第一章质点运动学6十分为寸，十寸为尺，....”，明确指明了长度与声波波长的联系，这与近代以光的波长作为长度标准有异曲同工之妙近代的长度测量单位是在法国的米制单位基础上发展起来的，米（m）已成为自前国际通用的长度单位，来原来规定为通过巴黎的自北极至券道的子年线长的一千万分之一，1875年起，决定改用米原器（截面呈“X"形的铂铱合金尺）作为长度标准：由于这样规定的标准米不易复制，精度又不高，自1960年起，改用原子辐射的波长作为长度标准，规定1米等于氪一86原子橙色谱线在真空中波长的1650763.73倍，精度达10-9，这样规定的米称做原子米.1983年，第十七届国际计量大会又正式通过了米的新定义一米是光在真空中1/299792458s时间间隔内所经路径的长度米的新定义的特点是把真空中的光速作为一个物理常量规定下来，并令它等于299792458m/s，从而将长度标准和时间标准统一了起来，并使长度计量的精度提高到与时间计量相同的精度。长度的测量通常用米尺测量长度：当不能用米尺直接量度其长度（例如山的高度）时，可以通过三角法进行间接测量：较小的长度，例如细丝的直径，可用游标卡尺和螺旋测微器测量，精度分别可达10-1mm和10-2mm很小的长度常借助光学方法测量，细菌和细胞的线度可用显微镜量度，薄膜厚度、平面的平整度等可以用光的干涉法测量：晶格常量则可用X射线衍射法测定，光学法测量长度受到光的衍射的限制，其精度不能小于光的波长（可见光约10-7m，X射线约10-10m）.由于电子的德波罗意波长更短（约10-12m），电子显微镜（包括透射电镜和扫描电镜）的分辨精度比光学显微镜高得多.对于微小的长度，常用微米（um，10-6m）、纳米（nm，10-m）和埃（A10-10m）作单位对于更小的长度，例如原子核的直径，通常只能通过它对射粒子散射的多少来间接测定，当年卢瑟福等就曾根据α粒子散射实验结果估计出金原子核的直径约为10-12cm，对于很长的距离，例如行星、太阳和恒星到地球的距离，我们可以通过测定雷达波的往返时间或通过三角法进行测量，前者测出的是绝对值，后者测出的是相对值：在用三角法测恒星距离时，常以地球轨道的直径作为基线：该基线长度的一半常作为量度天体间距离的单位，称为天文单位（符号AU，1AU～1.5×10°km），天文上常用的长度单位还有光年和秒差距.光年是光在1a中行进的距离，常用符号1.y.表示，约合9.46×10km或6.32×10*AU.秒差距是地球轨道半径对其张角为1的距离，符号为pc，约合3.09×1013km或2.06×10AU.对于更远的恒星，三角法不能应用，这时可以从星体的亮度和颜色来估计它的距离
1.3直线运动81.2质点实际的物体都有一定的大小、形状和内部结构.在运动过程中，物体各部分的运动状况可以不同.但当我们仅考察物体的整体运动，物体本身的大小比所考察运动的线度又小得多时，就可以不计物体各部分运动状况的差别而把它看成一个点，这样的物体称为质点，它是具有质量而没有大小的物体，物体是否可以看成质点，视所讨论问题的具体情况而定具体地说，要看把该物体抽象成质点后，是否能反映该物体在所研究问题中的主要特征，这里重要的是物体的相对大小和所研究问题的性质，大如地球，在讨论它的公转时，就可以把它看成质点（在讨论其自转时则不能）：小如分子、原子，在讨论它的内部振动和转动时，就不能把它看成质点，至于作平动（物体上任意两点的连线在运动过程中始终保持平行的一种运动）的物体，由于其上任一点的运动情况都相同，不论其大小和运动线度如何，总可以把它看成质点.质点是一种理想模型，它突出了物体具有质量和占有位置这两个主要因素，而忽略了形状、大小及内部运动等次要因素，在物理上，这种突出研究对象的主要特征而忽略其次要特征的理想模型是常用的，例如刚体、理想气体、理想流体、点电荷等，81.3直线运动1.直线运动质点的运动学方程当物体（质点）沿直线运动时，可取该直线为坐标轴，例如轴，质点位置可用坐标表示，如图1.3一1所示，质点P9位置与时间的关系可表示为X0x()x(t+)(1.3-1)x=工(t)图1.3~1直线运动此式称为质点的运动学方程，2.速度从运动学方程（1.3-1）式，我们可获得质点作直线运动的全部信息，但它未能明显显示运动的诸多特征，为了揭示质点运动的特征，需考察质点位置如何随时间变化.设t时刻质点位于P点，坐标为（t），t+△t时刻位于Q点，坐标为（t+△t）则称Ar=r(t+At)-x(t)(1.3-2)
第一章质点运动学8为质点的位移，位移可正可负，位移与发生这段位移的时间间隔t的比值，称为该时间间隔内质点的平均速度，用表示：A.r=(1.3-3)At当时间间隔t较大时，平均速度只粗略地描述了质点从P点到Q点过程中运动的快慢，未能描述在此过程中质点运动快慢的细微差别.但只要我们考察的时间间隔足够短，在此间隔内质点运动的快慢差别也必然足够小，以至可忽略不计于是当△t-→0时，上述平均速度的极限就可以精确描写t时刻质点运动的快慢，此极限称为时刻质点的瞬时速度，简称速度，用表示：r(t+At)-r(t)=lim(1.3-4a)U=limAt-0At这一极限在数学上称为坐标工对时间t的导数，用dx/dt或表示，于是dx=:(1.3 -4b)2dt在-t图上（图1.3-2）平均速度就是X割线PQ的斜率，瞬时速度则是过P点的切x(t+A)线PQ的斜率，速度可正可负：当速度为正C时，表示质点运动沿工轴正方向，速度为负x(t)时，则表示沿无轴反方向.速度的大小称为1+t1速率.图1.3-2由（t）求v（）的图示3.加速度一般情况下质点的速度仍随时间而变化，即=（t）.在t～t+△t时间间隔内速度的增量=（t+△t）-（t）与△t的比值称为该时间间隔内的平均加速度，用a表示：Av(t+At)-(t)a=(1.35)AtAt平均加速度仅粗略描写了质点速度在t时间间隔内的大致变化情况，为了更细微地描述这种变化，也应让t→0.当△t-→0时，平均加速度的极限称为瞬时加速度，简称加速度，用a表示，它就是速度对时间t的导数，因而也是坐标对时间t的二阶导数：dr-:Au(1.3-6)a=limdt=dt?它精确描述了在t时刻质点速度随时间的变化率，在u一t图上a和a的意义与图1.3-2相仿.加速度也可正可负.不难看出，当加速度与速度同号时，表示
81.3直线运动9质点速率随时间增大；当加速度与速度异号时，表示质点速率随时间减小，4.位移、速度、加速度的相互关系r（t）、v（t）、a（t）三者都是描述运动的物理量，它们的意义各不相同：但三者是互相关联的，在一定条件下，已知其中任一个，便可求出其余两个，如上所述，已知(t)，则=，=；但如何由(t)求若已知（t）则adtdrdtr（t）？如果不随时间变化，即质点作匀速直线运动，那么，只需知道t=0时刻的位置坐标工。，不难得到（t）：r(t)=o+ut(1.3-7)当是时间的函数时，可将t。=0到t=t这段时间分为n段，相应的时刻分别记为t（=0)，ti,t2,,t,",ta-1,t（=t)，使每—段时间间隔At,ti+1-ti都很小，以致在每一段时间间隔内物体的运动几乎都可以看成是匀速直线运动，其速度都可看作常量，并可用该段时间间隔的起始时刻的速度值=（t,）来代表.于是在每段时间间隔内可应用（1.3-7)式计算位移，即Axi=a+i-,=a(ti+)-a(t)~,(t)At,=u,At△工，就是质点在△t，时间间隔内的位移．质点在0～t时间内的位移即为所有A.r.的代数和：Ax,(t)-o~u,At1=0让所有的△t,-→0，上式右边的极限就精确地等于（t）一3。，此极限在数学上称为定积分，记为udt，于是上式可写为x(t)-xo = lim udt(1.3 ~ 8)U0=0其中=（t）.在-t图（图1.3-3)上，u,△t可用高为u宽为△t的矩形面积表示，U△t，就是一系列相应的矩形面积之和.当△t→0时，此和的极限，即定积分udt，可以用0~t范围内曲线u下所包, +,图1.3-3由(t）求（)的图示围的曲边梯形面积表示，已知a（t)求(t）的过程与已知(t）求（t）的过程相仿.若t=0时的速
质点运动学第一章10度为Vo，则有a(t)Atv(t) - Vo ~-对上式右边取极限，并用定积分表示，即为(1.3-9)adtv(t) - Vo =其中a=a（t）.将此（t)代人(1.3-8)式，即得a（t)：adtd(1.3-10)Vo+udt=x(t)-ro =Vo、工。为t=0时刻质点的坐标（位置）和速度，称为初始条件.若α=常量，则质点作匀变速直线运动，上述积分简化为(1.3 -11)v(t) = Va + at1.ate(1.312)(t)=xo+Vot+由以上两式消去t，得到(1.3-13)2-=2a(x-ro)例题例1龟兔赛跑和芝诺伴谬，兔子以速度U往前跑，它能否追上在它前方L远处以速度（U2<）爬行的乌龟？古代哲学家芝诺曾就类似问题提出一种论证，认为免子永远追不上乌龟，他说，当免子从A点出发追赶乌龟时，乌龟也同时从前方L远处的B，点出发往前爬行，当免子到达乌龟的出发点B，时，龟已向前爬行一段距离而到达B.接着，当兔子追到B，时，乌龟又已从Bz出发向前爬行一段距离到达B，，如此继续不已，因而兔子永远追不上乌龟（图1.3-4）2B2B,B,AF图1.3-4，兔子能否追上鸟龟？这一论证显然是荒谬的，但如果我们从另一个角度来考察，该论证也有一定的合理性既然时间可用一定的周期性过程来计量，在这一问题中，我们就可把兔子每到达乌龟前一出发点的过程作为一个周期过程，每完成一个这样的过程作为1个时间单位（不妨称之为芝诺时单位），就像把钟摆每摆动一次作为1s一样，这样，免子从A到达B，的芝诺时为1，从B，到达B，的芝诺时为2等等.试导出芝诺时（记为t)与普通时（t)的关系.解：不难看出，普通时t和芝诺时的对应关系如下：