课程名称：《电动力学》第周，第7讲次摘要第二章静电场授课题目（章、节）1静电场的标势及其微分方程本讲目的要求及重点难点：【目的要求】通过本讲课程的学习，理解并掌握静电场的标势及其微分方程【重点】静电场的标势及其微分方程【难点】静电场的标势及其微分方程内容【本讲课程的引入】本章内容：电磁场的基本理论应用到最简单的情况：电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。本章研究的主要问题：在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场。【本讲课程的内容】第二章静电场本章主要讲静电场标势微分方程：唯一性定理：分离变量法；镜像法等内容。重点掌握静电场的性质、规律和研究方法；理解并熟记电势的基本方程、边值关系和静电场的能量公式。在消化、理解内容和例题的基础上，自己能处理静电场的有关问题。第一节静电场的标势及其微分方程1静电场的标势在静止情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分为VxE=0V.D=p这两方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础。静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无旋性，我们可以引入一个标势来描述静电场和力学中用势函数描述保守力场的方法一样。无旋性的积分形式是电场沿任一闭合回路的环量等于零，即JE.dl=0设Ci和C2为Pi和P2点的两条不同路径。C与C2合成闭合回路，因此E-dl-[F-dl=0电荷由Pi点移至P2点时电场对它所作的功与路径无关，只和两端点有关。E-di-E-d把单位正电荷由Pi点移至P2点，电场E对它所作的功为E.diP这功定义为P点和P2点的电势差。若电场对电荷做了正功，则电势β下降。由此PE·diP(P)-P(P)=
课程名称：《电动力学》 第 周，第 7 讲次 摘 要 授课题目（章、节） 第二章 静电场 1 静电场的标势及其微分方程 本讲目的要求及重点难点： 【目的要求】通过本讲课程的学习，理解并掌握静电场的标势及其微分方程 【重 点】静电场的标势及其微分方程 【难 点】静电场的标势及其微分方程 内 容 【本讲课程的引入】本章内容：电磁场的基本理论应用到最简单的情况：电荷静止，相应 的电场不随时间而变化的情况。 本章研究的主要问题：在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，求 解静电场。 【本讲课程的内容】 第二章 静电场 本章主要讲静电场标势微分方程；唯一性定理；分离变量法；镜像法等内容。重点掌握静 电场的性质、规律和研究方法；理解并熟记电势的基本方程、边值关系和静电场的能量公 式。在消化、理解内容和例题的基础上，自己能处理静电场的有关问题。 第一节 静电场的标势及其微分方程 1 静电场的标势 在静止情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分为 这两方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础。 静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无旋性，我们可以引入一个标势来描述静电场， 和力学中用势函数描述保守力场的方法一样。 无旋性的积分形式是电场沿任一闭合回路的环量等于零，即 设 C1 和 C2 为 P1 和 P2 点的两条不同路径。C1 与 C2 合成闭合回路，因此 电荷由 P1 点移至 P2 点时电场对它所作的功与路径无关，只和两端点有关。 把单位正电荷由 P1 点移至 P2 点，电场 E 对它所作的功为 这功定义为 P1 点和 P2 点的电势差。若电场对电荷做了正功，则电势 下降。由此
由这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。相距为d/的两点的电势差dp=-E-di由于ed+0dy+dz=Vpdida因此，电场强度E等于电势的负梯度E=-V0只有势的差值才有意义，在实际计算中，参考点的选择是任意的，在电荷分布于有限区域的情况下，常常选无穷远点作为参考点。令p(o)=0有E.di(P)=当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已知电势时，通过求梯度就可以求得电场强度。a已知点电荷Q激发的电场强度0E=4元0斤其中r为源点到场点的距离。把此式沿径向场点到无穷远点积分，电势为00P(P)=-drJ.4元804元起b.一组点电荷Q激发的电势(P)=_2i14元80元c.若电荷连续分布，电荷密度为p，设r为源点x到场点x的距离，则场点x处的电势为p(xdyP()=4元2静电势的微分方程和边值关系D=&E，代入V.D=P，得到均匀各向同性线性介质V'p=-P8其中p为自由电荷密度。上式是静电势满足的基本微分方程，称为泊松方程。泊松方程是静电势满足的基本微分方程。给出边界条件就可以确定电势β的解。在两介质界面上，电势必须满足边值关系。电场的边值关系：e, × (E, -E) = 0,en (D, - D2) = 0
由这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。 相距为 dl 的两点的电势差 由于 因此，电场强度 E 等于电势 的负梯度 只有势的差值才有意义，在实际计算中，参考点的选择是任意的，在电荷分布于有限区域 的情况下，常常选无穷远点作为参考点。令 ()=0 有 当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已知电势 时，通过求梯度就可以求得电场 强度。 a.已知点电荷 Q 激发的电场强度 其中 r 为源点到场点的距离。 把此式沿径向场点到无穷远点积分，电势为 b.一组点电荷 Qi 激发的电势 c.若电荷连续分布，电荷密度为 ρ，设 r 为源点 x'到场点 x 的距离，则场点 x 处的电势为 2 静电势的微分方程和边值关系 均匀各向同性线性介质 , 代入 ，得到 其中 ρ 为自由电荷密度。上式是静电势满足的基本微分方程，称为泊松方程。泊松方程是 静电势满足的基本微分方程。给出边界条件就可以确定电势 φ 的解。 在两介质界面上，电势必须满足边值关系。电场的边值关系：
电荷沿法线方向移动，切线分量不做功，沿法线方向做功为零（因电场有限，且间距趋于零)-=EPP,=01=P2法向电场不连续00-5,0 =-0:on-ion导体的特殊性（导体的静电条件）：a导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；b.导体内部电场为零：c.导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面，整个导体的电势相等。设导体表面所带电荷面密度为6，设它外面的介质电容率为，导体表面的边界条件为a0=-0P=CEon静电学的基本问题是求出在每个均匀区域内满足泊松方程，在所有分界面上满足边值关系和在所研究的整个区域边界上满足边界条件的电势的解。3静电场能量在线性介质中静电场的总能量E·DdyW2J8由E=-V?和V·D=P得：E.D=-Vβ-D=-V.(pD)+@V.D=-V-(qD)+pPW-J p-v(D式中右边第二项散度体积分化为面积分JV-(pD)dV=foD.ds-0所以podiW例1求均匀电场E，的电势。解：均匀电场每一点强度E。相同，其电场线为平行直线。选空间任一点为原点，并设该点上的电势为βo，那么任一点P处的电势为
电荷沿法线方向移动, 切线分量不做功，沿法线方向做功为零（因电场有限，且间距趋于 零） 法向电场不连续 导体的特殊性（导体的静电条件）： a.导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上； b.导体内部电场为零； c.导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面，整个导体的电势相等。 设导体表面所带电荷面密度为 σ，设它外面的介质电容率为 ε，导体表面的边界条件为 , 静电学的基本问题是求出在每个均匀区域内满足泊松方程，在所有分界面上满足边值关系 和在所研究的整个区域边界上满足边界条件的电势的解。 3 静电场能量 在线性介质中静电场的总能量 由 和 得： 式中右边第二项散度体积分化为面积分 所以 例 1 求均匀电场 E0 的电势。 解：均匀电场每一点强度 E0 相同，其电场线为平行直线。选空间任一点为原点，并设该 点上的电势为 0，那么任一点 P 处的电势为
p(P)=P-'E,-di=-E..d=0-Ex其中x为P点的位矢。注意均匀电场可以看作由无穷大平行板电容器产生，其电荷分布不在有限区域内，因此不能选()=0.若选(o=0，则有P=-E..x例2均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为t，求电势。解：如图，设场点P到导线的垂直距离为R，电荷元tdz，选取柱坐标系，到P点的距离为VE'+R?为常数平面为常数柱面中为常数平面tdz(P)-"4元8V2+R9(P)=In(+V2 +R)4元8(1+x)"-1 与 nx积分结果无穷大，无穷大的出现和电荷不是有限区域内的分布有关。计算两点P和Po的电势差可以不出现无穷大。设Po点与导线的垂直距离为Ro，则P点和无穷小等价Po点的电势差为二mE+E+Rp(P)-P(P)=limM-4元起Z+V+R,1+/1+R/M-1+/1+R/MTlimIn14元60-1+/1+R/M?1+1+R。/M2RTIRT.-In-n4元R2元起"R。若选Po点为参考点，规定9(R)=0，则TnRP(R)=2元R取β的梯度得：tER=aR2元RE。=E,=0
其中 x 为 P 点的位矢。注意均匀电场可以看作由无穷大平行板电容器产生，其电荷分布不 在有限区域内，因此不能选 ()=0. 若选 0=0，则有 例 2 均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为 ，求电势。 解：如图，设场点 P 到导线的垂直距离为 R，电荷元 dz, 选取柱坐标系，到 P 点的距离为 积分结果无穷大，无穷大的出现和电荷不是有限区域内的分布有关。 计算两点 P 和 P0 的电势差可以不出现无穷大。设 P0 点与导线的垂直距离为 R0，则 P 点和 P0 点的电势差为 若选 P0 点为参考点，规定 ，则 取 的梯度得： (1+x) n -1 与 nx 无穷小等价
例3求带电量Q、半径为α的导体球的静电场总能量。解：（方法一）按电荷分布29整个导体为等势体，导体球的电荷分布于球面上QPa=4元2g因此静电场总能量为Q?W:8元.（方法之二）：按电场分布15-DdV2Ja因为球内电场为零，故只须对球外积分8Qm1QW-rdrd218元gar2（4元6）8元60起例4已知真空中某静电场的电势β=2x2y-5z，求P（-4,3,6）处的电势@和电场强度Ep。解：将场点坐标值代入Pp = 2×(-4)2×3-5×6 = 66V电场强度E=-V=-(e%+e%+ez2o= -4xyex - 2xéy + 5e,将场点坐标值代入Ep = (-4) × (-4) × 3ex - 2 × (-4)ey + 5e=(48ex-32ey+5e,)V/m【本讲课程的小结】今天我们主要讲了静电场的标势及其微分方程。【本讲课程的作业】思考题与习题1（第二章）
例 3 求带电量 Q、半径为 a 的导体球的静电场总能量。 解：（方法一）按电荷分布 整个导体为等势体, 导体球的电荷分布于球面上 因此静电场总能量为 （方法之二）: 按电场分布 因为球内电场为零，故只须对球外积分 例 4 已知真空中某静电场的电势 2x y 5z 2 = − ，求 P（-4, 3, 6）处的电势 P 和电场强 度 E P 。 解：将场点坐标值代入 P 2 ( 4) 3 5 6 66V 2 = − − = 电场强度 E = − ( ) z e y e x ex y z + + = − z 4xyex 2x ey 5e 2 = − − + 将场点坐标值代入 z E P ( 4) ( 4) 3ex 2 ( 4)ey 5e 2 = − − − − + = (48ex − 32ey + 5ez)V / m 【本讲课程的小结】今天我们主要讲了静电场的标势及其微分方程。 【本讲课程的作业】思考题与习题 1（第二章）