3)行列式 0F1 OF 第九章级数 第十章多元函数反分学 J- 器 ∂u ≠0， 第十一章隐函数 a 第十二章反常积分与· Ou avp 第十三章重积分 则存在点Q(xo,0)的邻域V,在V存在唯一一组有连续偏导数的（隐）函数组 访问主页 u=u(x,y) 与v=v(x,y) 标题页 炒 使 z,y,u(c,y),v(x,y】三0， F2x,y,u(x,),v(x,]三0 第27页17 且 返回 u0=u(x0,y0),0=v(x0,y0) 全屏显示 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 27 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 3)✶✎➟ J = ∂F1 ∂u ∂F1 ∂v ∂F2 ∂u ∂F2 ∂v P 6= 0, ❑⑧✸✿Q(x0, y0)✛✙➁V,✸V⑧✸➁➌➌⑤❦ë❨➔✓ê✛(Û)➻ê⑤ u = u(x, y) ❺ v = v(x, y), ➛ F1[x, y, u(x, y), v(x, y)] ≡ 0, F2[x, y, u(x, y), v(x, y)] ≡ 0 ❹ u0 = u(x0, y0), v0 = v(x0, y0)
证法其证法类似代数的解联立方程的代入法.从一个方 程F(c,山，v)=0中”解”出u=f(x,y,u)(这需要验证它满足定理2的 条件).再从它中”解出u=u(x,)这也需要验证它满足定理2的条件).最 第九章级数 后将u=u(亿，)代入v=f(x,w)中，就得到v=fz,y,u(z,y】=v(z,).于 第十章多元雨数反分学 第十一章总雨数 是，得到函数组u=u(c,),v=v(x,) 第十二章反常积分与一 第十三最重积分 证明由条件3)，行列式J在点P不为零，则与爱至少有一个在 点P不为零不妨设引p卡0.于是，不难验证，四元函数F(,u,v)在 访问主页 点P(x0,0,o,o)的邻域G满足下列条件： 标题页 1)函数F(亿，y,uv)的所有偏导数在G连续， 炒 2F(x0,0,u0,0）=0 aF 第28页417 3)p≠0根据定理2，在点N(0,0,uo)的某个邻域D存在唯一一个 返回 连续函数v=f(x,y,u),使 全屏显示 关闭 F[z,y,u,f(x,y,uj三0，且0=f(x0,0,uo）, (9) 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 28 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ②④ Ù ② ④ ❛ q ➇ ê ✛ ✮ é á ➄ ➜ ✛ ➇ ❭ ④. ❧ ➌ ❻ ➄ ➜F1(x, y, u, v) = 0➙”✮”Ñv = f(x, y, u)(ù■❻✟②➜÷✈➼♥2✛ ❫❻). ✷❧➜➙”✮”Ñu = u(x, y)ù➃■❻✟②➜÷✈➼♥2✛❫❻). ⑩ òu = u(x, y)➇❭v = f(x, y, u)➙,Ò✚✔v = f[x, y, u(x, y)] = v(x, y).✉ ➫,✚✔➻ê⑤u = u(x, y), v = v(x, y). ② ➨ ❞ ❫ ❻3),✶ ✎ ➟J✸ ✿PØ ➃ ✧,❑∂F1 ∂u ❺∂F1 ∂v ➊ ✟ ❦ ➌ ❻ ✸ ✿PØ ➃ ✧.Ø ➈ ✗∂F1 ∂v |P 6= 0.✉ ➫,Ø ❏ ✟ ②,♦ ✄ ➻ êF1(x, y, u, v) ✸ ✿P(x0, y0, u0, v0)✛✙➁G÷✈❡✎❫❻: 1)➻êF1(x, y, u, v)✛↕❦➔✓ê✸Gë❨, 2F1(x0, y0, u0, v0) = 0 3) ∂F1 ∂v |P 6= 0 ❾â➼♥2,✸✿N(x0, y0, u0)✛✱❻✙➁D⑧✸➁➌➌❻ ë❨➻êv=f(x,y,u),➛ F[x, y, u, f(x, y, u)] ≡ 0, ❹ v0 = f(x0, y0, u0), (9)
函数v=f(c,w)的偏导数 时f0f在邻唯D连续由(8)式，有 第九章级数 Ox'ay'Ou 第十章多元函数微分学 第十一章隐函数 ∂F aF OF 第十二章反常积分与。 第十三章重积分 of=- by ay aF af- Ou (10) OF 8v 8v Bv 访问主页 标题页 再将函数v=f(x,y,)代入到第二个函数F2(x,y,u,v)之中，设 炒 (x,y,u)=F2lx,y,u,f(x,y,u)]. 第29页417 下面验证函数p(c,y,u)在点N(c0,0,o)的邻唯D满足下列条件： 返回 全屏显示 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 29 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➻êv = f(x, y, u)✛➔✓ê ∂f ∂x, ∂f ∂y, ∂f ∂u✸✙➁Dë❨.❞(8)➟,❦ ∂f ∂x = − ∂F1 ∂x ∂F1 ∂v , ∂f ∂y = − ∂F1 ∂y ∂F1 ∂v , ∂f ∂u = − ∂F1 ∂u ∂F1 ∂v . (10) ✷ò➻êv = f(x, y, u)➇❭✔✶✓❻➻êF2(x, y, u, v)❷➙,✗ ϕ(x, y, u) = F2[x, y, u, f(x, y, u)]. ❡→✟②➻êϕ(x, y, u)✸✿N(x0, y0, u0)✛✙➁D÷✈❡✎❫❻:
1)函数p(x,y,u)的所有偏导数在D连续 事实上， 第九章级数 ap∂F,∂F∂u 弟十章多元西数微分学 第十一章总雨数 OxOx Ov Ox 架+=著微常积分与. 8 8F2 0F20v 第+理重积分 ay∂y +0u∂y apaF2,∂Fau 访问主页 6B服加在$邻减D部连续则=%张在邻减D都连 Ouou ov Ou 标题页 已知aroy0加'ar0列0l 炒 0x'0y'0u 续 第30页417 2)p(x0,y0,u0）=F[x0,0,u0,f(z0,0,u0】==F2(x0,y0,u0,0）=0 3 返回 Ow≠0. 全屏显示 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 30 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 1)➻êϕ(x, y, u)✛↕❦➔✓ê✸Dë❨. ➥➣þ, ∂ϕ ∂x = ∂F2 ∂x + ∂F2 ∂v ∂v ∂x, ∂ϕ ∂y = ∂F2 ∂y + ∂F2 ∂v ∂v ∂y, ∂ϕ ∂u = ∂F2 ∂u + ∂F2 ∂v ∂v ∂u. ➤⑧ ∂F2 ∂x , ∂F2 ∂y , ∂F2 ∂v , ∂v ∂x, ∂v ∂y, ∂v ∂u✸✙➁DÑë❨,❑ ∂ϕ ∂x, ∂ϕ ∂y, ∂ϕ ∂u✸✙➁DÑë ❨. 2)ϕ(x0, y0, u0) = F2[x0, y0, u0, f(x0, y0, u0)] == F2(x0, y0, u0, v0) = 0 3) ∂ϕ ∂u|N 6= 0
事实上，已知 ap OF2 0F20f Ou =u 由(10)式，有 8v Ou ap∂FaF OF2 O 10F1∂F2 ∂F20F 0u-0u 8v OF ∂F0m0u- Ov Ou 8v 8v 第九章级数 第十章多元函数微分学 ∂F ∂F 第十一章隐函数 1 器 J. 第十二章微常积分与 第十三章重积分 aF oF2 OF 8v8v ou 8v 访问主页 由己如条件有瓷 = (a亚)≠0.根据定理2，在点Q(0,0)的某个邻 标题页 Ov 域V存在唯一一 个连续函数u=u(x,y),使 p[z,u(z,y】三0，且0=u(a0,0）: (11) 第1页17 西数Ky的偏导数光需在邻读v连续 返回 全屏显示 最后，将u=u(x,y)代入v=f(x,y,u)之中，设 关闭 退出 v=flx,y,u(x,y)]=v(x,y). (12)
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 31 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➥➣þ,➤⑧ ∂ϕ ∂u = ∂F2 ∂u + ∂F2 ∂v ∂f ∂u.❞(10)➟,❦ ∂ϕ ∂u = ∂F2 ∂u − ∂F2 ∂v · ∂F2 ∂u ∂F1 ∂v = 1 ∂F1 ∂v ( ∂F1 ∂v ∂F2 ∂u − ∂F2 ∂v ∂F1 ∂u ) = 1 ∂F1 ∂v ∂F1 ∂v ∂F1 ∂u ∂F2 ∂v ∂F2 ∂u = −1 ∂F1 ∂v J. ❞➤⑧❫❻,❦ ∂ϕ ∂u|N = ( − 1 ∂F1 ∂v J) 6= 0. ❾â➼♥2,✸✿Q(x0, y0)✛✱❻✙ ➁V⑧✸➁➌➌❻ë❨➻êu=u(x,y),➛ ϕ[x, y, u(x, y)] ≡ 0, ❹ u0 = u(x0, y0). (11) ➻êu=u(x,y)✛➔✓ê ∂u ∂x, ∂u ∂y✸✙➁Vë❨. ⑩,òu=u(x,y)➇❭v=f(x,y,u)❷➙,✗ v = f[x, y, u(x, y)] = v(x, y). (12)