第九章级数 由(6)式，x∈△，存在域-个y∈(0-3,0+3)，使F(x,y)=0.于 第十章多元雨数微分学 第十一章隐函数 是，y是x的函数，表为y=f(x),且 第十二章微常积分与。 第十三重积分 x∈△，有F[x,f(x】=0与0-B<f(x)<0+B. 访问主页 已知F(c0,0)=0与F[x0,f(x0】=0因为在(0-3,0+3)内与x0对应 标题页 且满足方程F(ao,)=0的y是域一的，所以 yo=f(xo) 第7页17 返回 全屏显示 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 17 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❞(6)➟,∀x ∈ 4,⑧✸➁➌➌❻y∈ (y0 − β, y0 + β),➛F(x,y)=0. ✉ ➫,y➫x✛➻ê,▲➃y = f(x),❹ ∀x ∈ 4, ❦ F[x, f(x)] ≡ 0 ❺ y0 − β < f(x) < y0 + β. ➤⑧F(x0, y0) = 0❺F[x0, f(x0)] = 0 Ï➃✸(y0 − β, y0 + β)❙❺x0é❆ ❹÷✈➄➜F(x0, y) = 0✛y➫➁➌✛,↕➧ y0 = f(x0)
)(隐)函数y=f(x)在区间△连续只须证明，Hz∈△，函数y= f(a)在x连续. 已知F(x,)与F(c,在闭矩形区域Rx0-a≤x≤x0+a;0- 第九章级数 弟十章多元雨数微分学 3≤y≤0+]连续，且F(x,)>0,则一F(x,)一在R上有界， 第十一章总雨数 第十二章薇常积分与 一F(x,)一在R有非0的下界，转M>0与m>0,(x,)∈R,有 弟十三最重积分 IF(c,川≤M与1F(x,川≥M 访问主页 标题页 给自变数x改变量△x,使x+△x∈△，相应地有函数y=x)改变量△y,转 炒 △y=f(a+△x)-f(x)或y+△y=f(x+△x) 第8页417 且y+△y∈(0-B≤y≤%+).已知 返回 全屏显示 F(x,)=0与F(x+△x,y+△)=0 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 18 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ii)(Û)➻ êy = f(x)✸ ➠ ♠4ë ❨.➄ ▲ ② ➨,∀x ∈ 4,➻ êy = f(x)✸xë❨. ➤⑧F 0 x (x, y)❺F 0 y (x, y)✸✹Ý✴➠➁R[x0 − α ≤ x ≤ x0 + α; y0 − β ≤ y ≤ y0 + β]ë ❨,❹F 0 y (x, y) > 0,❑—F 0 x (x, y)—✸Rþ ❦ ✳, —F 0 y (x, y)—✸R❦➎0✛❡✳, ❂M > 0❺m > 0, ∀(x, y) ∈ R,❦ |F 0 x (x, y)| ≤ M ❺ |F 0 y (x, y)| ≥ M ❽❣❈êx❯❈þ4x,➛x + 4x ∈ 4,❷❆✴❦➻êy=f(x)❯❈þ4y,❂ 4y = f(x + 4x) − f(x) ➼ y + 4y = f(x + 4x) ❹y + 4y ∈ (y0 − β ≤ y ≤ y0 + β).➤⑧ F(x, y) = 0❺F(x + 4x, y + 4y) = 0
0=F(x+△x,y+△)-F(x,) =F(x+△x,y+△)-F(x,y+△)+F(c,y+△)-F(x,) 第九章级数 第十章多元函数微分学 =F(x+01△x,y+△y)△x+F(x,y+2△)△y, (7) 第十一章隐函数 第十二豫微常职分与， 第十三章重积分 其中0<01<1,0<2<1将(7)式改写为 △g=f+△)-fo)=-号 (c+0△x,g+△△x F(z,y+2△) 访问主页 标题页 有 炒 △=|f(x+△x)-f(x)川 4 tIad≤A 第9页7 P(z,y+△ 返回 于是四△y=mr+△)-fa=0, 全屏显示 仅（隐）函数y=(x)在x连续，从而在△连续。 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 19 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 0 = F(x + 4x, y + 4y) − F(x, y) = F(x + 4x, y + 4y) − F(x, y + 4y) + F(x, y + 4y) − F(x, y) = F 0 x (x + θ14x, y + 4y)4x + F 0 y (x, y + θ24y)4y, (7) Ù➙0 < θ1 < 1, 0 < θ2 < 1ò(7)➟❯✕➃ 4y = f(x + 4x) − f(x) = − F 0 x (x + θ14x, y + 4y) F0 y (x, y + θ24y) 4x. ❦ |4y| = |f(x + 4x) − f(x)| = | − F 0 x (x + θ14x, y + 4y) F0 y (x, y + θ24y) ||4x| ≤ M m |4x|. ✉➫, lim 4x→0 4y = lim 4x→0 [f(x + 4x) − f(x)] = 0, ❂(Û)➻êy=f(x)✸xë❨,❧✌✸4ë❨
i(隐)函数y=f(x)在区间△有连续导数： △x∈△，由(7)式，有 Ay=- 第九章级数 △x e+0△x,y+△0,0<1<1,0<<1 弟十章多元西数微分学 F(z,y+2△y 第十一章总雨数 第十二章反常积分与 已知y=f(x)在x连续，从而当△x→0时，有△y→0，又已知F(x,y) 第十三最重积分 与F(x,)在D连续，有 访问主页 f'(a=mo△c F(x+01△x,y+△y) 标题页 △x0,△y-0F(x,y+02△） 炒 F(x,) F.(a,v) (Fz,)≠0) 第20页417 即（隐）函数y=f(x)在区间△有连续导数，且 返回 f)=- F(,y 全屏显示 F(c,y) 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 20 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ iii)(Û)➻êy=f(x)✸➠♠4❦ë❨✓ê. 4x ∈ 4,❞(7)➟,❦ 4y 4x = − F 0 x (x + θ14x, y + 4y) F0 y (x, y + θ24y) , 0 < θ1 < 1, 0 < θ2 < 1. ➤⑧y=f(x)✸xë❨,❧✌✟4x → 0➒,❦4y → 0,q➤⑧F 0 x (x, y) ❺F 0 y (x, y)✸Dë❨,❦ f 0 (x) = lim 4x→0 4y 4x = − lim 4x→0,4y→0 F 0 x (x + θ14x, y + 4y) F0 y (x, y + θ24y) = − F 0 x (x, y) F0 y (x, y) , (F 0 y (x, y) 6= 0) ❂(Û)➻êy=f(x)✸➠♠4❦ë❨✓ê,❹ f 0 (x) = − F 0 x (x, y) F0 y (x, y) .
注为使证明的层次分明，定理1的结论分所三个部分，实际上，这三个 第九章级数 部分可以合并，叙述为以下更加简明的形式： 第十章多元函数微分学 第十一章隐函数 第十二章反常积分与· “则存在点x的邻域△，在△存在唯一一个有连续导数的（隐）函 第十三章重积分 数y=f(x)在，使F[x,f(x】≡0，f(xo)=0,且 访问主页 f(x)= F(c,), F(c,y) 标题页 今后，隐函数定理的结论，都用这种合并后的叙述形式。 4 定理1可推广到n+1个自变数的只它F(x1,x2,·,xn,)=0所确定的 第21页417 隐函数 返回 全屏显示 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 21 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✺ ➃➛②➨✛❣➞➨,➼♥1✛✭Ø➞↕♥❻Ü➞,➣❙þ,ù♥❻ Ü➞➀➧Ü➾, ◗ã➃➧❡➁❭④➨✛✴➟: ✴ ❑ ⑧ ✸ ✿x0✛ ✙ ➁4,✸4⑧ ✸ ➁ ➌ ➌ ❻ ❦ ë ❨ ✓ ê ✛(Û)➻ êy=f(x)✸, ➛F[x, f(x)] ≡ 0, f(x0) = y0 ,❹ f 0 (x) = − F 0 x (x, y) F0 y (x, y) ” ✽,Û➻ê➼♥✛✭Ø,Ñ❫ù➠Ü➾✛◗ã✴➟. ➼♥1➀í✷✔n+1❻❣❈ê✛➄➜F(x1, x2, · · · , xn, y) = 0↕✭➼✛ Û➻ê