第5章一阶逻辑等值演算和推理重点：谓词逻辑基本等值式、蕴含式、等值演算、US（V-)、UG（V+）、ES（3-)、EG（3+）规则、形式证明。。难点：形式证明、前束范式。课程思政：看问题要抓核心，不要被事物的表象迷惑。教学方法与手段：课堂多媒体教学+作业+学生课外学习。第5.1节一阶逻辑等值式与置换规则深刻理解并牢记一阶逻辑（即谓词逻辑）中的重要等值式并熟练应用：熟练使用置换规则、换名规则、代替规则第5.2节一阶逻辑前束范式（可选）了解前束范式定义及求前束范式的方法，主要使用否定量词等值式和量词辖域收缩与扩张等值式。第5.3节一阶逻辑的推理理论了解自然推理系统P；熟练掌握一阶逻辑的推理定律（即谓词逻辑的蕴含式）及US（V-、UI)、UG（V+)、ES（3-、EI)、EG（3+）规则：熟练使用命题逻辑和谓词逻辑的推理规则构造形式证明基本要求：了解前束范式、自然推理系统F，牢记谓词逻辑基本等值式和基本蕴含式，深刻理解US（-）、UG（V+）、ES（3-)、EG（3+）规则，熟练掌握谓词逻辑的形式演绎法。课程思政：从谓词逻辑推理证明的方法一般是先消去量词，然后使用命题逻辑下的基本推理规则进行证明，引申出，剥离事物的表象，其核心本质仍然可以使用普遍存在的客观规律进行认知。第6章集合代数重点：幂集、集合的运算、集合恒等式。难点：集合的子集和相等的证明、幂集、包含排斥原理。课程思政：辩证唯物主义世界观。教学方法与手段：课堂多媒体教学+作业+学生课外学习。第6.1节集合的基本概念了解集合、元素、子集、空集、全集、包含、真包含、不等、相等等概念及集合的表示方法：深刻理解空集、全集、元素与集合的属于关系、集合之间的包含（子集）、相等关系：掌握包含关系的证明方法。第6.2节集合的运算了解有穷集合的计数方法（文氏图和包含排斥原理）：熟练掌握集合的基本运算（幂集运算、普通运算、广义运算）并能化简集合表达式：牢记集合基本恒等式：熟练掌握证明集合等式的方法。第6.3节有穷集的计算了解和掌握包含排斥原理。25
25 第 5 章 一阶逻辑等值演算和推理 第 5.1 节 一阶逻辑等值式与置换规则 深刻理解并牢记一阶逻辑（即谓词逻辑）中的重要等值式并熟练应用；熟练使用置换规 则、换名规则、代替规则 第 5.2 节 一阶逻辑前束范式（可选） 了解前束范式定义及求前束范式的方法，主要使用否定量词等值式和量词辖域收缩与扩 张等值式。 第 5.3 节 一阶逻辑的推理理论 了解自然推理系统 P；熟练掌握一阶逻辑的推理定律（即谓词逻辑的蕴含式）及 US（-、 UI）、UG（+）、ES（-、EI）、EG（+）规则；熟练使用命题逻辑和谓词逻辑的推理规则构 造形式证明 基本要求：了解前束范式、自然推理系统 F，牢记谓词逻辑基本等值式和基本蕴含式，深 刻理解 US（-）、UG（+）、ES（-）、EG（+）规则，熟练掌握谓词逻辑的形式演绎法。 课程思政：从谓词逻辑推理证明的方法一般是先消去量词，然后使用命题逻辑下的基本 推理规则进行证明，引申出，剥离事物的表象，其核心本质仍然可以使用普遍存在的客观规 律进行认知。 第 6 章 集合代数 第 6.1 节 集合的基本概念 了解集合、元素、子集、空集、全集、包含、真包含、不等、相等等概念及集合的表示 方法；深刻理解空集、全集、元素与集合的属于关系、集合之间的包含（子集）、相等关系； 掌握包含关系的证明方法。 第 6.2 节 集合的运算 了解有穷集合的计数方法（文氏图和包含排斥原理）；熟练掌握集合的基本运算（幂集运 算、普通运算、广义运算）并能化简集合表达式；牢记集合基本恒等式；熟练掌握证明集合 等式的方法。 第 6.3 节 有穷集的计算 了解和掌握包含排斥原理。 重点：谓词逻辑基本等值式、蕴含式、等值演算、US（-）、UG（+）、ES（-）、EG （+）规则、形式证明。 难点：形式证明、前束范式。 课程思政：看问题要抓核心，不要被事物的表象迷惑。 教学方法与手段：课堂多媒体教学+作业+学生课外学习。 重点：幂集、集合的运算、集合恒等式。 难点：集合的子集和相等的证明、幂集、包含排斥原理。 课程思政：辩证唯物主义世界观。 教学方法与手段：课堂多媒体教学+作业+学生课外学习
基本要求：了解集合、元素、子集、空集、全集、包含、真包含、不等、相等、幂集等概念，集合的表示方法，集合的交、并、差、补及文氏图的概念。掌握基本集合恒等式。证明简单的集合恒等式和集合的包含于关系。课程思政：从集合的谓词表达形式以及集合相等、子集的证明方法仍然可以使用哪个逻辑等值式和逻辑推理规则，引申出，认知普遍存在的客观规律，可以指引我们认知不同的失误甚至是新事物。第7章二元关系重点：关系的运算、关系的性质、等价关系、偏序关系。难点：闭包、等价关系、偏序关系。课程思政：辩证唯物主义世界观。教学方法与手段：课堂多媒体教学+作业+学生课外学习。第7.1节有序对与笛卡儿积了解有序对、n重有序组、笛卡儿积的概念，掌握笛卡儿积的运算和性质。第7.2节二元关系了解二元关系、X到Y的关系、X上的关系概念，关系的集合表达式、关系矩阵和关系图的表示法第7.3节关系的运算了解关系的定义域、值域；掌握关系的逆运算、复合运算、幂等运算。第7.4节关系的性质关系的自反性，非自反性，对称性，非对称性，传递性及其图示法：熟练掌握关系具有某种性质的判别方法。第7.5节关系的闭包了解自反闭包，对称闭包，传递闭包运算。第7.6节等价关系与划分掌握等价关系、等价类、商集、划分等概念：熟练掌握等价类及等价关系的证明和等价类、商集的求取。第7.7节偏序关系掌握偏序关系、偏序集、全序集，哈斯图和偏序集中的特定元素等概念：熟练掌握偏序关系的证明、哈斯图的求取和偏序集中特定元素的求取基本要求：了解有序对、重有序对、笛卡儿积的概念，掌握笛卡儿积的运算和性质：了解二元关系、X到Y的关系、X上的关系概念，关系的集合表达式、关系矩阵和关系图的表示法；了解关系的定义域、值域：掌握关系的逆运算、复合运算、幂等运算：了解自反闭包，对称闭包，传递闭包运算：掌握等价关系、等价类、商集、划分、偏序关系、偏序集、全序集，哈斯图和偏序集中的特定元素等概念；熟练掌握等价类及等价关系的证明和等价类的求26
26 基本要求：了解集合、元素、子集、空集、全集、包含、真包含、不等、相等、幂集等 概念，集合的表示方法，集合的交、并、差、补及文氏图的概念。掌握基本集合恒等式。证 明简单的集合恒等式和集合的包含于关系。 课程思政：从集合的谓词表达形式以及集合相等、子集的证明方法仍然可以使用哪个逻 辑等值式和逻辑推理规则，引申出，认知普遍存在的客观规律，可以指引我们认知不同的失 误甚至是新事物。 第 7 章 二元关系 第 7.1 节 有序对与笛卡儿积 了解有序对、n 重有序组、笛卡儿积的概念，掌握笛卡儿积的运算和性质。 第 7.2 节 二元关系 了解二元关系、X 到 Y 的关系、X 上的关系概念，关系的集合表达式、关系矩阵和关系图 的表示法 第 7.3 节 关系的运算 了解关系的定义域、值域；掌握关系的逆运算、复合运算、幂等运算。 第 7.4 节 关系的性质 关系的自反性，非自反性，对称性，非对称性，传递性及其图示法；熟练掌握关系具有 某种性质的判别方法。 第 7.5 节 关系的闭包 了解自反闭包，对称闭包，传递闭包运算。 第 7.6 节 等价关系与划分 掌握等价关系、等价类、商集、划分等概念；熟练掌握等价类及等价关系的证明和等价 类、商集的求取。 第 7.7 节 偏序关系 掌握偏序关系、偏序集、全序集，哈斯图和偏序集中的特定元素等概念；熟练掌握偏序 关系的证明、哈斯图的求取和偏序集中特定元素的求取 基本要求：了解有序对、n 重有序对、笛卡儿积的概念，掌握笛卡儿积的运算和性质；了 解二元关系、X 到 Y 的关系、X 上的关系概念，关系的集合表达式、关系矩阵和关系图的表示 法；了解关系的定义域、值域；掌握关系的逆运算、复合运算、幂等运算；了解自反闭包， 对称闭包，传递闭包运算；掌握等价关系、等价类、商集、划分、偏序关系、偏序集、全序 集，哈斯图和偏序集中的特定元素等概念；熟练掌握等价类及等价关系的证明和等价类的求 重点：关系的运算、关系的性质、等价关系、偏序关系。 难点：闭包、等价关系、偏序关系。 课程思政：辩证唯物主义世界观。 教学方法与手段：课堂多媒体教学+作业+学生课外学习
取、偏序关系的证明、哈斯图的求取和偏序集中特定元素的求取。课程思政：从等价关系、偏序关系引申出，如果我们认知了客观世界的普遍规律，就能将事物进行分类，然后分而治之。第8章函数重点：嵌入式SQL的一般形式及其与主语言之间的通信、存储过程。难点：存储过程。课程思政：我们在观察、研究和处理任何问题的时候，既必须以矛盾的普遍性原理作为指导，又必须从事物的矛盾特殊性出发。教学方法与手段：课堂多媒体教学+作业+学生课外学习。第8.1节函数的定义和性质了解函数相等、特殊函数、像、原像的概念；理解函数、X到Y的函数、X上的函数概念。函数单射、满射和双射；深刻理解像的存在性、像的唯一性，熟练掌握单射、满射和双射的构造、判断和证明。第8.2节函数的复合与反函数理解复合函数和双射函数的反函数。第8.3节双射函数与集合的基数（略）了解集合的等势与优势、自然数和自然数集合的定义、有关等势和优势的重要结果：了解基数的定义，会计算简单集合的基数第8.4节一个电话系统的描述实例（可选）基本要求：理解函数、X到Y的函数、X上的函数概念。函数单射、满射和双射。复合函数和双射函数的反函数。课程思政：从实际的数学函数、三角函数到C语言中的函数，再到我们从二元关系定义出函数更一般的形式，引申出认知客观世界是一个不断延续的过程，是由特殊到一般，再由一般到特殊的无限的认识过程。第14章图的基本概念重点：图的通路和连通性概念，图的同构概念，握手定理的应用，图中长度为1的通路与回路数，其中1≤l≤n。难点：图的通路和连通性、图中长度为1的通路与回路数。课程思政：事物是普遍联系的。教学方法与手段：课堂多媒体教学+学生课外学习。第14.1.图理解与图的定义有关的诸多概念及它们之间的相互关系：深刻理解并熟练应用握手定理及其推论的应用；了解图同构、简单图、完全图、正则图、子图、补图、二部图等概念及其它们的性质和相互关系。第14.2通路与回路27
27 取、偏序关系的证明、哈斯图的求取和偏序集中特定元素的求取。 课程思政：从等价关系、偏序关系引申出，如果我们认知了客观世界的普遍规律，就能 将事物进行分类，然后分而治之。 第 8 章 函数 第 8.1 节 函数的定义和性质 了解函数相等、特殊函数、像、原像的概念；理解函数、X 到 Y 的函数、X 上的函数概念。 函数单射、满射和双射；深刻理解像的存在性、像的唯一性，熟练掌握单射、满射和双射的 构造、判断和证明。 第 8.2 节 函数的复合与反函数 理解复合函数和双射函数的反函数。 第 8.3 节 双射函数与集合的基数（略） 了解集合的等势与优势、自然数和自然数集合的定义、有关等势和优势的重要结果；了 解基数的定义，会计算简单集合的基数 第 8.4 节 一个电话系统的描述实例（可选） 基本要求：理解函数、X 到 Y 的函数、X 上的函数概念。函数单射、满射和双射。复合函 数和双射函数的反函数。 课程思政：从实际的数学函数、三角函数到 C 语言中的函数，再到我们从二元关系定义 出函数更一般的形式，引申出认知客观世界是一个不断延续的过程，是由特殊到一般，再由 一般到特殊的无限的认识过程。 第 14 章 图的基本概念 第 14.1 图 理解与图的定义有关的诸多概念及它们之间的相互关系；深刻理解并熟练应用握手定理 及其推论的应用；了解图同构、简单图、完全图、正则图、子图、补图、二部图等概念及其 它们的性质和相互关系。 第 14.2 通路与回路 重点：嵌入式 SQL 的一般形式及其与主语言之间的通信、存储过程。 难点：存储过程。 课程思政：我们在观察、研究和处理任何问题的时候，既必须以矛盾的普遍性原理作为指 导，又必须从事物的矛盾特殊性出发。 教学方法与手段：课堂多媒体教学+作业+学生课外学习。 重点：图的通路和连通性概念，图的同构概念，握手定理的应用，图中长度为 l 的通路与 回路数，其中１ l ｎ。 难点：图的通路和连通性、图中长度为ｌ的通路与回路数。 课程思政：事物是普遍联系的。 教学方法与手段：课堂多媒体教学+学生课外学习
深刻理解通路与回路的定义、相互关系及其分类，掌握通路与回路的各种不同表示方法。第14.3图的连通性深刻理解无向图的连通性、连通分支、无向图的点连通度、边连通度；理解有向图连通性概念及其分类，掌握判断有向连通图类型的方法。第14.4图的矩阵表示熟练掌握有向图的邻接矩阵及各次幂求图中通路和回路数的方法；掌握求有向图的可达矩阵。第14.5图的运算了解儿种图的运算（并、交、差）。基本要求：了解无向图、有向图、零图、平凡图、简单图、完全图、正则图、子图、补图、图的同构、图中结点次数、多重图与带权图、通路与回路、无向图顶点间的连通和有向图顶点间的可达、无向图与有向图的各种连通性的概念；掌握握手定理及应用、判断有向连通图类型和通路与回路类型的方法、n阶有向图的邻接矩阵和可达性矩阵的定义和求法，通过邻接矩阵求顶点vi到vj长度为l的通路数，vi到自身的回路数以及图中长度为1的通路与回路数，其中1≤l≤n。课程思政：由图的连通性引申出事物是普遍联系的。第16章树重点：最小生成树、最佳前缀码、根树的遍历。难点：基本回路、基本回路系统、基本割集、基本割集系统及对给定生成树求出它们。课程思政：联系的条件性。教学方法与手段：课堂多媒体教学+学生课外学习。第16.1无向树及其性质深刻理解无向树的定义，掌握并灵活应用无向树的主要性质：熟练求解无向树，了解阶数n较小的所有非同构的无向树。第16.2生成树了解基本回路、基本回路系统、基本割集、基本割集系统及对给定生成树求出它们：熟练应用Kruskal算法求最小生成树。第16.3根树及其应用理解根树及其分类，了解阶数n较小（1≤n≤5）的所有非同构的根树：熟练掌握Huffman算法求最佳前缀码；掌握波兰符号法和逆波兰符号法的算法。基本要求：了解无向树、有向树、根树、森林、树根、树叶、分枝点、有序树和二元树的概念；掌握求生成树和最小生成树、用二元树表示有序树的方法。课程思政：由无向图到生成树再到最小生成树，引申出联系的条件性。28
28 深刻理解通路与回路的定义、相互关系及其分类，掌握通路与回路的各种不同表示方法。 第 14.3 图的连通性 深刻理解无向图的连通性、连通分支、无向图的点连通度、边连通度；理解有向图连通 性概念及其分类，掌握判断有向连通图类型的方法。 第 14.4 图的矩阵表示 熟练掌握有向图的邻接矩阵及各次幂求图中通路和回路数的方法；掌握求有向图的可达 矩阵。 第 14.5 图的运算 了解几种图的运算（并、交、差）。 基本要求：了解无向图、有向图、零图、平凡图、简单图、完全图、正则图、子图、补 图、图的同构、图中结点次数、多重图与带权图、通路与回路、无向图顶点间的连通和有向 图顶点间的可达、无向图与有向图的各种连通性的概念；掌握握手定理及应用、判断有向连 通图类型和通路与回路类型的方法、n 阶有向图的邻接矩阵和可达性矩阵的定义和求法，通过 邻接矩阵求顶点 vi 到 vj 长度为 l 的通路数，vi 到自身的回路数以及图中长度为ｌ的通路与 回路数，其中１ l ｎ。 课程思政：由图的连通性引申出事物是普遍联系的。 第 16 章 树 第 16.1 无向树及其性质 深刻理解无向树的定义，掌握并灵活应用无向树的主要性质；熟练求解无向树，了解阶 数 n 较小的所有非同构的无向树。 第 16.2 生成树 了解基本回路、基本回路系统、基本割集、基本割集系统及对给定生成树求出它们；熟 练应用 Kruskal 算法求最小生成树。 第 16.3 根树及其应用 理解根树及其分类，了解阶数 n 较小（１ n 5）的所有非同构的根树；熟练掌握 Huffman 算法求最佳前缀码；掌握波兰符号法和逆波兰符号法的算法。 基本要求：了解无向树、有向树、根树、森林、树根、树叶、分枝点、有序树和二元树 的概念；掌握求生成树和最小生成树、用二元树表示有序树的方法。 课程思政：由无向图到生成树再到最小生成树，引申出联系的条件性。 重点：最小生成树、最佳前缀码、根树的遍历。 难点：基本回路、基本回路系统、基本割集、基本割集系统及对给定生成树求出它们。 课程思政：联系的条件性。 教学方法与手段：课堂多媒体教学+学生课外学习
六、学时分配教学内容各教学环节学时分配作业对应讲实讨习课其小题量课程目标章节主要内容授验论题外它计课程目标11命题逻辑基本概念A44课程目标2课程目标3课程目标12446课程目标2命题逻辑等值演算课程目标3课程目标134课程目标2命题逻辑的推理理论4课程目标3课程目标144课程目标2一阶逻辑基本概念44课程目标3课程目标1一阶逻辑等值演算与5555课程目标2推理课程目标3课程目标1126集合代数12课程目标26课程目标3课程目标17171710二元关系课程目标2课程目标3课程目标158函数53课程目标2课程目标3课程目标14410图的基本概念课程目标2课程目标3课程目标1树5514课程目标2课程目标3合计646442七、课程教材及主要参考资料教材屈婉玲，耿素云，张立昂．离散数学。北京：高等教育出版社，2015教学参考书[1]屈婉玲，耿素云，张立昂。离散数学学习指导与习题解.北京：高等教育出版社。29
29 六、学时分配 教学内容 各教学环节学时分配 作业 题量 对应 章节 主要内容 讲 课程目标 授 实 验 讨 论 习 题 课 外 其 它 小 计 1 命题逻辑基本概念 4 4 4 课程目标 1 课程目标 2 课程目标 3 2 命题逻辑等值演算 4 4 6 课程目标 1 课程目标 2 课程目标 3 3 命题逻辑的推理理论 4 4 4 课程目标 1 课程目标 2 课程目标 3 4 一阶逻辑基本概念 4 4 4 课程目标 1 课程目标 2 课程目标 3 5 一阶逻辑等值演算与 推理 5 5 5 课程目标 1 课程目标 2 课程目标 3 6 集合代数 12 12 6 课程目标 1 课程目标 2 课程目标 3 7 二元关系 17 17 10 课程目标 1 课程目标 2 课程目标 3 8 函数 5 5 3 课程目标 1 课程目标 2 课程目标 3 10 图的基本概念 4 4 课程目标 1 课程目标 2 课程目标 3 14 树 5 5 课程目标 1 课程目标 2 课程目标 3 合 计 64 64 42 七、课程教材及主要参考资料 教材 屈婉玲，耿素云，张立昂．离散数学. 北京：高等教育出版社. 2015. 教学参考书 [1] 屈婉玲，耿素云，张立昂．离散数学学习指导与习题解.．北京：高等教育出版社