+ Z b1 b0 Q(a, y)dy + Z a0 a1 P(x, b1)dx+ Z b0 b1 Q(a0, y)dy = Z b1 b0 [Q(a, y) − Q(a0, y)]dy + Z a1 a0 [P(x, b0) − P(x, b1)]dx = Z b1 b0 Z a1 a0 ∂Q ∂x dx dy − Z a1 a0 Z b1 b0 ∂P ∂y dx dy = Z a1 a0 Z b1 b0 ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y )dx dy II.假設 R 可表為 R={(x, y)|a≤x≤b, g1(x)≤y≤g2(x)}, C =∂R 我們分別處理 P(x, y), Q(x, y) I C P(x, y)dx = I C1 P(x, y)dx+ I C2 P(x, y)dx + I C3 P(x, y)dx+ I C4 P(x, y)dx = Z b a P(x, g1(x))dx+ Z b a P(x, g2(x))dx = − Z b a Z g2(x) g1(x) ∂P ∂y (x, y)dy dx 同理可得 I C Q(x, y)dy = Z b a Z g2(x) g1(x) ∂Q ∂x dy dx 兩者合併 I C P dx + Qdy = ZZ R ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y )dA = ZZ R ∂ ∂x ∂ ∂y P Q dA 這就是 Green 定理, 提供了我們關於 線積分與面積分之關係, 但這個逼近方法有 個限制就是曲線C必須是有長度曲線 (recti- fiable curve), 而且還要用到一致收斂 (uniformly convergent) 的概念對於更一般的區 域 Green 定理仍然是對的, 但已經超過微積 分的範圍, 讀者有興趣可參考微分幾何方面 的書。 例題 1: 利用 Green 定理計算線積分 I C (2xy − x 2 )dx + (x + y 2 )dy 其中曲線 C 是由拋物線 y = x 2 與直線 y = x 所圍區域之邊界。 解: 要直接計算線積分勢必要將 C 化 為參數式, 然而利用 Green 定理取 P(x, y) = 2xy − x 2 , Q(x, y) = x + y 2 則 ∂Q ∂x − ∂P ∂y = 1 − 2x 因此 原線積分 = ZZ R (1 − 2x)dA = Z 1 0 Z x x2 (1 − 2x)dy dx = 1 30
Green定理舆應用29利用系之秸果得A.rdy(a cos 0)(b cos do)-ab(1 + cos 20) do = πab1,1)2Jo為著更深入探Green定理.我們再計算一个例题业衍其中得到需感。例题3：已知C篇任意封阴平滑曲線，Green定理说明一封阴曲線C之線精試求線分分興C所圜匾域之面稚分（雙重精分）之關d -yda + rdy保，因此在特殊情形之下，精分之發何意羲(0, 0) g C。r2 +y?Jc篇“面”：例如取QOP解：首先假設（0,0）亚不包含在C之=1r-oy内部，则由Green定理知a-yP(r,y) =Q：r? + y??+y?Pdr+Qdy=1dA=|RQQoP=0通常可取P，Q如下：arayP= 0,Q=r因此由Green定理知= -y,Q=0d -ydr+rdyI/ 0dA=0.P=-{y,Q=1r2+y?系：匾域R由分段平滑的封阴曲線C所其次，若(0,0)在C之内部，此時（0,0)篇圈成，其面积属：一奇翼點（singularity），克服這點的方法就是“避开它”，作一个牛径為p，以（0,0）為圆R=-y dr + r dy心的圆B。考虑匾域rdy(10)ydrOR'=C+OBpR'=R-Bo.例题2：試求椭圆%+岁=1之面。解：将檐圆表為参敷式由於R亚不包含（0.0)，因此利用前面的推;=acoso,y=bsine,-ydr + ady=00<0<2元。22 + y?JaR
Green 定理與應用 29 Green 定理說明一封閉曲線C之線積 分與C所圍區域之面積分 (雙重積分) 之關 係, 因此在特殊情形之下, 線積分之幾何意義 為“面積” : 例如取 ∂Q ∂x − ∂P ∂y = 1 則由 Green 定理知 I C P dx + Qdy = ZZ R 1 dA = |R| 通常可取P, Q 如下: P = 0, Q = x P = −y, Q = 0 P = − 1 2 y, Q = 1 2 x 系: 區域R 由分段平滑的封閉曲線 C 所 圍成, 其面積為: |R| = 1 2 I C −y dx + x dy = − I C y dx = I C x dy (10) 例題2: 試求橢圓 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 之面積。 解: 將橢圓表為參數式 x = a cos θ, y = b sin θ, 0 ≤ θ ≤ 2π。 利用系之結果得 A = I C x dy = Z 2π 0 (a cos θ)(b cos θ dθ) = 1 2 ab Z 2π 0 (1 + cos 2θ) dθ = πab 為著更深入探討 Green 定理, 我們再計 算一個例題並從其中得到靈感。 例題3: 已知 C 為任意封閉平滑曲線, 試求線積分 I C −ydx + xdy x 2 + y 2 (0, 0) 6∈ C。 解: 首先假設 (0, 0) 並不包含在 C 之 內部, 則 P(x, y) = −y x 2 + y 2 Q = x x 2 + y 2 =⇒ ∂Q ∂x − ∂P ∂y = 0 因此由 Green 定理知 I C −ydx+xdy x 2 + y 2 = ZZ R 0 dA=0。 其次, 若 (0, 0) 在 C 之內部, 此時 (0, 0) 為 一奇異點 (singularity), 克服這點的方法就 是 “避開它”, 作一個半徑為ρ, 以 (0, 0) 為圓 心的圓 Bρ 考慮區域 R′ = R − Bρ, ∂R′ = C + ∂Bρ 由於R′並不包含 (0, 0), 因此利用前面的推 論; I ∂R′ −ydx + xdy x 2 + y 2 = 0