定理2若函数z=F(c1,2,·,xn,列在以点P(z,x唱，.，x%,y)为 心的矩形邻域G满足下列条件： i)F,F2,Fn,F在G连续（从而F在G连续）， 第九章级数 弟十章多元西数微分学 iF(z9,9,.,x%,y)=0, 第十一章总雨数 第十二章反常积分与一 第十三最重积分 iiF(9,x8,x%,y)≠0 则存在点Q(,x,·,x%,)的邻域U,在U存在唯一一个有连续偏导 访问主页 数的（隐）函数则=f(x1,x2,.,xn),使 标题页 F([x1,x2,.,xn,f(x1,x2,.,xn)】=0, 44p y=f,.,0) 第22页417 且 Dv= 返回 8Tk k=1,2 (8) 全屏显示 证明从略 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 22 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➼♥2 ❡➻êz = F(x1, x2, · · · , xn, y) ✸➧✿P(x 0 1 , x0 2 , · · · , x0 n , y0 )➃ ✪✛Ý✴✙➁G÷✈❡✎❫❻: i)F 0 x1 , F0 x2 , · · · , F0 xn , F0 y✸Gë❨(❧✌F✸Gë❨). ii)F(x 0 1 , x0 2 , · · · , x0 n , y0 ) = 0, iii)F 0 y (x 0 1 , x0 2 , · · · , x0 n , y0 ) 6= 0 ❑⑧✸✿Q(x 0 1 , x0 2 , · · · , x0 n , y0 )✛✙➁U, ✸U⑧✸➁➌➌❻❦ë❨➔✓ ê✛(Û)➻êy = f(x1, x2, · · · , xn),➛ F([x1, x2, · · · , xn, f(x1, x2, · · · , xn)] ≡ 0, y 0 = f(x 0 1 , x0 2 , · · · , x0 n ), ❹ ∂y ∂xk = − F 0 xk F0 y (k = 1, 2, · · · , n). (8) ②➨❧Ñ
第九章级数 第十章多元函数微分学 第十一章隐西数 第十二章反常积分与. 第十三章重积分 关于定理1与定理2作如下两点说明： 1.定理的条件是隐函数存在的充分条件而不是必要条件； 访问主页 2.定理只是指出隐函数是存在的，并没有指出隐函数是”什么样”，但是 标题页 能够借助给定的方程讨论它的连续性和可微性， 第23页417 返回 全屏显示 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 23 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✬✉➼♥1❺➼♥2❾❳❡ü✿❵➨: 1.➼♥✛❫❻➫Û➻ê⑧✸✛➾➞❫❻✌Ø➫✼❻❫❻; 2.➼♥➄➫➁ÑÛ➻ê➫⑧✸✛, ➾✈❦➁ÑÛ➻ê➫”➓♦✘”, ✂➫ ❯✡✴Ï❽➼✛➄➜❄Ø➜✛ë❨✺Ú➀❻✺
常6.验证方程F(x,)=xy+2r-2y=0在点0的某邻域确定唯一一 第九章级数 个有连续导数的隐函数y=p(x),并求p(x)(见3). 弟十章多元西数反分学 第十一章总雨数 第十二章反常积分与 解函数F(z,)=y+2n2与F(x,)=x-2"n2在点(0,0)的邻域 第十三最重积分 连续，且 F(0,0)=0,(0,0)=-n2≠0. 访问主页 标题页 根据定理1，在点0的某个邻域(-6，d)存在唯一一个有连续导数的（隐）函 炒 数y=p(x),使F[x,(x】三0，且p(0)=0.(隐)函数y=p(x)的导数是 p(x)=_9+2rn2 第24页417 x 2vIn 2 返回 全屏显示 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 24 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦6. ✟②➄➜F(x, y) = xy + 2x − 2 y = 0✸✿0✛✱✙➁✭➼➁➌➌ ❻❦ë❨✓ê✛Û➻êy = ϕ(x),➾➛ϕ 0 (x)(❸⑦3). ✮ ➻êF 0 x (x, y) = y + 2x ln 2❺F 0 y (x, y) = x − 2 y ln 2✸✿(0,0)✛✙➁ ë❨,❹ F(0, 0) = 0, F0 y (0, 0) = − ln 2 6= 0. ❾â➼♥1,✸✿0✛✱❻✙➁(−δ, δ)⑧✸➁➌➌❻❦ë❨✓ê✛(Û)➻ êy = ϕ(x),➛F[x, ϕ(x)] ≡ 0,❹ϕ(0) = 0.(Û)➻êy = ϕ(x)✛✓ê➫ ϕ 0 (x) = − y + 2x ln 2 x − 2 y ln 2
使隐函数的偏导数不必套用公式，可与接应用复合函数的导数公式. 第九章级数 第十章多元函数反分学 例7.使由方程xy+sinz+y=2z确定的隐函数z=f(x,)的偏导数. 第十一章隐函数 第十二章反常积分与. 解在方程中将z看作是x与y的二元函数，对方程等号两端分别关 第十三章重积分 于x与y使偏导数，有 儿访问主页 8z z y+cos z =29与r十c0s2 +1=2 标题页 Ox Ox y "ay 炒 于是，分别解得 6z —与0 1+x 第25页17 Ox 2-cos z0y2-cos z 返回 全屏显示 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 25 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➛Û➻ê✛➔✓êØ✼❅❫ú➟,➀❺✚❆❫❊Ü➻ê✛✓êú➟. ⑦7. ➛❞➄➜xy + sin z + y = 2z✭➼✛Û➻êz = f(x, y)✛➔✓ê. ✮ ✸➄➜➙òz✇❾➫x❺y✛✓✄➻ê,é➄➜✤Òüà➞❖✬ ✉x❺y➛➔✓ê,❦ y + cos z ∂z ∂x = 2 ∂z ∂x❺x + cos z ∂z ∂y + 1 = 2 ∂z ∂y. ✉➫,➞❖✮✚ ∂z ∂x = y 2 − cos z ❺ ∂z ∂y = 1 + x 2 − cos z
三、方程组确定的隐函数 首先讨论四个变数两个方程的特别情况，仅 第九章级数 第十章多元雨数反分学 F1(x,y,u,v）=0, 第十一章总雨数 第十二章反常积分与一 F(x,y,u,v)=0. 弟十三最重积分 定理3若函 数F(c,4,u,)与F2(x,y,山，)在P(0,0,0,o)的邻 访问主页 域G满足下列条件： 标题页 1)函数(x,u,v)与(a,y,u,v)的所有偏导数在G连续（从 炒 而，F1与F2在G连续)： 2) 第2布页417 ∫1(x0,0,u0,0)=0, 返回 F2(x0,0,u0,0）=0: 全屏显示 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 26 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ♥✦➄➜⑤✭➼✛Û➻ê ➘❦❄Ø♦❻❈êü❻➄➜✛❆❖➐➵,❂ F1(x, y, u, v) = 0, F2(x, y, u, v) = 0. ➼ ♥3 ❡ ➻ êF1(x, y, u, v)❺F2(x, y, u, v)✸P(x0, y0, u0, v0)✛ ✙ ➁G÷✈❡✎❫❻: 1)➻ êF1(x, y, u, v)❺F2(x, y, u, v)✛ ↕ ❦ ➔ ✓ ê ✸Gë ❨(❧ ✌,F1❺F2✸Gë❨); 2) F1(x0, y0, u0, v0) = 0, F2(x0, y0, u0, v0) = 0;