例如:系统的特征方程为 (0.51)(TS+1)+10(1-s)=0 以其中不含T的各项除方程的两边,得 1+ 7S(0.5s+1) 11-9.5s 该方程可进一步改写成 1+ TSS+2 =0 S 9.5 其中,D=~ 2×9.5 相当于根轨迹增益K0
(0.5 1)( 1) 10(1 ) 0 s Ts s + + + − = (0.5 1) 1 0 11 9.5 Ts s s + + = − * ( 2) 1 0 11 9.5 T s s s + + = − 其中， 相当于根轨迹增益K0 * 2 9.5 T T − = 例如：系统的特征方程为 以其中不含T的各项除方程的两边，得 该方程可进一步改写成
422绘制根轨迹的基本规则 规则1:根轨迹的分支数 分支数等于特征方程的阶数 由根轨迹方程知系统的特征方程为 (s-P1)(s-p2)…(s-pn)+K(s-1)(S-2)…(S-zmn)=0 因为n≥m,所以特征方程的最高次幂为n,即有 n个特征根。当K=0→>∞时,每个特征根都由 起点向终点连续移动,形成一条根轨迹。 n个根就有n条恨轨迹
规则1: 根轨迹的分支数 分支数等于特征方程的阶数 4.2.2 绘制根轨迹的基本规则 (s − p1 )(s − p2 )(s − pn ) + K(s − z1 )(s − z2 )(s − z m ) = 0 n m n n K = 0 → n n 由根轨迹方程知系统的特征方程为 因为 ，所以特征方程的最高次幂为 ，即有 个特征根。当 起点向终点连续移动，形成一条根轨迹。 个根就有 条根轨迹。 时，每个特征根都由
规则2:根轨迹的起点和终点 从开环极点出发;趋向开环零点或无穷远处 K∏(s-=) I(-p) =-1→K= ∏(-P) (-=) K=0为根轨迹的起点K→∞为根轨迹的终点 S-p s=或→O
规则2: 根轨迹的起点和终点 从开环极点出发; 趋向开环零点或无穷远处 K=0为根轨迹的起点 K→∞为根轨迹的终点 s = z s = pi j 或s→∞ 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) m n j i j i n m i j i j K s z s p K s p s z = = = = − − = − = − − −
规则3:根轨迹的对称性 分支对称于实轴 控制系统闭环特征方程的系数是由实际物理系统 的结构决定的,均为实数,所以 闭环特征根若为实数根,则分布在S平面的实轴 上 若为复数,则成对出现为共轭复根。因此它们形 成的根轨迹必对称于实轴
控制系统闭环特征方程的系数是由实际物理系统 的结构决定的，均为实数，所以： •闭环特征根若为实数根，则分布在 平面的实轴 上； •若为复数，则成对出现为共轭复根。因此它们形 成的根轨迹必对称于实轴。 规则3: 根轨迹的对称性 分支对称于实轴 s
规则4:实轴上的根轨迹 实轴上某线段右边的实零点和实极点总数为 奇数时,这些线段就是根轨迹的部分 这可由相角方程得出 ∑4(-=)-∑4(s-)=±奇数倍r XP2 Z2 Z 12 P P ZI S P4 X P3
规则4: 实轴上的根轨迹 实轴上某线段右边的实零点和实极点总数为 奇数时, 这些线段就是根轨迹的部分. 这可由相角方程得出 1 1 ( ) ( ) m n j j j i s z s p = = − − − = 奇数倍