课程名称：《电动力学》第周，第8讲次摘要第二章静电场授课题目（章、节）2 唯一性定理3拉普拉斯方程分离变量法本讲目的要求及重点难点：【目的要求】通过本讲课程的学习，掌握静电场的唯一性定理，理解并掌握用分离变量法求解静电场。【重点】静电场的唯一性定理，分离变量法求解静电场【难点】分离变量法求解静电场内容【本讲课程的引入】静电场的基本问题是求出在所有边界上满足边值关系或给定边界条件的泊松方程的解。本节我们把这问题确切地表述出来，即需要给出哪些条件，静电场的解才能唯一地被确定。【本讲课程的内容】第2节唯一性定理静电场的唯一性定理对于解决实际问题有着重要的意义。1静电问题的唯一性定理区域V可以分为若干个均匀区域Vi，每一均匀区域的电容率为。设V内有给定的电荷分布p(x)。电势在均匀区域V;内满足泊松方程V0=-p/8在两区域V.和V的分界面上满足边值关系aoP=Pj,On除此之外，要完全确定V内的电场，还必须给出V的外边界S上的一些条件。唯一性定理：设区域V内自由电荷分布为p(x)，在V的外边界S上给定：（i）电势@或者（ii）电势的法向倒数(Oo/an)/s，则V内的电场唯一地确定。也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V的边界S上满足给定的或ap/an值。证明：设有两组不同的解和β"满足唯一性定理的条件，令='-"，由于"=-p/8,V""=-/8得Vβ=0在两均匀区界面上有P,=P,,00O
课程名称：《电动力学》 第 周，第 8 讲次 摘 要 授课题目（章、节） 第二章 静电场 2 唯一性定理 3 拉普拉斯方程 分离变量法 本讲目的要求及重点难点： 【目的要求】通过本讲课程的学习，掌握静电场的唯一性定理，理解并掌握用分离变量法求解静电场。 【重 点】静电场的唯一性定理，分离变量法求解静电场 【难 点】分离变量法求解静电场 内 容 【本讲课程的引入】静电场的基本问题是求出在所有边界上满足边值关系或给定边界条件 的泊松方程的解。本节我们把这问题确切地表述出来，即需要给出哪些条件，静电场的解 才能唯一地被确定。 【本讲课程的内容】 第 2 节 唯一性定理 静电场的唯一性定理对于解决实际问题有着重要的意义。 1 静电问题的唯一性定理 区域 V 可以分为若干个均匀区域 Vi，每一均匀区域的电容率为 i 。设 V 内有给定的电荷 分布 (x) 。电势 φ 在均匀区域 Vi 内满足泊松方程 在两区域 Vi 和 Vj 的分界面上满足边值关系 除此之外，要完全确定 V 内的电场，还必须给出 V 的外边界 S 上的一些条件。 唯一性定理：设区域 V 内自由电荷分布为 (x) ，在 V 的外边界 S 上给定： （i）电势 s 或者（ii）电势的法向倒数(/n)s，则 V 内的电场唯一地确定。 也就是说，在 V 内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两均匀区域分界 面上满足边值关系，并在 V 的边界 S 上满足给定的 或 /n 值。 证明：设有两组不同的解 ’和 ’’满足唯一性定理的条件， 令 ， 由于 得 在两均匀区界面上有
在整个区域V的边界S上有=或"=0ansansans考虑第i个均匀区V：的界面S上的积分f.,c0Vo.ds=J. v(covo)v=J, e(Vo)ay+J., oe,Va=J,e(v)av对所有分区Vi求和Zi, e,pVo-ds=J.e(vo)av在均匀区界面=0P，=9ds, =-ds（内部边界积分相互抵消）0=0=0外边界9或ons而右边被积函数si(Vp)≥0。上式成立的条件是在V内各点上都有Vβ=0，即在V内，()=0P=C这说明β和"至多只能相差一个常量。但电势的附加常量对电场没有影响，这就证明了唯一性定理。2有导体存在时的唯一性定理当有导体存在时，由实践经验我们知道，为了确定电场，所需要条件有两种类型：一类是给定每个导体上的电势Pi；另一类是给定每个导体上的总电荷Qi。如图设在某区域V内有一些导体，除去导体内部以后的区域为V。设V"内有给定电荷分布p，S上给定了pls或(Op/an)/s值。第一类型：当每个导体上的电势:给定时，即给出了V"所有边界上的或(oop/an)值，因而由上一小节证明了的唯一性定理可知，V内的电场被唯一确定。第二类型：设区域V内有一些导体，给定导体之外的电荷分布p，给定各导体上的总电荷O以及V的边界S上的β或ap/an值，则V内的电场唯一地确定
在整个区域 V 的边界 S 上有 或 考虑第 i 个均匀区 Vi 的界面 Si 上的积分 对所有分区 Vi 求和 在均匀区界面 (内部边界积分相互抵消) 外边界 或 而右边被积函数 i() 2 0。上式成立的条件是在 V 内各点上都有 =0 ，即在 V 内， 这说明 ’和 ”至多只能相差一个常量。但电势的附加常量对电场没有影响，这就证明了 唯一性定理。 2 有导体存在时的唯一性定理 当有导体存在时，由实践经验我们知道，为了确定电场，所需要条件有两种类型： 一类是给定每个导体上的电势 φi；另一类是给定每个导体上的总电荷 Qi。 如图设在某区域 V 内有一些导体，除去导体内部以后的区域为 V’。设 V’内有给定电荷分 布 ρ，S 上给定了 |s 或(/n)|s 值。 第一类型：当每个导体上的电势 φi 给定时，即给出了 V’所有边界上的 或(/n)值，因 而由上一小节证明了的唯一性定理可知， V’内的电场被唯一确定。 第二类型：设区域 V 内有一些导体，给定导体之外的电荷分布 ，给定各导体上的总电 荷 Qi 以及 V 的边界 S 上的 或/n 值，则 V 内的电场唯一地确定
也就是说，存在唯一的解，它在导体以外满足泊松方程：=-/在第i个导体上满足总电荷条件：f.0as -2Js,On和等势面条件=0,=CPS,以及在V的边界S上具有给定的pls或(oalan)s值。（证明略）例两同心导体球壳之间充以两种介质，左半部电容率为61，右半部电容率为62，设内球壳带总电荷Q，外球壳接地，求电场和球壳上的电荷分布。解：设两介质内的电势、电场强度和电位移分别为P,E1,D,P2,E2,D由于左右两半是不同介质，因此一般不同于只有一种均匀介质时的球对称解。在找尝试解时，我们先考虑两介质分界面上的边值关系D2n = Din = 0E=E如果我们假设E仍保持球对称性，即AE=4(Left)Tr3AE,=(Right)T此时边值关系得到满足。导体球面上的积分fD.ds-J,s,E,.ds+J.e,E,ds=Q将电场值代入得2元(6,+6,)A=0解出0A2元(6, +62)则Qr(Left)312元(6) +6,)r3Qr(Right)2元(6,+8,)r
也就是说，存在唯一的解，它在导体以外满足泊松方程： 在第 i 个导体上满足总电荷条件： 和等势面条件 以及在 V 的边界 S 上具有给定的 |s 或(/n)|s 值。（证明略） 例 两同心导体球壳之间充以两种介质，左半部电容率为 1，右半部电容率为 2，设内球 壳带总电荷 Q，外球壳接地，求电场和球壳上的电荷分布。 解：设两介质内的电势、电场强度和电位移分别为 由于左右两半是不同介质，因此一般不同于只有一种均匀介质时的球对称解。在找尝试解 时，我们先考虑两介质分界面上的边值关系 如果我们假设 E 仍保持球对称性，即 此时边值关系得到满足。 导体球面上的积分 将电场值代入得 解出 则
注意导体两半球上的面电荷分布是不同的，但E却保持球对称性。此解满足唯一性定理的所有条件，因此是唯一正确的解。虽然E仍保持球对称性，但是D和导体面上的电荷面密度6不具有球对称性。设内导体半径为α，则球面上的电荷面密度为s0(Left)0,=D,=&Er2元(6+8,)a600,=D,=8,E,=(Right)2元(61+6,)a2第3节拉普拉斯方程分离变量法静电场的基本问题：电场由电势描述电势满足泊松方程+边界条件。静电场的具体工作：解泊松方程。只有在界面形状是比较简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视具体情况不同而有不同解法。本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的．例如：电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的；电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布.选择导体表面作为区域V的边界，V内部自由电荷密度p=0，泊松方程化为比较简单的拉普拉斯方程V'0=0它的通解可以用分离变量法求出。a现根据界面形状选择适当的坐标系b.在该坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方程。最常用的坐标系有球坐标系和柱坐标。拉氏方程在球坐标中的通解为：p(R,0,g)-ammR"+P"(coso)cosmdRA+172(r +n rcomnm71.mP"(cos)为缔合勒让德函数，aam，bum,Cam，dam为任意常数，由边界定。若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，这种情形下通解为=2(a.R"+)"+ R p.(coso)例1一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷Q，同心地包围一个半径为Ri的导体球（R1<R2），使这个导体球接地。求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。解：这问题有球对称性，电势β不依赖于角度和Φ。设导体壳外和壳内的电势分别为
注意导体两半球上的面电荷分布是不同的，但 E 却保持球对称性。 此解满足唯一性定理的所有条件，因此是唯一正确的解。 虽然 E 仍保持球对称性，但是 D 和导体面上的电荷面密度 σ 不具有球对称性。 设内导体半径为 a，则球面上的电荷面密度为 第 3 节 拉普拉斯方程 分离变量法 静电场的基本问题：电场由电势描述电势满足泊松方程+边界条件。 静电场的具体工作：解泊松方程。 只有在界面形状是比较简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视具 体情况不同而有不同解法。 本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法 在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的．例如：电容器内部的电场是由作为电极 的两个导体板上所带电荷决定的；电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上 的自由电荷决定的 这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布． 选择导体表面作为区域 V 的边界，V 内部自由电荷密度 ＝0，泊松方程化为比较简单的拉 普拉斯方程 它的通解可以用分离变量法求出。 a. 现根据界面形状选择适当的坐标系 b. 在该坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方程。 最常用的坐标系有球坐标系和柱坐标。 拉氏方程在球坐标中的通解为： 为缔合勒让德函数，anm, bnm, cnm, dnm为任意常数，由边界定。 若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，这种情形下通解为 例 1 一个内径和外径分别为 R2 和 R3 的导体球壳，带电荷 Q，同心地包围一个半径为 R1 的导体球（R1 <R2），使这个导体球接地。求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。 解：这问题有球对称性，电势 φ 不依赖于角度 θ 和 Φ。设导体壳外和壳内的电势分别为
SR>R3P=a+RdR,>R>R,P,=C+R"边界条件为：（1）内导体接地d-0c+P2R=RY=0R.a=0Pi|R→0推出：（2）整个导体球壳为等势体dbc+=0P2R=R2R,R,KPiR=R推出：（3）球壳带总电荷Q，4ogQrpQPR'dQ+R'dQb-d=R=R, ORR=R,OR604元60推出：由这些边界条件得QQ1,d=2a=0,b=C:4元起4元6R4元起4元起R1901=其中R"-R"+R利用这些值得电势的解：Q+Q(R>R,)P4元R(1_1(R, >R>R)P24元起（RR)导体球上的感应电荷为0PR'd2=Q1T-609R=R OR【本讲课程的小结】今天我们主要讲了静电场的唯一性定理，并用分离变量法求解静电场问题。【本讲课程的作业】思考题与习题2（第二章）
边界条件为： （1）内导体接地 推出： ， （2）整个导体球壳为等势体 推出： （3）球壳带总电荷 Q， 推出： 由这些边界条件得 其中 利用这些值得电势的解： 导体球上的感应电荷为 【本讲课程的小结】今天我们主要讲了静电场的唯一性定理，并用分离变量法求解静电场 问题。 【本讲课程的作业】思考题与习题 2（第二章）