课程名称：《电动力学》第周，第9讲次摘要第二章静电场授课题目（章、节）4镜像法本讲目的要求及重点难点：【目的要求】通过本讲课程的学习，熟练掌握分离变量法和镜像法求解静电场问题。【重点】镜像法【难点】镜像法内容【本讲课程的引入】本讲主要进一步学习分离变量法求解静电场问题，并介绍怎样用镜像法求解静电场问题。【本讲课程的内容】用分离变量法求解静电场问题：例2电容率为ε的介质球置于均匀外电场E中，求电势。解：设球半径为Ro，球外为真空（如图）。这问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场E方向的轴线，取此轴线为极轴。球外区域的电势：P, (cos0)a,R"P1 = Z(R>Ro)球内区域的电势：a.c.R"+P,(cos0)TP2=2RI+(R<Ro)边界条件：(1)：无穷远处，P1 →-E,RcosO=-E.RP(cosO)因而a, =-Eo,a,=0 (n±1)（2）R=0处，p2为有限值，因此d, =0（3）在介质球面上，有0020q160C=POROR
课程名称：《电动力学》 第 周，第 9 讲次 摘 要 授课题目（章、节） 第二章 静电场 4 镜像法 本讲目的要求及重点难点： 【目的要求】通过本讲课程的学习，熟练掌握分离变量法和镜像法求解静电场问题。 【重 点】镜像法 【难 点】镜像法 内 容 【本讲课程的引入】本讲主要进一步学习分离变量法求解静电场问题，并介绍怎样用镜像 法求解静电场问题。 【本讲课程的内容】 用分离变量法求解静电场问题： 例 2 电容率为 ε 的介质球置于均匀外电场 E0 中，求电势。 解：设球半径为 R0，球外为真空（如图）。这问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外 电场 E0 方向的轴线，取此轴线为极轴。 球外区域的电势： （R>R0） 球内区域的电势： （R<R0） 边界条件： （1） 无穷远处， 因而 （2）R＝0 处，2 为有限值，因此 （3）在介质球面上，有
则有ER,P(cs0)+2P,(coso)=ZcRP,(coso)LR(n+1)bm三nc, RP,(cos)"P,(cos)=-E,P(cosO)-Rn+260比较Pi的系数得b2b1-6E.R+=c,R,-E。cRR6可解出：380E.6-E.Ro,b,=ci6+2806+260其他Pn项的系数可解出为n+1b,=c,=0,所有常数已经定出，因此本问题的解为：M=-E,Rcoso+=-5, E,R,cosoR28+260380_E,RcosoP=6+280例3半径为Ro的导体球置于均匀外电场E。中，求电势和导体上的电荷面密度。解：用导体表面边界条件，照上例方法可解出导体球外电势：E,R@=-ERcos0+-cosoR?导体面上电荷面密度为Op=36,E,cos00=-6gORR-R第4节镜像法一种重要的特殊情形是：区域内只有一个或者几个点电荷。区域的边界是导体或者介质。这一个或者几个电荷要在导体界面产生感应电荷，或者在介质表面产生束缚。上述特殊情形的泊松方程边值问题，可以采用一种比较简洁的特殊方法来求解。这种方法就是镜像法。镜像法的基本思想就是：在求解区域之外引入像电荷取代感应电荷，但不改变求解区域的边值关系和边界条件。或者说，只要不改变求解区域的电荷分布、边值关系和边界条件，像电荷可以取代感应电荷，像电荷在所考虑区域产生的电场就是感应电荷产生的电场。例1接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q，求空间中的电场。解：电荷：一个点电荷界面：接地无穷大导体区域：上半空间（下半空间电势为零）
则有 比较 P1 的系数得 ， 可解出： 其他 Pn 项的系数可解出为 所有常数已经定出，因此本问题的解为： 例 3 半径为 R0 的导体球置于均匀外电场 E0 中，求电势和导体上的电荷面密度。 解：用导体表面边界条件，照上例方法可解出导体球外电势： 导体面上电荷面密度为 第 4 节 镜像法 一种重要的特殊情形是：区域内只有一个或者几个点电荷。区域的边界是导体或者介质。 这一个或者几个电荷要在导体界面产生感应电荷，或者在介质表面产生束缚。上述特殊情 形的泊松方程边值问题，可以采用一种比较简洁的特殊方法来求解。这种方法就是镜像法。 镜像法的基本思想就是：在求解区域之外引入像电荷取代感应电荷，但不改变求解区域的 边值关系和边界条件。或者说，只要不改变求解区域的电荷分布、边值关系和边界条件， 像电荷可以取代感应电荷，像电荷在所考虑区域产生的电场就是感应电荷产生的电场。 例 1 接地无限大平面导体板附近有一点电荷 Q，求空间中的电场。 解：电荷：一个点电荷 界面：接地无穷大导体 区域：上半空间（下半空间电势为零）