二、一个方程确定的隐函数 第九章级数 给定一个方程F(x,y)=0,等号左端的函数F(x,y)满足什么条件，方程才 第十章多元西数反分学 存在（有连续导数的）隐函数呢？它的几何意义就是，满足什么条件曲 第十一章总雨数 第十二液反带积分与， 面z=F(x,y)与平面z=0交成一条（光滑的）曲线呢？很经显，至少应当假定曲 弟十三最重积分 面z=F(x,y)与平面z=0有一个交点P(a0,0),即F(x0,0)=0,并且在点P的 某个邻域D两个偏导数F(x,)与F(x,)连续.为了是曲面z=F(xy)与平 面z=0不仅相交于一点P还个穿过平面z=0,交成一条曲线y=f(x),这只个 访问主页 增加条件F(o,0)卡0就行.事实上，由连续函数的保号性，在点的某邻 标题页 域R(CD),F(x,)保号，这表经将F(x,y)看作变数y的一元函数是严格单调 炒 的，有F(x0,0)=0所以当(B>0)充分小时，F(x0,0-)与F(x0,0+)具 有相反的符号，即曲面z=F(xy)穿过平面z=0,再应用连续函数F(x,y)的保号 性，关于变数y的单调性和根的存在性，就可证经曲面z=F(x,y)与平面z=0交 第2页417 成一条光滑曲线y=f(x).有下面隐函数存在定理： 返回 全屏显示 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 12 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✓✦➌❻➄➜✭➼✛Û➻ê ❽➼➌❻➄➜F(x,y)=0,✤Ò❺à✛➻êF(x,y)÷✈➓♦❫❻,➄➜â ⑧✸(❦ë❨✓ê✛)Û➻ê◗?➜✛❆Û➾➶Ò➫, ÷✈➓♦❫❻➢ →z=F(x,y)❺➨→z=0✂↕➌❫(✶✇✛)➢❶◗?é➨✇,➊✟❆✟❜➼➢ →z=F(x,y)❺➨→z=0❦➌❻✂✿P0(x0, y0),❂F(x0, y0) = 0,➾❹✸✿P0✛ ✱❻✙➁Dü❻➔✓êF 0 x (x, y)❺F 0 y (x, y)ë❨.➃✡➫➢→z=F(x,y)❺➨ →z=0Ø❂❷✂✉➌✿P0❸❻❇▲➨→z=0,✂↕➌❫➢❶y=f(x),ù➄❻ ❖❭❫❻F 0 y (x0, y0) 6= 0Ò✶.➥➣þ,❞ë❨➻ê✛✂Ò✺,✸✿P0✛✱✙ ➁R(⊂ D),F0 y (x, y)✂Ò,ù▲➨òF(x,y)✇❾❈êy✛➌✄➻ê➫î❶ü◆ ✛,❦F(x0, y0) = 0↕➧✟(β > 0)➾➞✂➒, F(x0, y0 − β)❺F(x0, y0 + β)ä ❦❷❻✛❰Ò,❂➢→z=F(x,y)❇▲➨→z=0,✷❆❫ë❨➻êF(x,y)✛✂Ò ✺, ✬✉❈êy✛ü◆✺Ú❾✛⑧✸✺,Ò➀②➨➢→z=F(x,y)❺➨→z=0✂ ↕➌❫✶✇➢❶y = f(x).❦❡→Û➻ê⑧✸➼♥:
定理1.若函数z=F(x,y)在以点(x0,o)为心的矩形区域D(边界平行坐 第九章级数 标轴)满足下列条件： 第十章多元函数微分学 1)F(x,)与F(x,y)在D连续（从而F(x,y)在D连续）， 第十一章隐函数 第十二章反常积分与。 2)F(x0,y0)=0, 第十三章重积分 3)F(x0,0)≠0则i1)归6>0与3>0，在区间△=(0-6，x0+6)存在唯 一（隐）函数y=fx),使F[z,f(x)】≡0，f(xo)=0,且 访问主页 0-3<f(x)<0+B. 标题页 i)y=f(x)在区间△连续 炒 )y=f(x)在区间△有连续导数，且 4 f'()=- F(x,y） 第13页417 F(x,y) 返回 全屏显示 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 13 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➼♥1. ❡➻êz=F(x,y)✸➧✿(x0, y0)➃✪✛Ý✴➠➁D(❃✳➨✶❿ ■➯)÷✈❡✎❫❻: 1)F 0 x (x, y)❺F 0 y (x, y)✸Dë❨(❧✌F(x,y)✸Dë❨), 2)F(x0, y0) = 0, 3)F 0 y (x0, y0) 6= 0 ❑i)∃δ > 0❺β > 0,✸➠♠4 = (x0 − δ, x0 + δ)⑧✸➁ ➌(Û)➻êy=f(x),➛F[x, f(x)] ≡ 0, f(x0) = y0,❹ y0 − β < f(x) < y0 + β. ii)y = f(x)✸➠♠4ë❨ iii)y = f(x)✸➠♠4❦ë❨✓ê,❹ f 0 (x) = − F 0 x (x, y) F0 y (x, y)
证明 )隐函数的存在性由条件3)，不妨假设 (0,6)≠0 第九章级数 弟十章多元西数微分学 第十一章总雨数 再由条件1)，函数F(x,)在点(x0,0)连续，根据§10.2定理4（连续函数的保号 第十二章反常积分与一 第十三最重积分 性)，存在以点(x0,0)为心的笔巨型区域R(x0-a≤x≤x0+a;0一B≤ y≤0+)，而RCD,x,y)∈R,有 访问主页 标题页 F(x,)>0. (3) 炒 特别是，当x=xo时，有F(0,)>0,0-月≤y≤0+3.根据§6.4定理2，一 第14页417 元函数F(x0,y)在区间0-3,0+]严格增加.由条件2)，F(x0,0)=0有 返回 F(a0,0-)<0与F(x0,0+3)>0 (4) 全屏显示 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 14 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ②➨ i)Û➻ê✛⑧✸✺.❞❫❻3),Ø➈❜✗ F 0 y (x0, y0) 6= 0 ✷❞❫❻1),➻êF 0 y (x, y)✸✿(x0, y0)ë❨,❾â§10.2➼♥4(ë❨➻ê✛✂Ò ✺),⑧✸➧✿(x0, y0)➃✪✛✮ã✳➠➁R(x0 − α ≤ x ≤ x0 + α; y0 − β ≤ y ≤ y0 + β),✌R ⊂ D, ∀(x, y) ∈ R,❦ F 0 x (x, y) > 0. (3) ❆❖➫,✟x = x0➒,❦F 0 y (x0, y) > 0, y0 − β ≤ y ≤ y0 + β.❾â§6.4➼♥2,➌ ✄➻êF(x0, y)✸➠♠[y0 − β, y0 + β]î❶❖❭.❞❫❻2),F(x0, y0) = 0❦ F(x0, y0 − β) < 0 ❺ F(x0, y0 + β) > 0 (4)
再考虑下面两个一元函数 F(x,0-)与F(x,0+) 这两个函数在点x0连续，且有不等式(4)，根据$3.2定理3（一元连续函数的保 号性)，36>0(6<a),x∈(x0-6,x0+6),有 第九章级数 第十章多元函数微分学 F(a,0-)<0与F(x,0+3)>0 (5) 第十一章隐函数 第十二章反常积分与· (⑤)式的几何意义是，如图11.1，曲面z=F(x,y)在线段AB上的图象在xy平 第十三巢重积分 面之下，在线段CE上的图象在xy平面之上. 访问主页 标题页 炒 第5页7 返回 全屏显示 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 15 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✷⑧➘❡→ü❻➌✄➻ê F(x, y0 − β)❺F(x, y0 + β) ùü❻➻ê✸✿x0ë❨,❹❦Ø✤➟(4),❾â§3.2➼♥3 (➌✄ë❨➻ê✛✂ Ò✺),∃δ > 0(δ < α), ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ),❦ F(x, y0 − β) < 0 ❺ F(x, y0 + β) > 0 (5) (5)➟✛❆Û➾➶➫,❳ã11.1,➢→z=F(x,y)✸❶ãABþ✛ã➊✸xy➨ →❷❡,✸❶ãCEþ✛ã➊✸xy➨→❷þ
下面证明，曲面z=F(x,y)与xy平面相交，其交线l就是将件证明的区 间(co-6,x0+)的隐函数. 第九数 令△=(c0-6,x0+6).远∈△，由(3)式，有 第十氧店数微分学 第十二反常积分与 第+三章积分 F(,y)>0,y∈[0-B,0+, 即一元函数F(元，)在区间[0-3,0+严格增加.由（⑤）式有 访问主页 标题页 F(元，0-)<0与F(,0+3)>0 炒 根据$3.1定理6（连续函数的介值性），在区间(0-3,0+3)存在唯一 第6页417 点可，使 返回 F(瓦，=0. 全屏显示 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 16 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❡→②➨,➢→z = F(x, y)❺xy➨→❷✂,Ù✂❶lÒ➫ò❻②➨✛➠ ♠(x0 − δ, x0 + δ)✛Û➻ê. ✲4 = (x0 − δ, x0 + δ).∀x ∈ 4,❞(3)➟,❦ F 0 y (x, y) > 0, y ∈ [y0 − β, y0 + β], ❂➌✄➻êF 0 y (x, y)✸➠♠[y0 − β, y0 + β]î❶❖❭.❞(5)➟,❦ F(x, y0 − β) < 0 ❺ F(x, y0 + β) > 0 ❾â§3.1➼♥6(ë❨➻ê✛✵❾✺),✸➠♠(y0 − β, y0 + β) ⑧✸➁➌➌ ✿y,➛ F(x, y) = 0