021两端铰支的细长压杆的临界力(续) w(x)+2w(x)=0 El k (10-1) El 则有压杆在微弯屈曲时的平衡方程 W(x)+k2w(x)=0 (10-2) 它的解可表示为 v(x)=asin kx+ Bcos kx (10-3) 其中,A、B为积分常数,由压杆的边界条件确定
10-2-1 ०ժ߳ᄆԅЩགئԅং࠘ॏ ༣ Ҹ ˄10-1˅ EI F k 2 P = ᳝߭य़ᴚᖂᔃሜ᳆ᯊⱘᑇ㸵ᮍ w ′′(x) + k 2w(x) = 0 ˄10-2˅ ᅗⱘ㾷ৃ㸼⼎Ў w(x) = Asin kx + Bcos kx ˄10-3˅ ݊ЁˈAǃB Ў⿃ߚᐌ᭄ˈ⬅य़ᴚⱘ䖍⬠ᴵӊ⹂ᅮDŽ ( ) ( ) 0 P ′′ + w x = EI F w x
0-2-1两端铰支的细长压杆的临界力(续) w(r)=asin kx+ B cos kr (10-3) 利用边界条件w(0)=0,可得B=0。 W()=0,有 sin kl=o (10-4) 因此有 k (n=0,2,…) 代入式(10-1),得 Fn=k2EⅠ n2丌EI 从工程实际讲,不为零的最小临界荷载才有意义,应 取n=1
ҢᎹᅲ䰙䆆ˈϡЎ䳊ⱘ᳔ᇣЈ⬠㥋䕑ᠡ᳝ᛣНˈᑨ প n = 1 DŽ 2 2 2 2 P l n EI F k EI π = = ҷܹᓣ ˄ 1 0 - 1 ˅ˈᕫ = ( n = 0,1,2,⋅⋅⋅) l n k π w ( l ) = 0 ˈ᳝ s i n k l = 0 ˄ 1 0 - 4 ˅ w ( x ) = A s i n kx + B c o s kx ˄ 1 0 - 3 ˅ 1 0 - 2 - 1 ०ժ߳ᄆԅЩགئԅং࠘ॏ ༣ ߽⫼䖍⬠ᴵӊ w ( 0 ) = 0 ˈৃᕫ B = 0 DŽ ℸ᳝
0-2-1两端铰支的细长压杆的临界力(续) 两端铰支细长压杆临界荷载的计算式(欧拉公式)为 丌2E (10-5) 式中,Ⅰ是杆横截面的最小形心主惯性矩。 ·将B=0和k=兀/代入式(10-3),得 (x)=asin 106) 可见,两端铰支细长压杆微弯时的挠曲线是一条正弦 半波曲线
10-2-1 ०ժ߳ᄆԅЩགئԅং࠘ॏ ༣ • ϸッ䫄ᬃ㒚䭓य़ᴚЈ⬠㥋䕑ⱘ䅵ㅫᓣ˄ᢝ݀ᓣ˅Ў (10-5) 2 2 Pcr l EI F π= ᓣЁˈI ᰃᴚ῾䴶ⱘ᳔ᇣᔶᖗЏᛃᗻⶽDŽ • ᇚ B= 0 k = π / l ҷܹᓣ˄10-3˅ˈᕫ (10-6) l x w x A π ( ) = sin ৃ㾕ˈϸッ䫄ᬃ㒚䭓य़ᴚᖂᔃᯊⱘᣴ᳆㒓ᰃϔᴵℷᓺ ञ⊶᳆㒓DŽ
1022其它杆端支承细长压杆的临界力 以两端铰支的情况为依据,将其它约束压杆屈曲的 弹性曲线形状与两端铰支的情况进行比较,得欧拉 公式的通用形式 Pcr (10-7) ()2 其中, l—压杆的实际长度 山-压杆的相当长度,表示压杆屈曲时弹性曲线 上正弦半波的长度; 一长度系数,反映不同支承的影响
10-2-2 ୣئժᄆѕЩགئԅং࠘ॏ • ҹϸッ䫄ᬃⱘᚙމЎձˈᇚ݊ᅗ㑺ᴳय़ᴚሜ᳆ⱘ ᔍᗻ᳆㒓ᔶ⢊Ϣϸッ䫄ᬃⱘᚙމ䖯㸠↨䕗ˈᕫᢝ ݀ᓣⱘ䗮⫼ᔶᓣ (10-7) 2 2 Pcr ( l) EI F µ π = ݊Ёˈ l — य़ᴚⱘᅲ䰙䭓ᑺ˗ — य़ᴚⱘⳌᔧ䭓ᑺˈ㸼⼎य़ᴚሜ᳆ᯊᔍᗻ᳆㒓 Ϟℷᓺञ⊶ⱘ䭓ᑺ˗ µl µ — 䭓ᑺ㋏᭄ˈডϡৠᬃᡓⱘᕅડDŽ
1d-22其它杆端支承细长压杆的临界力(续) 丌EI 4兀EI 20.19EI 41 端 两端铰支:=1, 端固定,另一端自由:A=2 两端固定:=0.5,一端固定,另一端铰支:H=07
10-2-2 ୣئժᄆѕЩགئԅং࠘ॏ ༣ 2 2 Pcr l EI F π= 2 2 Pcr 4lEI F π= Pcr 2 20.19l EI 2 F = 2 Pcr 4 l EI F π = ϸッ䫄ᬃ˖µ = 1ˈ ϔッᅮˈϔッ㞾⬅˖µ = 2 ϸッᅮ˖µ = 0.5ˈ ϔッᅮˈϔッ䫄ᬃ˖µ = 0.7