规则5:根轨迹的渐进线 n-m条趋向无穷远的根轨迹可由渐进线决定 渐进线的倾角为: 6 ±(2k+1)丌 k=0.12 1-m 渐进线与实轴的交点为 ∑p-∑ i=1 倾角证明:m K(s-3) 1-m K ·lim 1-m=-K n-m I(s-p (n-m)∠S=(2k+1)7:b (2k+1)丌
规则5: 根轨迹的渐进线 n-m条趋向无穷远的根轨迹可由渐进线决定 渐进线的倾角为: 渐进线与实轴的交点为: (2 1) 0,1,2, k k n m + = = − 1 1 n m i j i j A p z n m = = − = − 1 1 ( ) lim 1 ( ) (2 1) ( ) (2 1) m i i n m n n m s j j K s z K s K s s p k n m s k n m = − → − = − = = − = − − + − = + = − 倾角证明：
例4.2已知系统开环传递函数为 K 试绘制系统的根轨迹。G(S)H(S) 解①n=3m=0有3条根轨迹 s(S+1)(S+3) ②根轨迹的起点与终点: 起点:p1=0p2=-1终点÷无穷远点 O实轴上的根轨迹:[1,0和[,-3] ④根轨迹的渐近线 渐近线与实轴的夹角O=千(2k+My=+60°,±180 渐近线与实轴的交点:A33 0-1-3-04
例4.2 已知系统开环传递函数为 ( 1)( 3) ( ) ( ) + + = s s s K 试绘制系统的根轨迹。 G s H s n = 3 m = 0 p1 = 0 p2 = −1 p3 = −3 −1,0 − ,−3 解 ① 有3条根轨迹 ③ 实轴上的根轨迹： 和 ② 根轨迹的起点与终点： 起点： 终点：无穷远点 60 , 180 3 (2 1) = + = k 3 4 3 0 1 3 0 = − − − − A = ④ 根轨迹的渐近线 渐近线与实轴的交点： 渐近线与实轴的夹角
] 3K12 Pl 4 3K=12 图中虚线为根轨迹的渐近线,两条根轨迹沿±6向 趋于无穷远点,另一条根轨迹从出发沿负实轴方 向趋于无穷远点
60 p3 图中虚线为根轨迹的渐近线，两条根轨迹沿 方向 趋于无穷远点，另一条根轨迹从 出发沿负实轴方 向趋于无穷远点
规则6:根轨迹的分离点、会合点和分离角 根轨迹在实轴相交后进入复平面的点称为根轨迹 的分离点,而根轨迹由复平面进入实轴和交汇点称 为根轨迹的会合点。分离点与会合点实际上是闭环 特征方程的重根。 分离角:根轨迹离开重极点处的切线与实轴正方向的 夹角 分离角=土 为重根数
规则6: 根轨迹的分离点、会合点和分离角 分离角：根轨迹离开重极点处的切线与实轴正方向的 夹角 分离角= r为重根数 r 根轨迹在实轴相交后进入复平面的点称为根轨迹 的分离点，而根轨迹由复平面进入实轴和交汇点称 为根轨迹的会合点。分离点与会合点实际上是闭环 特征方程的重根
分离点就是特征方程出现重根之处。-必要条件 分离点是满足下列三组方程中任一组方程的解 G(s)H(S)]=0 d K K I(-= 3G(s)H(s)= KB(S A(SB(S-A(S)B(S=0 A(S)
分离点就是特征方程出现重根之处。--必要条件 分离点是满足下列三组方程中任一组方程的解 1 1 ( ) ( ) n j j m i i s p K s z = = − = − − 0 dK ds = 1 2 3 ( ) ( ) 0 d G s H s ds = ( ) ( ) ( ) ( ) A s KB s G s H s = A(s)B(s) − A(s)B(s) = 0