例8. 验证方程组 ∫x2+y2-uw=0, xy-u2+v2=0. 在点(x0,0,u0,0)=(1,0,1,1)的邻域满足定理3的条件，从而在点(1,0)的 第九章级数 邻域存在唯一一组有连续偏导数的函数组u=u(x,y),v=v(x,y),并 第十章多元函数反分学 u Be Ou 0u 第十一章隐函数 第十二装微常职分与 Ox'Ox'Oy'Oy 第十三章重积分 解设 Fi(z,y,u,v)=x2+y2-uv,F2(z,y,u,v)=xy-u2+v2. 访问主页 标题页 ∂F =2x, OF 二2 ∂F ∂F =-U =-u 8x ay Bu 8v ∂P ∂F ∂F OF2 第37页417 =-2u 8x =y, by Ou Ov 2 返回 在点(1,0,1,1)的邻域都连续，且 全屏显示 F(1,0,1,1)=0, 关闭 F2(1,0,1,1)=0. 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 37 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦8. ✟②➄➜⑤ x 2 + y 2 − uv = 0, xy − u 2 + v 2 = 0. ✸✿(x0, y0, u0, v0) = (1, 0, 1, 1)✛✙➁÷✈➼♥3✛❫❻,❧✌✸✿(1,0)✛ ✙ ➁ ⑧ ✸ ➁ ➌ ➌ ⑤ ❦ ë ❨ ➔ ✓ ê ✛ ➻ ê ⑤u=u(x,y),v=v(x,y),➾ ➛ ∂u ∂x, ∂v ∂x, ∂u ∂y, ∂v ∂y. ✮ ✗ F1(x, y, u, v) = x 2 + y 2 − uv, F2(x, y, u, v) = xy − u 2 + v 2 . ∂F1 ∂x = 2x, ∂F1 ∂y = 2y, ∂F1 ∂u = −v, ∂F1 ∂v = −u ∂F2 ∂x = y, ∂F2 ∂y = x, ∂F2 ∂u = −2u, ∂F2 ∂v = 2v ✸✿(1,0,1,1)✛✙➁Ñë❨,❹ F1(1, 0, 1, 1) = 0, F2(1, 0, 1, 1) = 0
而 ∂f OF J- 翮 -V -2u 2 =-22-2m2=-(2+v23) 第九章级数 在点(x0,0,u0,0)=(1,0,1,1),有J=-4≠0. 弟十章多元西数微分学 第十一章隐雨莫 根据定理3，在点(1,0)的邻域知在唯一一组有连续偏导数的函数组 第+二液反例分与 第十三最重积分 u=u(x,),v=v(c,为了求其偏导数，将方程组分别关于x求偏导数，有 u Ov 2T-U 访问主页 U- 8x 0， 标题页 y- 2u0 =0. 炒 解得 第38页417 -2x -u -V -2x 返回 Bu -y 2v 4xv+yu 8v -2u -y 4xu +yv ∂元 -V -ll 2(u2+v2)0z -V -U 2(u2+w2) 全屏显示 2u 2v -2u 2v 关闭 Ov 退出 同样方法，可求关于y的偏导数
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 38 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✌ J = ∂F1 ∂u ∂F1 ∂v ∂F2 ∂u ∂F2 ∂v = −v −u −2u 2v = −2v 2−2µ 2 = −(µ 2 + v 2 ) ✸✿(x0, y0, u0, v0) = (1, 0, 1, 1),❦J = −4 6= 0. ❾â➼♥3,✸✿(1,0)✛✙➁⑧✸➁➌➌⑤❦ë❨➔✓ê✛➻ê⑤ u = u(x, y), v = v(x, y).➃✡➛Ù➔✓ê,ò➄➜⑤➞❖✬✉x➛➔✓ê,❦ 2x − v ∂u ∂x − u ∂v ∂x = 0, y − 2u ∂u ∂x − 2v ∂v ∂x = 0. ✮✚ ∂u ∂x = −2x −u −y 2v −v −u −2u 2v = 4xv + yu 2(u 2 + v 2 ) . ∂v ∂x = −v −2x −2u −y −v −u −2u 2v = 4xu + yv 2(u 2 + v 2 ) . Ó✘➄④,➀➛✬✉y✛➔✓ê ∂u ∂y❺ ∂v ∂y
常9.验证方程组 x2+2+z2-6=0, x+y+之=0. 在点(0,0,20)=(1，-2,1)的邻域满没定理3的条件，在点0-1的邻域存 第九章级数 第十童多元函数分学 第十一章总西数 在唯一一组有连续导数的函数组y=1(c)与z=f2(x),并求 第十二章反常积分与 第十三章重积分 解设 1(z,z)=x2+2+z2-6,F2(x,y,u,v)=x+y+2. 访问主页 标题页 OF ∂F O a 二2y 0F1 =2z 82 ∂F=1, Ox F2二1， F-1. ay 8 第细页7 返回 在点(1，-2,1)的邻域都连续，且 全屏显示 F(1,-2,1)=(1)2+（-2)2+(1)2-6=0, 关闭 F2(1,-2,1)=1+（-2)+1=0: 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 39 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦9. ✟②➄➜⑤ x 2 + y 2 + z 2 − 6 = 0, x + y + z = 0. ✸✿(x0, y0, z0) = (1, −2, 1)✛✙➁÷✈➼♥3✛❫❻, ✸✿x0 = 1✛✙➁⑧ ✸➁➌➌⑤❦ë❨✓ê✛➻ê⑤y = f1(x)❺z = f2(x),➾➛ dy dx❺ dz dx ✮ ✗ F1(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 − 6, F2(x, y, u, v) = x + y + z. ∂F1 ∂x = 2x, ∂F1 ∂y = 2y, ∂F1 ∂z = 2z ∂F2 ∂x = 1, ∂F2 ∂y = 1, ∂F2 ∂z = 1. ✸✿(1,-2,1)✛✙➁Ñë❨,❹ F1(1, −2, 1) = (1)2 + (−2)2 + (1)2 − 6 = 0, F2(1, −2, 1) = 1 + (−2) + 1 = 0
而 OFOF 2z J= B 2y 8F2 ∂E 1 2(y-z) 第九章级数 ay 8z 第十章多元函反分学 第十一章隐玛 在点(x0,0,20)=(1,-2,1),有J=-6卡0. 第十二童层积分与。 第十三章重积分 根据定理3，在点0=1的邻唯存在唯 一一组有连续导数的函数 组y=f(c)与之=f(x),为了求导数，将方程组分别关于x求导数，有 访问主页 dy dz 标题页 2x+2u +2 =0 dx dx 炒 dy dz 1+ =0. dx dx 第0页417 解得 -2x2z -2x 返回 dy -1 1 之- dz 1 -1 x-y 全屏显示 d 2y 2z y-z dx 2y 2z y-z 关闭 1 1 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 40 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✌ J = ∂F1 ∂y ∂F1 ∂z ∂F2 ∂y ∂F2 ∂z = 2y 2z 1 1 = 2(y − z) ✸✿(x0, y0, z0) = (1, −2, 1),❦J = −6 6= 0. ❾â➼♥3,✸✿x0 = 1✛✙➁⑧✸➁➌➌⑤❦ë❨✓ê✛➻ê ⑤y = f1(x)❺z = f2(x),➃✡➛✓ê,ò➄➜⑤➞❖✬✉x➛✓ê,❦ 2x + 2y dy dx + 2z dz dx = 0. 1 + dy dx + dz dx = 0. ✮✚ dy dx = −2x 2z −1 1 2y 2z 1 1 = z − x y − x , dz dx = 2y −2x 1 −1 2y 2z 1 1 = x − y y − z
定三3可推广到m+n个变数m个方程的一般情况，即 第九章级数 第十章多元函数反分学 F(fi,f2,.,fm,xm+1,.,cmtn)三0， 第十一章隐西数 第十二最反带积分与. (fi,f2,.,fm,xm+1,.,xm+n)三0， 第十三章重积分 Fm(fi,f2,.,fm,xm+1,.,xm+n）三0. 访问主页 定：4.若m个函数，F,.,Fm在点M(叫，.，z,n+1,.,xm+n) 标题页 的某个邻域G满足下列条件： 1)函数F1,F2,·,Fm的所有偏导数在G连续 2)F(M)=FE2(M0=·=Fm(M0=0. 第1页17 返回 全屏显示 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 41 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➼♥3➀í✷✔m+n❻❈êm❻➄➜✛➌❸➐➵,❂ F1(f1, f2, · · · , fm, xm+1, · · · , xm+n) ≡ 0, F2(f1, f2, · · · , fm, xm+1, · · · , xm+n) ≡ 0, Fm(f1, f2, · · · , fm, xm+1, · · · , xm+n) ≡ 0. ➼♥4. ❡m❻➻êF1, F2, · · · , Fm✸✿M(x 0 1 , · · · , x0 2 , x0 m+1, · · · , x0 m+n ) ✛✱❻✙➁G÷✈❡✎❫❻: 1)➻êF1, F2, · · · , Fm✛↕❦➔✓ê✸Gë❨, 2)F1(M) = F2(M) = · · · = Fm(M) = 0