下面证明，函数组u=u(x,y)与v=v(X,y)满足定理的要求. 事实上，已知函数v=f(x,y,u)在D连续u=u(x,y)在V(CD)连续，于是v= v(x,)=fc,y,u(c,川在V连续，即u=u(x,y),v=v(x,y)在V都连续 第九章级数 第十章多元西数反分学 其次有(9)式与(11)式，有 第十一章总雨数 第十二章薇常积分与一 第十三最重积分 F[,v,u(x,y),v(x,y)]=Fl,y,u(x,y),f(x,v,u(x,y)] 三Fz,u,f(x,y,u(x,】三0 访问主页 F2lx,y,u(x,y),v(x,y)]=F2l,y,u(x,y),f(x,y,u(x,y)] 标题页 炒 三p[z,y,u,]≡0. 第32页417 由(11)，(12)，(9)式，又有 返回 u(x0,0)=u0: 全屏显示 v(x0,0）=f[x0,0,u(ax0,0】=f(x0,0,u0)=0. 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 32 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❡→②➨,➻ê⑤u=u(x,y)❺v=v(x,y)÷✈➼♥✛❻➛. ➥➣þ,➤⑧➻êv=f(x,y,u)✸Dë❨u=u(x,y)✸V(⊂ D)ë❨,✉➫v = v(x, y) = f[x, y, u(x, y)]✸Vë❨,❂u=u(x,y),v=v(x,y)✸VÑë❨. Ù❣❦(9)➟❺(11)➟,❦ F1[x, y, u(x, y), v(x, y)] ≡ F1[x, y, u(x, y), f(x, y, u(x, y)] ≡ F1[x, y, u, f(x, y, u(x, y)] ≡ 0 F2[x, y, u(x, y), v(x, y)] ≡ F2[x, y, u(x, y), f(x, y, u(x, y)] ≡ ϕ[x, y, u, ] ≡ 0. ❞(11),(12),(9)➟,q❦ u(x0, y0) = u0. v(x0, y0) = f[x0, y0, u(x0, y0)] = f(x0, y0, u0) = v0
已知函数u=u(x,y)的偏导数在邻域V连续.函数v=v(x,y)的偏导数在邻 域V也是连续的.事实上，由(12)，有 0u∂f,af∂u au∂f, ofou Ox+ou8r 第九章级数 Ox ay ayT∂u∂y 第十章多元函数微分学 第十一章隐函数 已知时让在邻域v连续则 vOv 第十二章微常积分与。 ar'ayau∂m∂y x'0y 在邻域V也连续.☐ 第十三章重积分 推论若函数组u=u(x,y),V=v(x,y)的所有偏导数在点P(uo,o)的邻域 访问主页 连续，且x0=x(u0,0),%0=y(u0,0),在点P(0,0),行列式 标题页 8x Ox u ay Ou av 第3页7 返回 则在点Q(x0,0)的某邻域存在有连续偏导数的反函数组 全屏显示 u=u(x,y),v=v(I,y) 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 33 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➤⑧➻êu=u(x,y)✛➔✓ê✸✙➁Vë❨.➻êv=v(x,y)✛➔✓ê✸✙ ➁V➃➫ë❨✛.➥➣þ,❞(12),❦ ∂v ∂x = ∂f ∂x + ∂f ∂u ∂u ∂x, ∂u ∂y = ∂f ∂y + ∂f ∂u ∂u ∂y ➤⑧ ∂f ∂x, ∂f ∂y, ∂f ∂u, ∂u ∂x, ∂u ∂y✸✙➁Vë❨,❑ ∂v ∂x, ∂v ∂y✸✙➁V➃ë❨. íØ ❡➻ê⑤u=u(x,y),v=v(x,y)✛↕❦➔✓ê✸✿P(u0, v0)✛✙➁ ë❨,❹x0 = x(u0, v0), y0 = y(u0, v0),✸✿P(u0, v0),✶✎➟ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v ❑✸✿Q(x0, y0)✛✱✙➁⑧✸❦ë❨➔✓ê✛❻➻ê⑤ u = u(x, y), v = v(x, y)
证明 函数组u=u(x,y),v=v(x,y)可改写为 ∫F1,u,=x-x(u,v)=0, F,u,川=y-yu,v)=0. 第九章级数 第十章多元西数反分学 第十一章总雨数 显然，函数F与F2的所有偏二数在点M(x0,0,o,o)的邻唯连续，且 第十二章薇常积分与一 第十三最重积分 Fz0,0,0,0=x0-x(u0,0)=0, F[z0,0,0,ol=y0-y(u0,0)=0. 访问主页 又有 标题页 aF OF 8x 2 8x x 炒 丽别 8v 8v by by 卡0. y Ou av Ou 8v Ou Ov 第3别页417 根据定理3，在点Q(a0,0)的某邻唯存在有连续偏二数的反函数组u= 返回 u(x,y),v=v(x,y).☐ 全屏显示 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 34 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ②➨ ➻ê⑤u=u(x,y),v=v(x,y)➀❯✕➃ F1[x, y, u, v] = x − x(u, v) = 0, F2[x, y, u, v] = y − y(u, v) = 0. ✇✱,➻êF1❺F2✛↕❦➔✓ê✸✿M(x0, y0, u0, v0)✛✙➁ë❨,❹ F1[x0, y0, u0, v0] = x0 − x(u0, v0) = 0, F2[x0, y0, u0, v0] = y0 − y(u0, v0) = 0. q❦ ∂F1 ∂u ∂F1 ∂v ∂F2 ∂u ∂F2 ∂v = − ∂x ∂u − x ∂v − ∂y ∂u − y ∂v = ∂x ∂u x ∂v ∂y ∂u y ∂v 6= 0. ❾â➼♥3,✸✿Q(x0, y0)✛✱✙➁⑧✸❦ë❨➔✓ê✛❻➻ê⑤u = u(x, y), v = v(x, y).
定三3只是域出了（隐）函数组存在连续的偏导数那么怎样求它的偏导 数呢？现举例说明如下若函数组 第九章级数 第十章多元函数微分学 F(x,y,u,w)=0, 第十一章隐函数 F2(x,y,u,v）=0 第十二章反常积分与 第十三章重积分 确定了（隐）函数组u=u(x,y),v=v(x,y),有 z,y,u(c,),v(z,y]≡0， 访问主页 F2x,y,u(x,y),v(x,y0 标题页 炒 对这两个恒等式关于x求偏导数.由复合函数微分法，有 oFOv 8v Ox =0, 第35页7 8船 du dx oF2ou 0F20v 返回 8x 0uz+ =0, 8v 8x 全屏显示 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 35 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➼♥3➄➫➁Ñ✡(Û)➻ê⑤⑧✸ë❨✛➔✓ê.❅♦◆✘➛➜✛➔✓ ê◗?②Þ⑦❵➨❳❡.❡➻ê⑤ F1(x, y, u, v) = 0, F2(x, y, u, v) = 0. ✭➼✡(Û)➻ê⑤u = u(x, y), v = v(x, y),❦ F1[x, y, u(x, y), v(x, y)] ≡ 0, F2[x, y, u(x, y), v(x, y)] ≡ 0. éùü❻ð✤➟✬✉x➛➔✓ê.❞❊Ü➻ê❻➞④,❦ ∂F1 ∂x + ∂F1 ∂u ∂u ∂x + ∂F1 ∂v ∂v ∂x = 0, ∂F2 ∂x + ∂F2 ∂u ∂u ∂x + ∂F2 ∂v ∂v ∂x = 0
其中 Ou ov 0m'0m 是未存的，其余的六个偏导数都是已存的解得 第九章级数 第十章多元西数反分学 第十一章总雨数 ∂F E aF ∂F 第十二章薇常积分与一 第十三最重积分 服 飘 開 ou Ox 8v ov Ou Ox 03 访问主页 ∂F OF 8x ∂F aF 标题页 8别 Ou oF2 那 翮 炒 Bu 8v Ou av 同样方法，可求关于y的偏导数 u Ov 第3B页417 ay 返回 全屏显示 关闭 退出
✶✃ Ù ❄ ê ✶ ➏ Ù õ ✄ ➻ ê ❻ ➞ ➷ ✶ ➏ ➌ Ù Û ➻ ê ✶ ➏ ✓ Ù ❻ ⑦ ➮ ➞ ❺. . . ✶ ➏ ♥ Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 36 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ Ù ➙ ∂u ∂x , ∂v ∂x ➫ ➍ ⑧ ✛ , Ù ④ ✛ ✽ ❻ ➔ ✓ ê Ñ ➫ ➤ ⑧ ✛ . ✮ ✚ ∂u ∂x = − ∂F1 ∂x ∂F1 ∂v − ∂F2 ∂x ∂F2 ∂v ∂F1 ∂u ∂F1 ∂v ∂F2 ∂u ∂F2 ∂v . ∂v ∂x = ∂F1 ∂u − ∂F1 ∂x ∂F2 ∂u − ∂F2 ∂x ∂F1 ∂u ∂F1 ∂v ∂F2 ∂u ∂F2 ∂v . Ó✘➄④,➀➛✬✉y✛➔✓ê ∂u ∂y ❺ ∂v ∂y