电动力学习题答案第一章电磁现象的普遍规律根据算符√的微分性与向量性，推导下列公式：1.V(A·B)=B×(V×A)+(B.V)A+A×(V×B)+(A.V)BAx(V×A)=}VA?-(A.V)A解:(1) V(A·B)=V(A·B)+V(B·A)=B,×(V×A)+(B.V)A+A,×(V×B)+(A .V)B=B×(V×A)+(B.V)A+A×(V×B)+(A.V)B（2）在（1）中令A=B得：V(A·A)=2A×(V×A)+2(A.V)A,所以 A×(V×A)=V(A·A)-(A-V)A即A×(V×A)=IVA?-(A.V)A设u是空间坐标x.y.z的函数，证明：2.3dAdAdfuvf(u)=V.A(u)=VuVxA(u)=Vuxdududu证明：df oudf oudf ouaf(u)af(u)af(u)(1) Vf(u)=&22Ozduaxduaydu azaxayQudfdf .ouOuVuoOzduaxaydudA,dA,ouauaA,(u)aA.(u)dA.OuaA.(u)(2) V-A(u)+axayOzdu axaydu azdudA,dA.dA.ouQuaudAe.)=Vue+e.e.+eyedududuaxayOzduexe,e.dAoulaxQulayOu/az(3)VuxdudA,/dudA. /dudA,/dudA, oudAOudA, OudAOudA. OudA,Ou4duOzdu azduaxdu axduQyduayaA,(u)aA,(u)aA.(u)oA,(u)aA,(u)aA,(u)dzayOzaxaxay=V×A(u)3.设r=/(x-x)2+(y-y)+(z-z)2为源点x到场点x的距离，的方向规定为从源点指向场点。（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：Vr=-Vr=r/r:V(1/r)=-V(1/r)=-r/r3 :V×(r/r3)=0;第1页
电动力学习题答案 第 1 页 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符 的微分性与向量性，推导下列公式： (A B) = B ( A) + (B)A+ A ( B) + (A)B A ( A) (A )A 2 2 = 1 A − 解：（1） ( ) ( ) ( ) A B A Bc B Ac = + = Bc ( A) + (Bc )A+ Ac ( B) + (Ac )B = B ( A) + (B )A + A ( B) + (A)B （2）在（1）中令 A = B 得： (A A) = 2A ( A) + 2(A)A， 所以 A ( A) 2 (A A) (A )A = 1 − 即 A ( A) (A )A 2 2 = 1 A − 2. 设 u 是空间坐标 x, y,z 的函数，证明： u u f f u = d d ( ) ， u u u d d ( ) A A = ， u u u d d ( ) A A = 证明： （1） x y z z f u y f u x f u f u e e e + + = ( ) ( ) ( ) ( ) x y z z u u f y u u f x u u f e e e + + = d d d d d d u u f z u y u x u u f x y z = + + = d d ( ) d d e e e （2） z A u y A u x A u u x y z + + = ( ) ( ) ( ) A( ) z u u A y u u A x u u Ax y z + + = d d d d d d u u z u y u x u u A u A u A z x y z z y y x x d d ) ( ) d d d d d d ( A e e e e e e = + + = + + （3） A u A u A u u x u y u z u u x y z x y z d / d d / d d / d / / / d d = e e e A z y x y x z x z y y u u A x u u A x u u A z u u A z u u A y u u A e e )e d d d d ) ( d d d d ) ( d d d d ( − + − + − = z y x y x z x z y y A u x A u x A u z A u z A u y A u e e ]e ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) [ − + − + − = = A(u) 3. 设 2 2 2 r = (x − x') + ( y − y') + (z − z') 为源点 x' 到场点 x 的距离， r 的方向规定为 从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系： r = −'r = r/r ； 3 (1/r) = −'(1/r) = −r /r ； ( / ) 0 3 r r = ；
电动力学习题答案V.(r/r3)=-V(r/r3)=0 ,(r±0)。(2)求.r，xr，(a.V)r，v(a.r)，.[E.sin(k·r)l及V×[E。sin(k·r)，其中a、k及E。均为常向量。(1)证明：r=/(x-x)+(y-y)+(2-2)① Vr=(1/r)[(x-x)e, +(y-y')e, +(z-z)e.]=r/rVr=(1/r)[-(x-x)e,-(y-y')e,-(z-2)e.]=-r/r可见Vr=-Vr[)-()=-Vr=②()-()r=-r=可见v(1/r)=-V(1/r)③ V×(r/r3)=V×[(1/r3)r]=V(1/r3)×r+(1/r3)V×r_3rxr=0rxr+0=-r4dr① V.(r/r3)=V.[(1/r3)r]=V(1/r3)-r+33r(r ± 0)AI?(2)解：aaaOv.r.).[(x-x')e +(y-y')e, +(z-z)e. ]=3eaydzaxe.exe,a/ax0/0==0Vxr=aa/ay②x-x'N-2y-yaaa (a.V)r=(arx-x')er +(y-y)e, +(z-z')e.]+a1Cx+aayaxOz=arer+a,e,+a.e.=a④V(a.r)=rx(xa)+(r.V)a+ax(xr)+(a.V)r因为，a为常向量，所以，Vxa=0，（r.)a=0，又Vxr=0,..V(a.r)=(a.V)r=a③.[E,sin(k·r)]=(.E.)sin(k·r)+E-[Vsin(k·r)lE.为常向量，V.E。=O，而Vsin(k·r)=cos(k·r)V(k·r)=cos(k·r)k,所以.[E,sin(k·r)]=k·E.cos(k·r)?x[E,sin(k·r)]=[Vsin(k·r)]xE,=kxE,cos(k·r)]第2页
电动力学习题答案 第 2 页 ( / ) '( / ) 0 3 3 r r = − r r = ， (r 0) 。 （2）求 r ，r ，(a )r ，(a r) ， [ sin( )] 0 E k r 及 [ sin( )] 0 E k r ，其中 a 、 k 及 E0 均为常向量。 （1）证明： 2 2 2 r = (x − x') + ( y − y') + (z − z') ○1 r r x x ' y y z z r x y z = (1/ )[( − )e + ( − ')e + ( − ')e ] = r / r r x x ' y y z z r x y z ' = (1/ )[−( − )e − ( − ')e − ( − ')e ] = −r / 可见 r = −'r ○2 2 3 1 1 d 1 d r r r r r r r r = − = − = 2 3 ' 1 ' 1 d 1 d ' r r r r r r r r = − = = 可见 (1/r) = −'(1/r) ○3 (r / ) = [(1/ )r] = (1/ ) r + (1/ ) r 3 3 3 3 r r r r 0 3 0 1 d d 3 4 + = − = = r r r r r r r r ○4 r = r = r + r 3 3 3 3 1 ( / ) [(1/ ) ] (1/ ) r r r r 0 3 3 4 3 = − + = r r r r r ， (r 0) （2）解： ○1 ( )[( − ') + ( − ') + ( − ') ] = 3 + + = x y z x y z x x y y z z x y z r e e e e e e ○2 0 ' ' ' / / / = − − − = x x y y z z x y z x y z e e e r ○3 ( ) ( )[( ') ( ') ( ') ] x y z x y z x x y y z z z a y a x a r a − e + − e + − e + + = = ax ex + ay ey + az ez = a ○4 (a r) = r ( a) + (r )a + a ( r) + (a )r 因为，a 为常向量，所以，a = 0， (r )a = 0 ， 又 r = 0，(a r) = (a )r = a ○5 [ sin( )] ( )sin( ) [ sin( )] 0 0 0 E k r = E k r + E k r E0 为常向量， E0 = 0，而 sin( k r) = cos(k r)(k r) = cos(k r)k ， 所以 [ sin( )] cos( ) 0 0 E k r = k E k r ○6 [ sin( )] [ sin( )] cos( )] 0 0 0 E k r = k r E = k E k r
电动力学习题答案应用高斯定理证明【.dVV×f=dS×f，应用斯托克斯（Stokes）定理证明4[,ds×Vp=f, dlp证明：（I）设c为任意非零常矢量，则c. [dv×f =[dv[e-(V× f)]根据矢量分析公式V-(A×B)=(V×A)·B-A·(V×B)，令其中A=f，B=C，便得V(fxc)=(V×f).c-f.(Vxc)=(V×f).c所以 c Jd×f =[dV[c-(V×f)]=d.(f×c) =f(f×c)-dsfc (d$×J)=c fdsxf因为C是任意非零常向量，所以[dv×f =fds×f（II）设a为任意非零常向量，令F=pa，代入斯托克斯公式，得[v×F.dS=F-dl(1)(1)式左边为：[x(pa).ds=[[Vpxa+p×ajds=Vpxa.ds=-f,axVp.dsa.Vpxds=/a.dsxVp,dsxVp(2)=a(1）式右边为：pa.dl=a.pdl(3)a. I,dsxVp=a.f odl(4)所以因为a为任意非零常向量，所以[ds×Vp=odl5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为p(t)=[p(x,t)xdV，利用电荷守恒定律ap=[J(x,t)dvV.J+=0证明p的变化率为：atdt证明：方法（I）-,p(x,)xrda=%le(r,xar- , rd=-1()rddtdi.ddp.e,=--[(V-)x'e,d"=-J,x(VJ)dV = ,[-V(x)+(x).JdVdt=-f xJ.ds +J,J, dv因为封闭曲面s为电荷系统的边界，所以电流不能流出这边界，故第3页
电动力学习题答案 第 3 页 4. 应用高斯定理证明 f = S f V S dV d ，应用斯托克斯（Stokes）定理证明 = S L dS dl 证明：（I）设 c 为任意非零常矢量，则 = V V c dV f dV[c ( f )] 根据矢量分析公式 (A B) = ( A) B − A( B) ， 令其中 A = f ， B = c ，便得 ( f c) = ( f ) c − f ( c) = ( f ) c 所以 = = V V V c dV f dV[c ( f )] dV ( f c) = ( f c)dS c S f c S f = (d ) = d 因为 c 是任意非零常向量，所以 d f = dS f V V （II）设 a 为任意非零常向量，令 F = a ，代入斯托克斯公式，得 F S = F l S d d （1） （1）式左边为： = + S S (a) dS [ a a]dS = = − S S a dS a dS = − = S S a dS a dS = S a dS （2） （1）式右边为： a dl = a dl （3） 所以 a dS =a dl S （4） 因为 a 为任意非零常向量，所以 dS = dl S 5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 (t) ( ' ,t) 'dV' V p x x = ，利用电荷守恒定律 = 0 + t J 证明 p 的变化率为： = V t V t ( ' , )d d d J x p 证明：方法（I） = = V V t V t t V t t ( , ) d ' [ ( , ) ]d ' d d d d x' x' x' x' p = − = V V V V t t d ' ( ' ) d ' ( , ) x' J x' x' = − = − V V V x ' V t ( ' ) d ' ( ' )d ' d d 1 1 1 1 e J x ' e J p [ ' ( ) ( ' ) ]d ' x1 ' x1 ' V V = − J + J = − + V x S x ' d ' J dV' 1 1 J S 因为封闭曲面 S 为电荷系统的边界，所以电流不能流出这边界，故
电动力学习题答案dpJ.ds'=0,J.,dddpdp.eJ..dv同理r,dy',odtdtdpJdV所以dt方法（II)dpdrJ,(,r=(x-()dtdtat根据并矢的散度公式V.(fg）=(V·f)g+(f.V)g得：V.(Jx)=(V.J)x'+(J.V)x'=(V.J)x+J--f, (x)a+[Ja=-f ds (x)+[J= avdt6.若m是常向量，证明除R=0点以外，向量A=（m×R)/R3的旋度等于标量=m·R/R"的梯度的负值，即V×A=-Vβ，其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。证明：V(1/r)=-r/r3..VxA=Vx(mx))] =×[(-)×m])=-V×[mx(V-=(V·m)>+(m: V)>}-[V.(v)m-[(vl).Vjm=(mV)>!-[2]m1其中V2(1/r)=0(r±0).. VxA=(m.V)>!(r±0)又Vβ=V(":)=-V[m-(v})=-m×[V×(v-)]-(v-)×(V×m)-(m· V)(v-)-[(V).V/m=-(m.V)(v-)所以，当r±0时，V×A=-Vβ7.有一内外半径分别为r和r，的空心介质球，介质的电容率为8，使介质球内均匀带静止自由电荷P，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。解：（1）设场点到球心距离为r。以球心为中心，以r为半径作一球面作为高斯面。由对称性可知，电场沿径向分布，且相同r处场强大小相同。当r<r时，D=0，E,=0。第4页
电动力学习题答案 第 4 页 1 d ' = 0 S x 'J S ， = V J x V t d ' d d 1 1 e p 同理 = V J x V t d ' d d 2 2 e p ， = V J x V t d ' d d 3 3 e p 所以 = V V t d ' d d J p 方法（II） = = V V t V t t V t t ( , ) d ' [ ( , ) ]d ' d d d d x' x' x' x' p = − = V V V V t t d ' ( ' ) d ' ( , ) x' J x' x' 根据并矢的散度公式 ( fg) = ( f )g + ( f )g 得： (Jx') = ( J )x'+(J )x' = ( J )x'+J = − + V V V V t ' ( )d ' d ' d d Jx' J p = − + V dS (Jx') JdV' = V JdV' 6. 若 m 是常向量，证明除 R = 0 点以外，向量 3 A =（m R）/ R 的旋度等于标量 3 = m R/ R 的梯度的负值，即 A = − ，其中 R 为坐标原点到场点的距离， 方向由原点指向场点。 证明： 3 （1/r) = −r /r ) ] 1 )] [( 1 ( ) [ ( 3 m m m r A = − = = r r r m m m ) ]m 1 )] [( 1 [ ( 1 ( ) 1 = ( ) + − − r r r r m ]m 1 [ 1 ( ) 2 r r = − 其中 (1/ ) 0 2 r = ， （ r 0 ） r 1 A = (m ) ， （ r 0 ） 又 )] 1 ( ) [ ( 3 r r = − = m m r m m m ) ]m 1 ) [( 1 ) ( ) ( )( 1 )] ( 1 = − [ ( − − − r r r r ) 1 ( )( r = − m 所以，当 r 0 时， A = − 7. 有一内外半径分别为 1 r 和 2 r 的空心介质球，介质的电容率为 ，使介质球内均匀带静 止自由电荷 f ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。 解：（1）设场点到球心距离为 r 。以球心为中心，以 r 为半径作一球面作为高斯面。 由对称性可知，电场沿径向分布，且相同 r 处场强大小相同。 当 1 r r 时， D1 = 0， E1 = 0
电动力学习题答案44元2D,元(r-r)p)当r<r<r时，3(-r)pf(r-r)p:. D.E.3r23ar2(r3 -ri)p)E,:向量式为3ar344元2D,当r>r时，元r)p3(r-r)pr(r-r)pE,..D, 3r2360(r3-r)p,E, :向量式为360r(2)当r<r<r时,P, =-V.P=-V(D, -EE,)=-V-(D, - D)5=-(1-g)V.D, =-(1-9)P6当r=r时，0, =-n (P, - P)= -n-(D, - = D,)= -(1-E)D,l-~ = 02当r=r时,0,=n·P, =(1- E0)D,n =(1-)室-r-P3r2S内外半径分别为r和r，的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流J，，导8.体的磁导率为从，求磁感应强度和磁化电流。解：（1）以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半径为r。由对称性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。当r<r时，由安培环路定理得：H=0B=0当<r<r2时，由环路定理得：2mH,=J,元(r2-)J,(r?-r)B, = M(r? -r2所以H,2r2rur?-ru(r2-r2)B,=向量式为XI2r2r当r>时，2元H,=J,元(r-)J(r2-r)B, = to(-)H,所以2r2r第5页
电动力学习题答案 第 5 页 当 1 2 r r r 时， f r D (r r ) 3 4 4 3 1 3 2 2 = − 2 3 1 3 2 3 ( ) r r r D − f = ， 2 3 1 3 2 3 ( ) r r r E f − = ， 向量式为 E r 3 3 1 3 2 3 ( ) r r r f − = 当 2 r r 时， f r D (r r ) 3 4 4 3 1 3 3 2 2 = − 2 3 1 3 2 3 3 ( ) r r r D − f = 2 0 3 1 3 2 3 3 ( ) r r r E f − = 向量式为 E r 3 0 3 1 3 2 3 3 ( ) r r r f − = （2）当 1 2 r r r 时， ( ) ( ) 2 0 P D2 0E2 D2 D p = − = − − = − − f (1 ) (1 ) 0 2 0 = − − D = − − 当 1 r = r 时， ( ) ( ) (1 ) 0 1 2 0 2 0 = − 2 − 1 = − 2 − = − − = p r=r n P P n D D D 当 2 r = r 时， f p r r r r r 2 2 3 1 3 0 2 2 0 2 3 (1 ) (1 ) 2 − = = − = − = n P D 8. 内外半径分别为 1 r 和 2 r 的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流 f J ，导 体的磁导率为 ，求磁感应强度和磁化电流。 解：（1）以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半 径为 r 。由对称性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。 当 1 r r 时，由安培环路定理得： H1 = 0 , B1 = 0 当 1 2 r r r 时，由环路定理得： 2 ( ) 2 1 2 2 rH J r r = f − 所以 r J r r H f 2 ( ) 2 1 2 2 − = ， f J r r r B 2 ( ) 2 1 2 2 − = 向量式为 B e J r − = − = f f r r r J r r r 2 2 1 2 2 1 2 2 2 ( ) ˆ 2 ( ) 当 2 r r 时， 2 ( ) 2 1 2 3 2 rH J r r = f − 所以 r J r r H f 2 ( ) 2 1 2 2 3 − = ， f J r r r B 2 ( ) 2 1 2 0 2 3 − =